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2025-2026学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图中，不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列式子中是分式的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. a+2a2=2a3 B. a8÷a2=a4 C. a3 a2=a4 D. （a3）2=a6
4.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. （a+b）（a-b）=a2-b2 B. （a+b）2=a2+2ab2+b2
C. a2+2ab=（a+b）2-b2 D. 2x2+3x-2=（2x-1）（x+2）
5.如图1是某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=60cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A. 30cm B. 60cm C. 70cm D. 80cm
6.建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积m必须小于房间地面的面积n,但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好.小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积a,他这样做采光条件（　　）
A. 变好了 B. 变差了 C. 不变 D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为 .
8.若分式有意义，则实数x的取值范围是 .
9.多项式3a3b2-6a2c的公因式是 .
10.等腰三角形的顶角为50°，底角的度数为 °.
11.方程有增根，则x的值是 .
12.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC=4，AD=5，AB的长度为偶数，则AB的所有可能值为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
因式分解：
（1）a3-2a2+a；
（2）9x2-y2.
14.(本小题6分)
计算：.
15.(本小题6分)
化简求值：，从-1，1，2，0四个数中选择一个你喜欢的数字，代入式子并求值.
16.(本小题6分)
如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30°，∠ACD=100°，求∠DAE的度数．
17.(本小题6分)
已知三角形的边a,b,c满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，判断三角形的形状，并说明理由.
18.(本小题8分)
已知：5m=4，5n=6，25p=9.
（1）求5m+n的值；
（2）写出m,n,p之间的数量关系，并说明理由.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，BE⊥AC交直线AC于点E，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求画图.
（1）在图1中，过点C作AB边上的高CF；
（2）在图2中，过点E作BC的平行线EG.
20.(本小题8分)
从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025年被称为人形机器人的“量产元年”.目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续11年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破19万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进.某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同.
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2900kg,则至少购进A型机器人多少台？
21.(本小题9分)
有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2.
（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于______.（用含m、n的代数式表示）
（2）请你观察图形③，根据图中面积关系，写出一个关于m,n的等式______.
（3）解决问题：若已知x+y=7，xy=10，求x-y的值？
（4）拓展探究：小明用8个一样大的长方形（长a cm,宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞，则（a+2b）2-8ab的值为______.
22.(本小题9分)
阅读：如果两个分式A与B的和为常数k,且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”.如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k=1.
（1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k=2.
①用含x的式子表示M；
②x为何整数时，分式D的值为正整数？
23.(本小题12分)
【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据______（填全等的判定依据），证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC=BC（即点C为AB的中点）.
【类比解答】
如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=______；
【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论.
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：
①借助相关工具作出∠ACB的角平分线CD；
②过点A作AD⊥CD于D.已知BC=13，AC=10，△ABC面积为26；求划出的△ACD的面积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】8.6×10-8
8.【答案】x≠-2
9.【答案】3a2
10.【答案】65
11.【答案】4
12.【答案】8，10，12
13.【答案】a（a-1）2 （3x+y）（3x-y）
14.【答案】-6．
15.【答案】．
16.【答案】解：∵∠B=30°，∠ACD=100°，
∴∠BAC=100°-30°=70°，
∴∠EAC=180°-70°=110°，
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAE=EAC=55°．
17.【答案】三角形为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c，
∴该三角形为等边三角形．
18.【答案】24 m+2p=2n
19.【答案】作图：
作图：

20.【答案】A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；
至少购进A型机器人17台．
21.【答案】（m-n） （m+n）2-4mn=（m-n）2 ±3 4 cm2
22.【答案】A与B是互为“关联分式”，“关联值”k=2 ①-5x-15；②x=2或x=-2
23.【答案】ASA 26°
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