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2025-2026学年北京市西城区德胜中学八年级（上）段考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列长度的四根木棒中，能与3cm和9cm的两根木棒围成一个三角形的是（　　）
A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. 12cm
2.汉字是中华优秀传统文化的重要载体，在几千年的发展演变过程中，篆体是其发展中的重要阶段.在下列篆体文字中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. a3 a2=a4 B. 3a8÷a2=3a4 C. （x-3）2=x2-9 D. （a3）3=a9
4.若将分式中的x,y都扩大10倍，则分式的值（　　）
A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的10倍
5.如图，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ABC与△ADE的周长之比为（　　）
A. 2：3
B. 3：2
C. 4：9
D. 9：4
6.如图，已知∠AOB，求作：∠BOC，使∠BOC=∠AOB.
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交OA，OB于点E，F，连接EF；
（2）以F为圆心，EF的长为半径作弧，交于点C，连接FC，EC；
（3）作射线OC，∠BOC即为所求作的角.下列结论正确的是（　　）
A. △EOF≌△COF的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B. EC=2EF
C. ∠AOC=∠OEF
D. △EOC是等腰三角形
7.“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木1200棵.在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵数比原计划增加了25%，结果比原计划提前4天完成任务.设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，，则△ABC的面积是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.如果分式有意义，那么实数x的取值范围是______.
10.点（4，-1）关于x轴对称的点的坐标为 .
11.计算3a 2a2的结果等于 .
12.如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 （添加一个即可）.
13.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 秒.
14.在△ABC中，AB=AC，∠B=68°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是 .
15.方程组的解是 .
16.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，PN⊥OA，垂足为点N，PN=NO=5，则四边形CODP的面积为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.分解因式：
（Ⅰ）12x2-3y2；
（Ⅱ）4ab2-4a2b-b3.
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题11分)
（1）计算：（a+b）（a-8b）；
（2）先化简，再求值：，其中.
19.(本小题7分)
解分式方程：=3.
20.(本小题8分)
如图所示，△ABC中，AB=AC，直线DE经过点A，CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别是点D，E，且AD=BE.
（1）求证：△ACD≌△BAE；
（2）求∠ACB的度数.
21.(本小题10分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法.
（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰锐角三角形ABP；
（2）在图②中以线段AB为底画一个等腰直角三角形ABM；
（3）在图③中画等腰钝角三角形ABN.
22.(本小题8分)
观察下列等式，并回答问题.
4×1=22-02；
4×2=32-12；
4×3=42-22；
4×4=52-32；
…
（1）将2024写成两个整数平方差的形式：2024=______-______.
（2）用含有字母n（n≥1，且n为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律.
（3）相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由.
23.(本小题8分)
用一张矩形纸片剪一个等边三角形.
第一步，如图（1），对折矩形纸片ABCD（AB＞BC），使AB与CD重合，得到折痕EF，把纸片展平；
第二步，如图（2），再一次折叠纸片，使点D落在EF上的M处，并使折痕经过点A，得到折痕AG；
第三步，如图（3），沿GM折叠纸片，得到折痕GH.
第四步，沿AG，GM裁剪矩形纸片，得到△AGH.
（1）说明△AGH是等边三角形.
（2）已知矩形纸片一边长为3，另一边长为a.对于每一个确定的a的值，都能剪出最大的等边三角形.画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.
（3）如图（4），用一张边长为4的正方形纸片ABCD剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶点都在正方形的边上.设这个等边三角形的面积为S，直接写出S的取值范围.
24.(本小题8分)
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是边AC上的中线.点P在射线BD上（点P不与点B重合），连接CP.
（1）如图1，当点P在BD延长线上时，如果∠BDC=2∠BCP，求证：△BPC是直角三角形；
（2）当AB=6时，
①如图2，如果点P是△ABC的内心，求△BPC的面积；
②填空：如果AB=PC，BD=2PD，那么AC的长为______ .
25.(本小题4分)
如果整式A与整式B的和为有理数a,我们称A，B为数a的“关联整式”.例如x-4和-x+5为数1的“关联整式”：2ab+3和-2ab+4为数7的“关联整式”.
（1）2-m+n和m-n-5为数______的“关联整式”；
（2）若2A和B为数1的“关联整式”，A=x2-2x+3，求代数式B；
（3）若关于x的整式x2-2kx+3与-x2-3x+k-1为数n的“关联整式”，求有理数n的值.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P与直线l给出如下定义：若点P关于直线l的对称点到y轴的距离不超过1，则称点P存在关于直线l的近距对称点.（规定：当点在直线上时，点到直线的距离为0.）
（1）在点，P2（-1，3），P3（2，2）中，存在关于y轴的近距对称点的是 ______ ；
（2）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，∠AOB=60°，若点P（t,0）存在关于直线OB的近距对称点，直接写出t的取值范围；
（3）已知直线l与x轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，若经过点C（-1，1）与点O的直线上任意一点，都存在关于直线l的近距对称点，直接写出∠OAB的度数及点B到直线OC的距离d的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】x≠
10.【答案】（4，1）
11.【答案】6a3
12.【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF或∠C=∠F
13.【答案】4.3×10-17
14.【答案】12°或78°
15.【答案】或
16.【答案】25
17.【答案】3（2x+y）（2x-y） -b（2a-b）2
18.【答案】a2-7ab-8b2 -2 m-6，-
19.【答案】解：方程两边同时乘最简公分母x-2得，
x-1-1=3（x-2），
解这个整式方程得，x=2，
检验：把x=2代入最简公分母x-2得，x-2=2-2=0，
∴x=2是原方程的增根，原分式方程无解．
20.【答案】证明见解答；
∠ ACB的度数是45°．
21.【答案】（1）解：如图，△ABP即为所求作，
由勾股定理可知：AB=，由图可知：BP=，
∴AB=BP，
即△ABP是等腰三角形；
（2）解：如图，△CDM即为所求作，
由图知：AM=BM=，AB=，
∴AM2+BM2=AB2．
∴△ABM是等腰直角三角形；
（3）解：如图，△ABN为所求作，
如图：AB=BN=．且∠ABN＞90°，
∴△ABN是等腰钝角三角形．
22.【答案】5072;5052 （2）4n=（n+1）2-（n-1）2（n≥1且为整数） （2）不是4的倍数
23.【答案】见解析；
示意图见解析；或＜a或a≥2；
．
24.【答案】（1）∵∠ABC=90°，BD是中线，
∴DB=AD=DC，
∴∠A=∠DBA，∠DCB=∠DBC，
∵∠BDC=∠A+∠DBA=2∠BCP，
∴∠BCP=∠DBA，
∵∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠DBC+∠BCP=90°，
∴∠P=90°，
∴△BPC是直角三角形 ；
（2）①18-9；②4.

25.【答案】-3；
-2 x2+4x-5；
0.5．
26.【答案】P1，P2；
-2≤t≤2；
∠OAB=67.5°或22.5°，0＜d≤1．
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