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高三数学试题
2026.3
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后,请将答题卡上交.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 与 互为相反数,则
A. B. C. D.
3. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 4 个互不相等的正整数的平均数为 3 , 极差为 4 , 则这四个数的方差为
A. B. C. 3 D. 2
5. 春节期间,某人计划去 六个不同的景点游览,在确定景点的游览顺序时,要求 在 之前, 与 相邻,则不同的游览顺序有
A. 24 B. 60 C. 120 D. 240
6. 已知圆锥的底面半径为 ,且此圆锥的内切球体积为 ,则圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
7. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的, 将椭圆在同一方向等比例 “压缩”或者 “拉伸”, 椭圆会变形为不同的椭圆或圆. 已知二面角 的大小为 ,半平面 内的圆 在半平面 上的正投影是椭圆 在半平面 上的正投影是椭圆 ,则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
8. 在 中,已知 ,则 的长为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在量子计算的理论研究中, 量子比特的相位演化可以用复指数形式描述. 瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式: ,为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础. 其中 是自然对数的底数, 是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数与指数函数的关联. 依据欧拉公式, 则下列结论正确的是
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若 在复平面内分别对应点 ,则 面积的最大值为
10. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 为奇函数, 为偶函数,则下列结论正确的是
A. B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 的最大值为 1
11. 某市以 “渤海湾畔、生态宜居” 为发展理念，将 “生态渤海” 融入城市脉络，一位数学爱好者设计了 “渤海明珠”曲线 ，其方程为 . 对于曲线 ，则下列结论正确的是
A. 若直线 与曲线 有唯一公共点,则 取值范围为
B. 曲线 上存在唯一的点 ,使得点 到点 与到点 的距离之差为 4
C. 曲线 所围成的封闭区域面积等于
D. 若曲线 上恰好存在 4 个不同点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分.
12. 已知各项均不为零的等差数列 ,其前 项和为 ,且 ,则 _____ 13. 若函数 有最大值,则 的取值范围为_____
14. 已知点 为 所在平面内一点， ， ，若 ， 则 的取值范围为_____
四、解答题:本题共 5 小题,共计 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 13 分)
已知数列 的前 和为 ,满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，且 ，证明数列 为等比数列，并求 .
16. (本题 15 分)
如图，在矩形 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 ， 分别在线段 ， 上移动(不含端点)，且 . 将四边形 沿 翻折至四边形 ,使得二面角 的大小为 .
(1)求证: 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本题 15 分)
已知函数 .
(1)证明:在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等;
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
18. (本题 17 分)
设圆 的圆心为 ,直线 过点 且与 轴不重合, 交圆 于 两点,过 作 的平行线交 于点 ,动点 的轨迹为曲线 .
(1)证明 为定值，并求曲线 的方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 ， 两点.
(i)求 面积的最大值；
(ii) 已知点 ，直线 与曲线 的另一个交点为 ，直线 与曲线 的另一个交点为 . 证明: 直线 过定点.
19. (本题 17 分)
某科研团队研发的两款 AI 围棋机器人(Alpha 星、Beta 翼)进行对抗赛，比赛规则为:共进行奇数局比赛, 全部完成后, 获胜局数多的机器人胜出. 假设每局比赛中, Alpha 星获胜的概率都是 ,各局比赛的结果相互独立,且无平局.
(1)当 时，两款机器人共进行 5 局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为 ,求 的分布列和数学期望;
(2)当 时,若两款机器人共进行 且 局比赛,记事件 表示 “在前 局比赛中 Alpha 星赢了 局”. 事件 表示 “Alpha 星最终获胜”. 求 的值;
(3)若两款机器人共进行了 局比赛，Alpha 星获胜的概率记为 ；若两款机器人共进行了 局比赛, Alpha 星获胜的概率记为 ; 若两款机器人共进行了 局比赛，Alpha 星获胜的概率记为 .
证明: 当 时, .
高三数学试题参考答案
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. D 2. A 3. B 4. A 5.C 6.D 7.A 8.D
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. AC 10. BCD 11. BC
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共计 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题 13 分)
解:(1)因为 ,①
所以 ,② 1 分
②- ① 得 ， 2 分
所以 . 3 分
当 时,由 ,可得 , 4 分
所以数列 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 5 分
所以数列 的通项公式为 . 6 分
(2)因为 ，③
所以 ,④ 7 分
④ 一③得 ， 8 分
所以 , 9 分
所以 ,
所以数列 是公比为 3 的等比数列. 10 分
所以 11 分
12 分
. 13 分
16.(本题 15 分)
解:(1)证明:过 作 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
所以 , 1 分
又因为 ,
所以 , 2 分
所以四边形 为平行四边形, 3 分
所以 ， 4 分
又因为 平面 平面 , 5 分
所以 平面 . 6 分
(2)由题意得， ，
所以 , 7 分
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 . 8 分
所以以点 为原点,分别以 所在直线为 轴,过 作平面 的垂线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 9 分
由 可知, 为二面角 的平面角,
所以 , 10 分
又因为 ,
所以 分别是 的中点, 11 分
则
12 分
设平面 与平面 的法向量分别为
则有 令 ,可得 ,
所以 . 13 分
所以 . 14 分
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. (本题 15 分)
解: (1) 由 求导得, ,
所以曲线 在点 处的切线斜率 , 1 分设函数 ,
求导得, ,令 ,得 . 2 分当 变化时, 与 的变化如下表:
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 4 分故函数 的最小值 , 5 分因为 时, ,
所以 在 上无解. 6 分
又因为 ,且函数 在 上单调递增, 7 分所以 在 上有且仅有一解,
所以在曲线 的所有切线中,有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等. 8 分
(2)因为当 时，不等式 恒成立，
所以当 时，不等式 恒成立. 9 分
令函数 ,
则 . 10 分
令函数 ,
所以 , 11 分
所以 , 12 分
所以 恒成立. 13 分
所以 是增函数，所以 . 14 分
所以当 时, .
所以实数 的取值范围是 . 15 分
18. (本题 17 分)
解:(1)因为 ， ，
所以 ， 1 分
所以 ,故 . 2 分
又圆 的标准方程为 ,从而 ,
所以 ,即 为定值. 3 分
由题设得 ,
由椭圆定义可得,所求曲线 的方程为 . 4 分
(2)设 ， .
(i) 由 可得， ， 5 分
因为直线 与曲线 相交于 两点,所以 ,
所以 ,
由根与系数的关系可得: . 6 分
因为 7 分
当且仅当 时取等号,且满足 . 8 分
所以 面积的最大值为 1 . 9 分
(ii) 由题意知,直线 的斜率存在,且直线 的方程为 , 由 可得 ,
展开得 , 10 分
所以 11 分
所以 ,
所以 , 12 分
同理 , 13 分
设直线 的方程为 ,则 ,
所以 ,同理可得 , 14 分
所以直线 的方程为 , 15 分-
因为直线 的斜率为 1,所以 即 , 16 分
所以直线 的方程为 ,
所以 过定点 . 17 分
19. (本题 17 分)
解: (1) 由题意可知, 的可能取值为 1,3,5 . 1 分
, 2 分
, 3 分
4 分
的分布列为:
1 3 5
40 10 27 11
5 分
(2)当 时， ，
故 Beta 翼最终获胜，则 . 6 分
当 时, ,
故只有最后两场 Alpha 星全赢才能最终获胜,故 , 7 分当 时, ,
最后两场 Alpha 星至少赢一场才能最终获胜,故 . 8 分当 时, ,
故 Alpha 星最终获胜,故 . 9 分
(3)证明:结合(2)，由全概率公式得:
. 10 分
所以 .
当 时， ， 11 分
又 12 分
13 分
14 分
15 分
16 分
因为 ,所以,当 时, , 所以当 时, . 17 分

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