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2025-2026学年湖北省仙桃市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为10cm×20cm的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于0.75，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（　　）
A. 60cm2 B. 120cm2 C. 150cm2 D. 180cm2
3.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）

A. B.
C. x（5-x）=6 D.
4.将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A. y=（x+1）2-3 B. y=（x+1）2-2 C. y=（x-1）2-3 D. y=（x-1）2-2
5.已知反比例函数，下列选项正确的是（　　）
A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限
C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大
6.已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（　　）
A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π
7.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则∠AOE的度数是（　　）
A. 30°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
8.如图，点A的坐标是（-2，3），将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'O，点A′的坐标是（　　）
A. （2，3）
B. （3，2）
C. （-3，-2）
D. （-2，-3）
9.已知点A（-2，y1），B（3，y2），C（7，y3）都在二次函数y=-（x-2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y3＜y1＜y2 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y2＜y3
10.如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为（　　）
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.“通常加热到100℃时，水沸腾”是 事件（填“必然、随机或不可能”）.
12.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 .
13.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5.则DC的长是 .
14.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：h=-5t2+10t.根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒.
15.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x=-1，与y轴相交于点A（0，2）.给出以下4个结论：①abc＞0；②b=2a；③对于任意实数m,am2+bm+c+a的值不小于2；④若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为.其中，所有正确结论的序号为 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x2-7x=-12.
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动.
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
18.(本小题6分)
如图，已知菱形ABCD的顶点在方格纸的格点上，其中A，B，C的坐标分别为（0，1），（-2，4），（-4，1）.该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）.
（1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心G的坐标和点B的对应点B'的坐标；
（2）将菱形ABCD平移，使点C的对应点为点B，画出平移后的菱形.
19.(本小题8分)
设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时，求m的值；
（2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0.
20.(本小题8分)
在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的关系，结果如表所示.
测试平台所受压强P（Pa） 50 100 200 400
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25
（1）根据表中数据，求测试平台所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式；
（2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平测试平台上.若该水平测试平台能承受的最大压强为5000Pa,请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由.
21.(本小题8分)
如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD=∠CAB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB=30°，AB=4，求扇形OBD的面积.
22.(本小题10分)
某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题.
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决.
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量（x≥0），种子的发芽率y（%）为函数（因变量），进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据如下：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点.
说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率不小于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验.
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度x的取值范围.
23.(本小题11分)
在矩形ABCD中，AB=3，.将边AB绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE，交直线BC于点F.
（1）①当θ=90°时，四边形ABFE的形状最特殊，此时形状为______；
②如图1，当θ=45°时，连接DE，猜想DE，BF和CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）在AB旋转过程中，当直线EF经过CD边的中点时，与直线AD交于点M，求DM的长.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax（a≠0）交于原点O和点A（-2，m）.
（1）请用含a的式子表示m和b；
（2）过点P（t,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M.
①若a=-1，t=2，求△OAM的面积；
②已知在点P从点O运动到点B（-3a,0）的过程中，△OAM的面积随OP的长的增大而增大，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】必然
12.【答案】1
13.【答案】2
14.【答案】2
15.【答案】①②③
16.【答案】x1=4，x2=3．
17.【答案】解：（1） ；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为=．
18.【答案】平面直角坐标系如图所示，

对称中心G的坐标是，点B的对应点B'的坐标是 （2，-5）；
画出平移后的菱形，如图所示．
19.【答案】 证明：方程（x-1）（x-2）=m2可化为x2-3x+2-m2=0．
∵x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根，
∴x1+x2=3，．
∴．
∵m2≥0，
∴-m2≤0，即（x1-1）（x2-1）≤0
20.【答案】 这种摆放方式安全，
理由：S=0.2×0.2=0.04，
当S=0.04时，，
∵2500＜5000，
∴这种摆放方式安全
21.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，

∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，
∵∠CAB=30°，AB=4，
∴∠DOB=2∠CAB=60°，OD=OB=AB=2，
∴S扇形OBD==，
∴扇形OBD的面积为．

22.【答案】二次函数；y=-7x2+28x+35 4＜x≤5
23.【答案】正方形；
结论：DE+BF=CD．
理由：如图2，连接AF，过点E作EG⊥AD于点G．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=CD．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
将边AB绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）得到线段AE，
∴AB=AE=3，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF=EF．
∵∠BAE=45°，
∴∠EAG=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=，
∵AD=3，
∴DG=，
∴DG=EG．
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEG=∠EDG=45°，
∴∠AED=∠AEG+∠DEG=90°，
∴∠AEF+∠AED=180°，
∴D，E，F三点在同一直线上，
∴DE+BF=DE+EF=DF．
∵∠EDG=45°，
∴∠CDF=90°-∠EDG=90°-45°=45°．
在Rt△DFC中，由三角函数可知，cos45°==，
∴DF=CD，
∴DE+BF=CD；
DM的长为+或-
24.【答案】m=-2a，b=3a ①8；②a≤且a≠0
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