资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025～2026七年级下学期第一次学情检测·培优卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（25－26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
2．（25－26八年级上·广东佛山·期末）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案．
【详解】解：A.将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
B. 将代入，
左边，右边，左边＝右边，
∴是该方程的解，本选项符合题意；
C. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意；
D. 将代入，
左边，右边，左边右边，
∴不是该方程的解，本选项不符合题意．
故选：B．
3．（25－26七年级上·江苏扬州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解．
【详解】解：如图，，，则，
当，，
故选：C．
4．（25－26九年级上·四川广元·月考）如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数．
【详解】解：如图，过的顶点作直线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
5．（26－27七年级上·安徽淮南·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可得，则，解之即可得到答案．
【详解】解：
得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
6．（25－26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．（25－26八年级上·重庆·月考）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意把代入原方程组，得，
把代入，得，
可组成方程组，
解得，
则．
故选：D．
8．（25－26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数．
【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选：C．
9．（25－26八年级上·广东深圳·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ）
A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50
B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50
C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50
D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50，
故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，
故选：C．
10．（24－25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质与判定，过点作，利用平行线性质得到，过点作，利用平行线性质得到 进行求解，即可解题．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，即
过点作，
，，
，
，
，
，
，
；
∴
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25－26八年级上·重庆·月考）若是二元一次方程，则_______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的次数都为1，由此列出关于、的方程，进而求解、的值，最后计算．本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程中未知数的次数都为是解题的关键．
【详解】解：因为是二元一次方程，
所以，
，
；
把代入可得
，
，
，
；
所以．
故答案为：．
12．（24－25七年级下·山东德州·月考）如图，直线截，，其中内错角有__________对．
【答案】
【分析】本题考查内错角，如果两条直线被第三条直线所截，那么位于截线的两侧，在两条被截直线之间的两个角是内错角．两条直线被第三条直线所截，可形成两对内错角，据此解决即可．
【详解】解：如图，设直线分别交，于点，，
形成的内错角有①与，
②与，
③与，
④与，共对．
故答案为：．
13．（25－26八年级上·广东深圳·期末）已知 ，则的值为____．
【答案】
【分析】本题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，由题意得，求解即可，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
14．（25－26七年级上·重庆·期末）如图，已知，则__________°．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
15．（25－26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解．
【详解】解：整理方程组，
可得：
令 ，，
则新方程组化为：，
方程组的解为，
方程组的解为，
，
解得：．
16．（25－26七年级上·吉林长春·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论：
①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】①②④
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、余角的定义以及三角形面积的相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
根据定义和性质判断即可．
【详解】解：的平分线交于点B，的平分线交于点D，
，
，
,
，故①正确；
与等底等高，
与的面积相等，故②正确；
与互余的角有，共4个，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（25－26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解三元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①可得：，
将③代入②可得：，
解得：，
将代入①可得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由可得：，
由可得：，
由可得：，
解得：，
将代入④可得：，
解得：，
将，代入①可得：，
解得：，
∴方程组的解为．
18．（6分）（25－26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，．
(1)则；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键．
（1）由对顶角的概念可知；
（2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可．
【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）；
故答案为：；
（2），
，
平分，
，
．
19．（8分）（25－26八年级上·河南郑州·期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
(2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件
(2)够用，理由见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
（1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可．
【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品．
（2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下：
设租用小货车辆，大货车辆，
依题意得：
又 ，均为正整数，
当，；当，；
或
共有2种租车方案，
方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为；
方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出4000元用于租车，够用．
20．（8分）（25－26七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．阅读下面的解题过程并填空(理由或数学式)．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴，
∵，
∴ （ ），
∴ (两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
【答案】垂直的定义；，同旁内角互补，两直线平行；
【分析】先利用垂直的定义得到直角，计算出的度数；再根据同旁内角互补判定，利用平行线的同位角相等得到；最后结合角平分线的定义求出的度数．
【详解】解：∵，
∴(垂直的定义)，
∵，
∴，
∵，
∴(同旁内角互补，两直线平行)，
∴(两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（10分）（24－25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可；
（2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
，得．③
，得，
解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
（2）解：
，得．
∵，∴．③
，得，解得．
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解是
22．（10分）（26－27八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
（）首先根据，同位角相等，两直线平行得，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明；
（）由题意，易得，利用三角形外角得，即有，结合已知条件，即可得到结果．
【小问1】
证明：∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
【小问2】
解：∵由（）知，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
23．（12分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，则称这样的三位数为“清南数”．将“清南数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．其中十位数字大于个位数字的两位数叫“乾数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“坤数”．将所有“乾数”的和记为P（m），所有“坤数”的和记为Q（m），例如：P（342）＝32＋42＋43＝117，Q（342）＝23＋24＋34＝81．
（1）请直接写出P（572）和Q（572）的值；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“清南数”n满足P（n）－Q（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．
【答案】（1）P（572）＝199；Q（572）＝109；（2）675或891
【分析】（1）根据定义直接计算即可；
（2）设“清南数”n的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为c，根据“清南数”的定义求出P（n）＝，Q（n）＝，计算P（n）－Q（n）＝，由完全平方数的定义得到或；计算，利用是完全平方数，得到x＋y＋c＝8或x＋y＋c＝18，组成方程组求出符合题意的解即可．
【详解】解：（1）P（572）＝52＋72＋75＝199；
Q（572）＝25＋27＋57＝109；
（2）设“清南数”n的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为c，
∵“清南数”的十位数字最大，个位数字最小，
∴P（n）＝，
Q（n）＝，
∴P（n）－Q（n）＝，
∵P（n）－Q（n）是完全平方数，x、y、c都不为0且互不相等，
∴2（y－c）是完全平方数，
∵0＜c＜x＜y≤9且为整数，
∴2≤y－c≤8，
∴4≤2（y－c）≤16，
∴或；
∵，是完全平方数，
∴或，
①当，，则
，
∵0＜c＜x＜y≤9，
解得，不合题意，
②当，，则
，符合题意的解为，
③当， ，则
，无符合题意的解
④当，，则
，符合题意的解为．
∴“清南数”n为675或．
【点睛】此题考查有理数的加法计算法则，解三元一次方程组，列代数式计算整式的加减法，正确理解新定义计算法则是解题的关键．
24．（12分）（25－26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）直接根据平行线的性质求解即可；
（2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
∴，，
∴
故答案为：，．
（2）解：由题意可得：，
如图：过E点作，
，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025～2026七年级下学期第一次学情检测·培优卷
（测试范围：第1章相交线与平行线~第2章二元一次方程组 考试时间：120分钟 满分：120分）
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
2．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·四川广元·月考）如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
6．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．的度数无法确定
7．（25-26八年级上·重庆·月考）小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ）
A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50
B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50
C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50
D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50
10．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25-26八年级上·重庆·月考）若是二元一次方程，则_______．
12．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，直线截，，其中内错角有__________对．
13．（25-26八年级上·广东深圳·期末）已知 ，则的值为____．
14．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，则__________°．
15．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______．
16．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上一点，连结，，的平分线交于点D，连结．给出下面四个结论：
①；②与的面积相等；③与互余的角有2个；④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程：
(1)；
(2)．
18．（6分）（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，．
(1)则；
(2)若平分，求的度数．
19．（8分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品．
(1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？
(2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由．
20．（8分）（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．阅读下面的解题过程并填空(理由或数学式)．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴，
∵，
∴ （ ），
∴ (两直线平行，同位角相等)，
∵是的平分线，
∴．
21．（10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：，得，即．③
，得．④
，得，解得．把代入③，解得，
∴原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解法，解方程组：
(2)解关于x，y的二元一次方程组：（）．
22．（10分）（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)若且，求的度数．
23．（12分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，则称这样的三位数为“清南数”．将“清南数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．其中十位数字大于个位数字的两位数叫“乾数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“坤数”．将所有“乾数”的和记为P（m），所有“坤数”的和记为Q（m），例如：P（342）＝32+42+43＝117，Q（342）＝23+24+34＝81．
（1）请直接写出P（572）和Q（572）的值；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“清南数”n满足P（n）－Q（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．
24．（12分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______；
(2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数．

展开更多......

收起↑