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第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
第1节 集合
课标解读　1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表示集合间的基本关系与基本运算.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 集合的基本概念
考点二 集合间的基本关系
考点三 集合的运算
考点四 Venn图的应用
1.[教材改编]已知集合A={0，1，x2－5x}，若6∈A，则实数x的值为　 　.
【解析】 ∵6∈A，∴x2－5x=6，解得x=－1，或x=6.　
－1或6
2.[教材改编]已知集合C={(x，y)|y=x}，集合D=，集合D用列举法表示为　 　，并且C　 　D(填“=”，“ ”或“ ”).
【解析】 由得∴D={(1，1)}.显然点(1，1)在直线y=x上，∴C D.
{(1，1)}

3.[教材改编]已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤10}，A∩( UB)={1，3，5，7}，则集合B=
　 　.
【解析】 依题意，U=A∪B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴ UB A，又A∩( UB)={1，3，5，7}，∴ UB={1，3，5，7}，∴B={0，2，4，6，8，9，10}.
{0，2，4，6，8，9，10}
4. (忽视元素的互异性)已知集合A={1，3，}，B={1，m}，若B A，则m等于(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 0或1或3
C. 0或3 D. 1或3
【解析】 由B A，得m=3，或m=.解m=，得m=0，或m=1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m=0，或m=3.
易错题
C
5. (忽视空集的情形)已知集合M={x|x－a=0}，N={x|ax－1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为(　 　)
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. 0或1或－1
【解析】 由M∩N=N，得N M，当N= 时，a=0；当N≠ 时，=a，解得a=±1，故a的值为±1，或0.
易错题
D
6. (忽视集合运算中端点的取舍)已知集合A={x|x≥3}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 由A∪B=A，得B A，如图所示，∴m≥3.
易错题
[3，＋∞)
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、　 　、无序性.
(2)元素与集合的关系是　 　或不属于，表示符号分别为　 　和 .
(3)集合的三种表示方法：　 　、　 　、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
互异性
属于
∈
列举法
描述法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) 　 　
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 　 　
相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 　 　
空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A B，或B A
A B，或B A
A=B
3.集合的基本运算
运算 文字语言 符号语言 图形语言
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=　 　
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=　 　
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA=　 　
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=　 　，A∩ =　 　.
(2)A∪A=　 　，A∪ =　 　.
(3)A∩ UA=　 　，A∪ UA=　 　， U( UA)=　 　.
A

A
A

U
A
[优化拓展]
结论 内容
有限集 中子集 的个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个
子集关系等价形式 A B A∩B=A A∪B=B UA UB
德摩根 定律 U(A∩B)=( UA)∪( UB)，
U(A∪B)=( UA)∩( UB)
考点一　集合的基本概念
(1)(2025·四川绵阳模拟)集合A={x||x－2|≤1，x∈Z}，则A的子集个数为(　 　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 3
【解析】 ∵A={x||x－2|≤1，x∈Z}={x|1≤x≤3， x∈Z}={1，2，3}，∴A的子集个数为23=8.
例 1
A
(2)(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知集合A={a－2， a2＋4a， 12}，且－3∈A，则a等于
(　 　)
A. －3或－1 B. －3
C. 1 D. 3
【解析】 ∵集合A={a－2， a2＋4a， 12}，且－3∈A，则a－2=－3，或a2＋4a=－3，∴a=－1，或a=－3.当a=－1时，a－2=a2＋4a，不合题意，舍去；当a=－3时，A={－5， －3， 12}，符合题意.
B
解决集合含义问题的关键点：
(1)确定构成集合的元素.
(2)明确这些元素的限制条件.
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
注意：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.
(1)(多选)下列各组中，M，P表示的是不同集合的有(　 　)
A. M={3，－1}，P={(3，－1)}
B. M={(3，1)}，P={(1，3)}
C. M={y|y=x2＋1，x∈R}，P={x|x=t2＋1，t∈R}
D. M={y|y=x2－1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2－1，x∈R}
【解析】 对于A，M={3，－1}是数集，P={(3，－1)}是点集，故M≠P；对于B，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；对于C，M={y|y=x2＋1，x∈R}=[1，＋∞)，P={x|x=t2＋1，t∈R}=[1，＋∞)，故M=P；对于D，M是二次函数y=x2－1(x∈R)的所有y值组成的集合，而集合P是二次函数y=x2－1(x∈R)图象上所有点组成的集合，故M≠P.
跟踪训练1
ABD
(2)(2025·江苏高三期末)已知集合A={－2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，且3＋x A}，则B=(　 　)
A. {0， 3} B. {－2，1}
C. {2，－1} D. {0， 1， 3}
【解析】 当－x=－2，得x=2，3＋2=5 A，满足条件；当－x=0，得x=0，3＋0=3∈A，不满足条件；当－x=1，得x=－1，3＋(－1)=2 A，满足条件；当－x=3，得x=－3，3＋(－3)=0∈A，不满足条件，∴B={2，－1}.
C
考点二　集合间的基本关系
(1)设全集U=Z，集合A={x|x=3k－1，k∈Z}，B={x|x=6k－1，k∈Z}，则(　 　)
A. A B B. B A C. A=B D. A∩B=
【解析】 x=6k－1=3·(2k)－1，k∈Z时，2k能取遍所有偶数；x=3k－1，k∈Z，由于k能取遍所有整数，因此B A.
(2)(2025·海南海口模拟)已知集合A={x|x＜m}，B={x|－2＜x＜3}，若A B，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (－∞， －2) B. (－∞， －2]
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
【解析】 集合A={x|x＜m}，B={x|－2＜x＜3}，由A B，得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，＋∞).
例 2
C
B
求解集合间关系的两类问题：
B A 分类 讨论 1.空集情况：优先验证B= .
2.非空集情况：B≠ 时，依题意列不等式.
参数 范围 求解 1.数轴分析：将集合A， B画在数轴上，比较端点位置.
2.列不等式组：根据包含关系(如A∪B=A→B A)列出不等式.
3.端点验证：将参数临界值代回原集合检验.
(1)(2025·河南许昌模拟)已知集合A={－2，0，1}，B={x|4－ax＞0}，若A B，则a的取值范围是
(　 　)
A. (－2，＋∞)
B. (－∞， 4)
C. (－∞， －2)∪(4，＋∞)
D. (－2， 4)
【解析】 ∵A B，∴解得－2＜a＜4，即a的取值范围是(－2， 4).
跟踪训练2
D
(2)设集合A={0，－a}，B={1，a－2，2a－2}，若A B，则a等于(　 　)
A. 2 B. 1 C. D. －1
【解析】 依题意，有a－2=0，或2a－2=0.当a－2=0时，解得a=2，此时A={0，－2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a－2=0时，解得a=1，此时A={0，－1}，B={－1，0，1}，满足A B，∴a=1.
B
考点三　集合的运算
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={－4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B=(　 　)
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
【解析】 B={x|x3=x}={0，－1，1}，故A∩B={0， 1}.
例 3
考向1 集合的交、并、补集运算
D
(2)(2025·绍兴三模)设集合M={x|x2－x＜0}，N={x|－2＜x＜2}，则(　 　)
A. M∩N= B. M∩N=M
C. M∪N=M D. M∪N=R
【解析】 ∵x2－x＜0，∴x(x－1)＜0，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}，N={x|－2＜x＜2}，对于A，B，M∩N={x|0＜x＜1}，A错误，B正确；对于C，D，M∪N=N，C，D错误.
B
求解集合的交、并、补集运算的方法：
离散有限集 Venn图或直接列举
连续区间(不等式) 数轴分析
(1)(2025·杭州模拟)已知集合A={3，4}，B={x∈Z|x2－8x＋12＜0}，则A∪B中元素的个数是
(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 集合A={3，4}，B={x∈Z|x2－8x＋12＜0}={x∈Z|2＜x＜6}={3，4，5}，则A∪B={3，4，5}，集合中元素的个数是3.
(2)(2024·全国甲卷理)若集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则 A(A∩B)=(　 　)
A. {1，4，9} B. {3，4，9}
C. {1，2，3} D. {2，3，5}
【解析】 ∵A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，∴B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5}.
跟踪训练3
A
D
(1)(2025·江西南昌三模)已知集合A={x|x＞a}，B={x| x2－4x＋3＜0}.若A∪B=A，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1] B. (－∞，3]
C. [1，＋∞) D. [3，＋∞)
【解析】 由x2－4x＋3＜0，可得(x－3)(x－1)＜0，解得1＜x＜3，∴B={x|1＜x＜3}，
∵ A∪B=A，∴B A，∴a≤1，∴a的取值范围是(－∞，1].
例 4
考向2 由集合的运算求参数
A
(2)(2025·四川达州期中)已知集合A={x|－2≤x≤10}，B={x|1－m≤x≤1＋m}.若B∩( RA)= ，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (－∞，3]
B. (－∞，9]
C. (－∞，3]∪[9，＋∞)
D. [3， 9]
【解析】 ∵B∩( RA)= ，∴B A，∵B={x|1－m≤x≤1＋m}，且满足B A，A={x|－2≤x≤10}，∴当B= 时满足B A，此时1－m＞1＋m，解得m＜0；当B≠ 时，则有解得0≤m≤3， 综上，m≤3，即实数m的取值范围是(－∞，3].
A
1.在解决与不等式有关的集合问题时，一般利用数轴解决，同时要注意端点值能否取到.
2.若集合中的元素能够被一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.
(1)(2025·江西新余模拟)已知集合A={x|1≤log2x≤2}，B={x|a≤x＜a＋1}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1)∪(4，＋∞)
B. (－∞，1)∪[4，＋∞)
C. (1，4]
D. [1，4)
【解析】 ∵A={x|1≤log2x≤2}={x|2≤x≤4}，B={x|a≤x＜a＋1}，A∩B≠ ，∴a＋1＞2，且a≤4，解得a∈(1，4].
跟踪训练4
C
(2)已知集合P={y|y2－y－2＞0}，Q={x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q=R，P∩Q=(2，3]，则a＋b=　 　.
【解析】 P={y|y2－y－2＞0}={y|y＞2，或y＜－1}，∵P∪Q=R，P∩Q=(2，3]，∴Q={x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b=0的两个根，由根与系数的关系得－a=－1＋3=2，b=－3，∴a=－2，∴a＋b=－5.
－5
考点四　Venn图的应用
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
(　 　)
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
【解析】 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图所示，
则(60%－x)＋(82%－x)＋x=96%，解得x=46%.
例 5
C
在部分有限集中，经常会遇到元素个数的问题，我们常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
“运动改造大脑”，为了增强自身的身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A，径赛项目B，其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和B，4名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班的总人数是(　 　)
51 B. 50 C. 49 D. 48
跟踪训练5
B
【解析】 由题意，Card(A)=25，Card(B)=20，Card(C)=18，Card(A∩B)=6，Card(A∩C)=4，Card(B∩C)=3，
∵全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，∴这个班的总人数是Card(A∪B∪C)=Card(A)＋Card(B)＋Card(C)－Card(A∩B)－Card(A∩C)－Card(B∩C)=25＋20＋18－6－4－3=50.
课时作业
答案速对
第一章 对点练1 集合 题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C C D D A
题号 7 8 9 10 13 14
答案 B BC ABD BC B AD
1.(2025·北京卷)已知集合M={x|2x－1＞5}，N={1，2，3}，则M∩N=(　 　)
A. {1，2，3} B. {2，3}
C. D.
D
2.(2025·全国Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　 　)
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
C
3.(2025·河北石家庄模拟)设集合A={1，ln a}，B={0，a}，若A=B，则a=(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. e
C
4.(2025·江苏盐城模拟)已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5.(2025·天津卷)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={2，3，5}，则 U(A∪B) =(　 　)
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4}
C. {2，4} D. {4}
D
6.(2025·山东青岛三模)若集合A=，B=，则(　 　)
A. A B B. B A
C. A=B D. A∩B=
【解析】 ∵集合A=，B=，则A B.
A
7.(2025·湖北鄂州模拟)某校高一年级有1 200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个学生至少选择一种参加.统计调查得，选择其中一项活动的人数占总数的60%~65%，选择另一项活动的人数占总数的50%~55%，则下列说法中，正确的是
(　 　)
A. 同时选择两项参加的人数可能有100人
B. 同时选择两项参加的人数可能有180人
C. 同时选择两项参加的人数可能有260人
D. 同时选择两项参加的人数可能有320人
【解析】 根据题意，60%＋50%－1=10%，65%＋55%－1=20%，则同时选择两项参加的人数在10%~20%之间，换算成人数为1 200×10%=120，1 200×20%=240，即120~240之间，因此符合题意的选项只有B.
B
8.(多选)设全集U={a，4，a2}，集合A={b，c}，若 UA={1}，则(　 　)
A. a=1 B. a=－1
C. b＋c=3 D. b=－1，c=4
【解析】 若 UA={1}，则b≠1，c≠1，且或∴a=－1，∴U={－1，4，1}，A={－1，4}，则b＋c=3.
BC
9.(多选)(2025·湖北黄冈模拟)对于集合A，B，定义运算：A/B={x|x∈A，且x B}，A B=(A/B)∪(B/A). 若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则(　 　)
A. B/A={5，6} B. A B={1，2，5，6}
C. A B=A∪B D. A B≠A∩B
【解析】 对于A，根据题中信息可得B/A={5， 6}，A正确；对于B，根据题意可得A/B={1，2}，故A B=(A/B)∪(B/A)={1，2，5，6}，B正确；对于C，A∪B ={1，2，3，4，5，6}≠A B，C错误；对于D，A∩B ={3，4}≠A B，D正确.
ABD
10.(多选)若集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤－3，或x≥1}=(　 　)
A. M∩N B. RM
C. R(M∩N) D. R(M∪N)
【解析】 ∵集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，∴M∩N={x|－3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}， RM={x|x≤－3，或x≥1}，∴ R(M∩N)={x|x≤－3，或x≥1}， R(M∪N)={x|x＞3}.
BC
11.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数是　 　.
【解析】 当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，综上，I的所有“好子集”的个数为8.
8
12.定义集合的e运算：已知集合A，B，则AeB=. 若集合A={1， x}，B={x2， x3}，则集合AeB的真子集个数的取值是　 　.
【解析】 由集合中元素的互异性可得x≠0，且x≠1. 当x=－1时，A=B={1，－1}，∴AeB={1，－1}，此时集合AeB的真子集个数为22－1=3. ∵若集合中有n(n∈N*)个元素，则该集合有2n个子集，有2n－1个真子集，当x≠0，且x≠±1时，AeB=，此时集合AeB的真子集个数为23－1=7.
3或7
13.对于集合A，B，定义A/B={x|x∈A，且x B}，则对于集合A={x|x=6n＋5，n∈N}，B={y|y=3m＋7，m∈N}，C={x|x∈A　　　　　　B，且x＜1 000}，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若在横线上填入“∩”，则C的真子集有212－1个
B. 若在横线上填入“∪”，则C中元素个数大于250
C. 若在横线上填入“/”，则C的非空真子集有2153－2个
D. 若在横线上填入“∪ N”，则 NC中元素个数为13
【解析】 x=6n＋5=3×(2n＋1)＋2，y=3m＋7=3(m＋2)＋1，集合A，B无公共元素.对于A，集合C为空集，没有真子集，A错误；对于B，由6n＋5＜1 000得n＜165，由3m＋7＜1 000得m＜331，因此C中元素个数为166＋331=497，B正确；对于C，C中元素个数为166，非空真子集个数为2166－2，C错误；对于D，先不考虑x＜1 000，则 NC= N(A∪ NB)=( NA)∩ N( NB)=( NA)∩B，而B NA，因此其中元素个数为331，D错误.
B
14.(多选)(2025·湖南长沙模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　 　)
A. B∩(A∪C)
B. UB∩(A∪C)
C. B∩ U(A∪C)
D. (A∩B)∪(B∩C)
【解析】 在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，∴阴影部分所表示的集合为 (A∩B)∪(B∩C)，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为B∩(A∪C)，∴A，D正确，B，C错误.
AD
15.(2025·山西太原二模)设集合A={x|x=3k＋2，k∈Z}，B={x|x=5k＋4，k∈Z}，在集合A∩B的所有元素中，绝对值最小的元素是　 　.
【解析】 A={x|x=3k＋2，k∈Z}={…，－4，－1，2，5，8，…}，B={x|x=5k＋4，k∈Z}={…，－6，－1，4，9，…}，显然集合A∩B的所有元素中，绝对值最小的元素是－1.
－1
16.(2025·四川凉山三模)已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组(A， B)的个数为　 　.
【解析】 设集合B的元素个数为n∈{0，1，2，3，4，5，6}，则集合B的个数有个，可知集合B的子集有2n个，即集合A的个数有2n个，∴有序集组(A， B)的个数为·20·21＋…·26=(1＋2)6=729.
729

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