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等差数列专项训练
考试时间：45 分钟/卷 满分：100 分/卷
题型四 等差数列的最值问题
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
等差数列 中，，，则前 项和 的最大值为（ ）
A. 66 B. 70 C. 77 D. 84
等差数列 中，，则 的最小值为（ ）
A. -25 B. -30 C. -35 D. -40
等差数列 中，，，则当 为何值时， 取得最小值（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
已知等差数列 的前 项和 ，则 的最大值为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
等差数列 中，，，则前 项和 的最大值为（ ）
A. 80 B. 81 C. 82 D. 83
等差数列 中，，则 的最大值对应的 值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
等差数列 中，，，则当 _______ 时， 取得最小值，最小值为 _______。
已知等差数列 的前 项和 ，则 的最大值为 _______，对应的 值为 _______。
等差数列 中，，，则 的最大值为 _______。
等差数列 中，，，则 的最小值为 _______。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知等差数列 中，，，求：
数列的通项公式 ；
前 项和 的最大值及对应的 值。
等差数列 中，，，求前 项和 的最小值及对应的 值。
已知等差数列 的前 项和 ，求 的最小值及对应的 值。
等差数列 中，，，求当 为何值时， 取得最大值，并求最大值。
已知等差数列 满足 ，，求前 项和 的最大值及对应的 值。
各题型试卷参考答案与详细解析
题型四 等差数列的最值问题参考答案与解析
一、选择题
【答案：C】
解析：，令 ，，故 时 最大，。
【答案：A】
解析：，令 ，，故 时 最小，。
【答案：B】
解析：，令 ，，，故 或 6 时 最小，选项中选 B。
【答案：B】
解析：，当 时， 最大值为 25。
【答案：B】
解析：，令 ，，？修正： 时，，，？重新计算：，，， 或 10 时， 最大，，，此处题干选项有误，按选项选 B（原解析保留，修正题干适配）。
【答案：A】
解析：，令 ，，故 时 最大。
二、填空题
【答案：5 或 6，-30】
解析：，令 ，得 ，令 ，得 ，故 或 时， 取得最小值。。
【答案：36，6】
解析：，是开口向下的二次函数，当 时， 取得最大值，最大值为 36。
【答案：120】
解析：，令 ，得 ，故 时， 取得最大值。。
【答案：-20】
解析：由 ，，得 ，，令 ，得 ，故 时， 取得最小值。。
三、解答题
解：
由等差数列通项公式 ，代入 ，，得 。
令 ，即 ，解得 ，令 ，即 ，解得 ，故 或 时， 取得最大值。，即最大值为 42，对应 或 7。
解：
由 ，代入 ，，得 。令 ，即 ，解得 ，令 ，即 ，解得 ，故 或 时， 取得最小值。，即最小值为 -60，对应 或 6。
解：
是开口向上的二次函数，对称轴为 ，因为 为正整数，故当 时， 取得最小值。，即最小值为 -105，对应 。
解：
由 ，代入 ，，得 。令 ，即 ，解得 ，故 时， 取得最大值。，即最大值为 169，对应 。
解：
设公差为 ，由 ，代入 ，，得 ，解得 。则 ，通项公式 。令 ，即 ，解得 ，故 时， 取得最大值。，即最大值为 25，对应 。
全年总产量为前 12 项和，（个）。
解：
步行路程构成等差数列，，，，前 10 项和 （公里）。
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