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浙教版2025~2026八年级下学期第一次学情检测数学·培优版
（测试范围：第1章　二次根式~第2章　一元二次方程 时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项．
【详解】解：∵，∴A选项错误．
∵，∴B选项错误．
∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误．
∵，∴D选项正确．
2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根．
【详解】解：∵方程的一个根是1，
∴将代入方程得，
解得，
∴原方程为，
将方程因式分解得，
解得，，
∴方程的另一个根是3．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可．
【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
对于B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于D选项：的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故选：D．
4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先利用该关系求出与的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
将，代入，
得，
故选：B．
5．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构．
有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式．
【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式，
A．，不含根式；
B．，不含根式；
C．，仍含根式；
D．，不含根式．
∴ 选项C不是有理化因式．
故选：C．
6．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，先根据定义确定的约数条件，再利用判别式求出范围即可．
【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：
方程是一元二次方程，
二次项系数，
综上所述，且．
故选：D．
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．（24-25九年级上·天津·月考）如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形草地的长、宽及修建道路的宽度，可得出种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形，再结合草坪的面积为1800平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形草地的长为54米，宽为38米，且道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成一个长为米，宽为米的矩形．
根据题意得：．
故选：D．
9．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式，
当时，此时不是整数，不符合题意；
当时，此时，符合题意；
当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设，
∴，
∴，
当时，，符合题意，此时，故；
当时，，符合题意，此时，故；
综上：；
故选D．
10．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （ ）
A．或4 B． C． D．或1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键．
根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值．
【详解】解：∵特征数为，
∴方程为，
设两实数根为，，则，
，
，
∵，
∴，
化简得：，
解得或，
又∵方程有实数根，
∴，
即，
∴（舍去），
∴，
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键．
通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程．
【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为，
对比可得：，因此，
，因此，
根号内部表达式为，得，
因此一元二次方程为，即
故答案为：．
12．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是__________．
【答案】3
【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可．
【详解】解： 与 可以合并，，
则 与 是同类二次根式，
即 （ 为正整数），
两边平方得 ，
当 时， 取最小值，即 ，
验证： 与 可以合并，
故答案为：3．
13．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）用配方法解方程时，配方后得到，则____________．
【答案】12
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简：_____；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则______．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
解得 ，，
∴，
∴ ，
故答案为：．
16．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______．
【答案】，
【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值．
【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，，
方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程
(1)公式法：
(2)配方法：．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先将方程化成一般形式，再利用公式法进行求解；
（2）先将二次项系数化为1，再利用配方法进行求解．
【详解】（1）解：
，
，
∴，
∴，；
（2）解：
∴，．
18．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据分母有理化，二次根式的性质分别运算，然后合并即可；
（）根据二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘除法进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得，解之即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得，，再由题意可得，据此求出，的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
∴．
20．（8分）（25-26九年级上·河南南阳·月考）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答；
∵，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
(1)计算 ______；
(2)若 ，求值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用平方差公式进行分母有理化，代数求值，解题的关键是掌握二次根式的化简法则．
（1）利用平方差公式进行分母有理化即可；
（2）先对二次根式进行化简，再变形代数求值即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴ ，
，即，
∴，
∴．
21．（10分）（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
【答案】(1)每件售价应定为50元；
(2)该款小商品的日平均增长率为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，根据日获利1000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该款小商品的日平均增长率为m，根据第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，日销售量为件；
当时，日销售量为件，
因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取，
∴，
答：每件售价应定为50元；
（2）解：设该款小商品的日平均增长率为m，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款小商品的日平均增长率为．
22．（10分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）由题意知，计算求解即可；
（2）由题意知，计算求解即可．
【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”，
，
；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，，
解得．
23．（12分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
【答案】（1）①；②；正确；（2）见解析；（3）时，；时，
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识；
（1）根据因式分解法解方程，即可求解；
（2）根据题意计算，即可得证；
（3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解．
【详解】解：（1）①当，时，例如，
∴，
∴或，
∴此方程的解是；
②当，时，
例如，
∴
∴
∴或，
∴此方程的解是；
这两个实例可以验证小明的猜想正确；
故答案为：；；正确．
（2）解：小明的猜想正确，
证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），
∴，
又∵
∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根.
（3）依题意，且
解得，，
又∵m为整数，
∴或
当时，方程为，即
∵，
∴
解得：
当时，方程为
即
解得：
24．（12分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
()根据证明过程补全即可；
()根据已知结论，得出，求出的值即可；
()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025~2026八年级下学期第一次学情检测数学·培优版
（测试范围：第1章　二次根式~第2章　一元二次方程 时间：120分钟 满分：120分）
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　）
A． B．3 C． D．4
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．-1
5．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列式子不是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（24-25九年级上·天津·月考）如图，在长为 54 米、宽为 38 米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 1800 平方米，设道路的宽为 x 米，则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26九年级上·湖南怀化·月考）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （ ）
A．或4 B． C． D．或1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________．
12．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是__________．
13．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）用配方法解方程时，配方后得到，则____________．
14．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）化简：_____；
15．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则______．
16．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程
(1)公式法：
(2)配方法：．
18．（6分）（25-26八年级上·上海·期中）计算：
(1)；
(2)．
19．（8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
20．（8分）（25-26九年级上·河南南阳·月考）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答；
∵，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据上面的分析过程，解决如下问题：
(1)计算 ______；
(2)若 ，求值．
21．（10分）（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率．
22．（10分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
23．（12分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
24．（12分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．

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