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相交线与平行线（B卷·综合能力提升卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025·西湖模拟）如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·光明期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，与DE相交于点，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·威县月考）在同一平面内，小明将一到三角板按如图所示的位置摆放，可以画出线段和线段，且，在不添加辅助线的情况下，的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
4．（2024七下·博白期中）下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·青秀期末）如图，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2024七下·吴兴期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024·茅箭模拟） 如图，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·湘桥月考）如图，下列能判定的条件有（　　）个．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2024七下·潮阳期末）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022七下·兴宁期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则.
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·温州期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则　 　．
12．（2024七下·拱墅期末）一副标准的三角尺按如图位置摆放．若，点D在边上，则　 　度．
13．（2024七下·谷城月考） 如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是　 　．
14．（2024七下·通榆月考）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为　 　．
15．（2025七下·柯桥月考）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
16．（2024七下·余江期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当时，．则其它所有可能符合条件的度数为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·澄海期中）如图，EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，∠E＋∠ABG＝180°．
（1）求证：；
（2）若∠D＝100°，，求∠E的度数．
18．（2024七下·开化期中）如图，在四边形ABCD中，，.
（1）求的度数.
（2）若AE平分交BC于点E，，请说明的理由.
19．（2024七下·余江期中） 如图，已知，直线分别交直线，于，两点，，．
（1）若，求的度数；
（2）试说明．
20．（2024七下·苍梧期末）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分，OD平分交DE于点D.

（1）试说明；
（2）若与互余，试说明.
21．（2024七下·柯桥期中）如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形ABC的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位得到△A'B'C'，请在图中画出△A'B'C'；
（2）连结AA'，BB'，则AA'与BB'之间的关系为　 　．
22．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
23．（2024七下·荔湾月考）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点.
（1）写出的度数_________；
（2）试求的度数（用含的代数式表示）；
（3）将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示）
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相交线与平行线（B卷·综合能力提升卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025·西湖模拟）如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
2．（2025七下·光明期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，与DE相交于点，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 过点G作GH∥BC，
∴ ∠HGB=∠B=45°；
∵，
∴∥GH，
∴ ∠HGE=∠E=60°，
∴=∠HGB+∠HGE=45°+60°=105°。
故答案为：D.
【分析】过点G作GH∥BC，根据平行线的性质得出∠HGB=∠B=45°；在根据平行公理得出∥GH，可得出 ∠HGE=∠E=60°，进而根据两角之和可得出的度数 。
3．（2024七下·威县月考）在同一平面内，小明将一到三角板按如图所示的位置摆放，可以画出线段和线段，且，在不添加辅助线的情况下，的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：∠A=∠C=90°，
（内错角相等，两直线平行），
判定的依据是内错角相等，两直线平行.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案.
4．（2024七下·博白期中）下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵，(内错角相等，两直线平行）
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理逐一分析即可．
5．（2024七下·青秀期末）如图，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，
②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，
⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故答案为：C
【分析】根据角平分线的定义结合题意得到，进而等量代换得到，从而根据平行线的判定即可判断①；根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义结合题意即可判断②；根据角平分线的定义得到，进而进行等量代换得到，再结合已知条件即可得到，从而即可判断③；根据角平分线的定义得到，进而根据平行线的性质得到，，从而得到，根据角平分线的定义得到，再结合题意等量代换即可得到，从而即可判断④；由④得，，进而根据平行线的性质得到，从而等量代换得到即可判断⑤.
6．（2024七下·吴兴期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将三角形沿方向平移得到，
∴，
∴，即，
∵
∴，，
四边形与四边形周长之差为
∵
∴四边形与四边形周长之差为，
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质可得，，结合已知可得，，根据四边形周长之差即可求解．
7．（2024·茅箭模拟） 如图，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠BAC+∠C=180°，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=180°-120°=60°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACD=180°，将∠BAC=120°代入，即可得到∠C的度数.
8．（2024七下·湘桥月考）如图，下列能判定的条件有（　　）个．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：① 利用同旁内角互补判定两直线平行，故① 正确；
② 利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD//BC，故② 错误；
③ 利用内错角相等判定两直线平行，∵∠3=∠4，∴AB//CD，故③ 正确；
④ 利用同位角判定两直线平行，故④ 正确；
∴正确的有3个。
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行即可得出① 、③ 、④正确。
9．（2024七下·潮阳期末）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】过点H作，过点F作，则，，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
10．（2022七下·兴宁期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则.
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：分别过E、F作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故答案为：C.
【分析】分别过E、F作，，由AB∥CD可得，利用平行线的性质及角的和差关系分别求解，继而判断.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·温州期中）如图，已知直线，被所截，是的角平分线，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是的角平分线
∴
∴
∴
∵，即
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据角平分线的定义得到：，进而得到，然后根据角的运算得到，再根据同位角相等，两直线平行，则，进而即可求解.
12．（2024七下·拱墅期末）一副标准的三角尺按如图位置摆放．若，点D在边上，则　 　度．
【答案】105
【解析】【解答】解：由题意得，
∵ AB∥DE，
.
故答案为：105．
【分析】根据平行线的性质得到，再根据平角定义计算即可．
13．（2024七下·谷城月考） 如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是　 　．
【答案】35°
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠BOD=∠D=110°，∠AOD=70°；
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=55°，
∴∠DOF=90°-∠DOE=90°-55°=35°
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=70°-35°=35°
故答案为：35°
【分析】先根据平行线的性质得到∠BOD=∠D=110°，∠AOD=70°，进而根据角平分线的定义得到∠DOE=∠BOD=55°，从而结合题意进行角的运算即可求解。
14．（2024七下·通榆月考）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为　 　．
【答案】74
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作，过点作，先根据垂直的定义得到，再利用平行线的性质以及已知条件求得，，从而求解.
15．（2025七下·柯桥月考）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
【答案】或120°
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
16．（2024七下·余江期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当时，．则其它所有可能符合条件的度数为　 　．
【答案】和
【解析】【解答】解：如图：当
时，
；
如图：当
时，
；
如图：当
时，
∵，
∴．
故填
和
．
【分析】分三种情况
，
和
进行分析，利用平行线的性质及角的关系即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·澄海期中）如图，EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，∠E＋∠ABG＝180°．
（1）求证：；
（2）若∠D＝100°，，求∠E的度数．
【答案】（1）证明：∵EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，
∵EF∥BG，
∴∠EMB＝∠ABG，
∵∠E＋∠ABG＝180°，
∴∠E＋∠EMB＝180°，
∴DE∥AB；
（2）解：∵DE∥AB，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＋∠GBC，
∵∠D＝100°，
∴∠ABG＋∠GBC＝100°，
∵∠ABG＝∠GBC，
∴∠GBC＝40°，
∴∠ABG＝60°，
∴∠EMB＝∠ABG＝60°，
又∵DE∥AB，
∴∠E＝180°－∠EMB＝120°．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠EMB＝∠ABG，再根据角之间的关系可得∠E＋∠EMB＝180°，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠D＝∠ABC＝∠ABG＋∠GBC，再根据角之间的关系可得∠GBC＝40°，∠ABG＝60°，则∠EMB＝∠ABG＝60°，再根据直线平行性质即可求出答案.
18．（2024七下·开化期中）如图，在四边形ABCD中，，.
（1）求的度数.
（2）若AE平分交BC于点E，，请说明的理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴.
（2）解：∵AE平分，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）根据题意结合平行线的性质即可求出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得到：结合平行线的性质得到：进而可得到即可求证.
19．（2024七下·余江期中） 如图，已知，直线分别交直线，于，两点，，．
（1）若，求的度数；
（2）试说明．
【答案】（1）解：∵，
∴∠B=∠BFD=20°
∵
∴，
∴∠DFH=∠BFH ∠BFD=70°．
（2）解：∵AB//CD，
∴∠B=∠BFD，
∵∠EFB=∠B，
∴∠EFB=∠BFD，
∵∠BFH=90°，
∴∠BFD+∠DFH=90°，∠GFH+∠BFE=90°，
∴∠DFH=∠GFH．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠BFD=20°，由垂直的定义可得，利用∠DFH=∠BFH ∠BFD计算即可；
（2）由平行线的性质可得∠B=∠BFD，利用等量代换可得∠EFB=∠BFD，根据等角的余角相等即可求解.
20．（2024七下·苍梧期末）如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF，OC平分，OD平分交DE于点D.

（1）试说明；
（2）若与互余，试说明.
【答案】（1）解：因为平分，平分
所以，.
因为，
所以，
所以.
（2）解：由（1）知，
所以
因为与互余，
所以，
所以，
所以.
【解析】【分析】（1）利用角平分线定义求出，，根据邻补角的性质即可求出的值，从而求出∠COD度数，证明OC⊥OD.
（2）利用第一问的结果结合与互余， 可推出，根据内错角相等，两直线平行即可推出.
21．（2024七下·柯桥期中）如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形ABC的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位得到△A'B'C'，请在图中画出△A'B'C'；
（2）连结AA'，BB'，则AA'与BB'之间的关系为　 　．
【答案】（1）解：△A'B'C'如图所示，
（2）平行且相等
【解析】【解答】解：（2）∵AA'，BB'是平移前后对应点的连线，
∴AA'//BB'，且AA'=BB'，
故答案为：平行且相等.
【分析】 （1）先将点A，B，C分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到对应点A'，B'，C'，再顺次连接三个点，即可得到平移后的图形；
（2）根据平移的性质即可得到结论：平移前后的对应点连线平行且相等.
22．（2024七下·威县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠BOE，∠AOE＝2∠FOD．
（1）若∠FOD＝21°，求∠AOD的度数；
（2）猜想OE与OF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠FOD=21°，∠AOE=2∠FOD，∴∠AOE=42°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC平分∠BOE，∴∠BOC=-∠BOE=-×138°=69°，∴∠AOD=∠BOC=69°；
（2）解：猜想OE⊥OF，理由如下：
设∠DOF=x，则∠AOE=2x.
∴∠BOE=180°-2x.
∵OC平分∠BOE，
∴.
∴∠AOD=∠BOC=90°-x.
∴∠AOF=∠AOD-∠DOF=90°-2x.
∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=2x+90°-2x=90°.
∴OE⊥OF.
【解析】【分析】（1）、要注意到∠AOD与∠BOC是对顶角，因此相等. 而∠BOC又间接可以通过求∠AOE来计算（因为∠AOE与∠BOC、∠COE的角度和为180°，而∠BOC=∠COE），然后∠AOE通过条件又可知等于2倍的∠FOD，而∠FOD已经给出了具体的度数，故从∠FOD出发一步步计算出∠AOD；（2）、从图片给到的直观感受就是垂直，因此猜想垂直. 而证明的核心在于证明∠EOF为直角，而∠EOF=∠AOE+∠AOF. 结合条件，以∠FOD为变量，分别表示出∠AOE与∠AOF，最后相加后发现角度为定值90°. 从而求证完毕.
23．（2024七下·荔湾月考）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点.
（1）写出的度数_________；
（2）试求的度数（用含的代数式表示）；
（3）将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示）
【答案】（1）
（2）解：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴.
（3）的度数为或
【解析】【解答】（1）解：∵平分，，
∴
故答案为：；
（3）解：过点E作，点B在点A的右侧时，
若点E在和之间，如图，
∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴；
若点E在上方，如图，
同理，，，
则；
若点E在下方，如图，
同理，，，
则，
综上所述，度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出 即可；
（2） 过点E作， 先利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义可得，， 最后利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：①若点E在和之间，②若点E在上方，③若点E在下方，再分别画出图形并利用角的运算和等量代换求解即可.
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