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二次根式（A卷·基础知识达标卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·饶平期末） 下列运算正确的是(　　).
A． B． C． D．
2．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
3．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·柯桥月考）已知，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．6 D．
5．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·嘉兴期末） 二次根式中，字母x的值可以是（　　）.
A．0 B．3 C．5 D．-2
7．（2025八下·义乌月考）若xy＜0，则 化简后的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·岳阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·安州模拟）等式成立的的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·红花岗期中）若a+b=，ab=1，则式子的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·北京） 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．（2025·涟源模拟）计算的正确结果是　 　．
13．（2025·广东模拟）计算：　 　.
14．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是　 　．
15．（2025八下·临平期中）若的值为零，则x的值是　 　.·
16．（2025八下·路桥期中）化简：　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
19．（2025八下·衢州期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
20．（2024八下·上思期中）我们根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度．假设，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，（计算结果精确到，参考数据：，）
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速，请判断肇事汽车是否超速，并说明理由．
21．（2025八下·义乌月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积．
22．（2024八下·平山月考）嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
（1）他把“■”处的数学猜成－6，请你计算：的结果；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是几？
23．（2024八下·浏阳期中）先化简，再求值：，其中如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）先化简，再求值：，其中．
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二次根式（A卷·基础知识达标卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·饶平期末） 下列运算正确的是(　　).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】
解：，故该选项不符合题意；
，故该选项符合题意；
，故该选项不符合题意；
，故该选项不符合题意；
故答案为：B .
【分析】
本题考查二次根式的加减乘除法计算法则，熟知二次根式的加减乘除法计算法则是解题关键.
根据二次根式的加减乘除法计算法则对选项逐一分析判断即可得出答案.
2．（2025·惠州模拟）若＋有意义，则(－n)2的平方根是(　　)
A． B． C．± D．±
【答案】D
【解析】【解答】∵有意义，
解得：
的平方根是：
故选D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，由此可列出关于n的一元一次不等式组，进而求得n的值，代入可得再由平方根的概念求其平方根即可.
3．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘以多项式，积的乘方，合并同类项，二次根式的乘法法则主线判断解题．
4．（2025八下·柯桥月考）已知，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．6 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴且，
解得：，
当时，，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式组，求解得出x=1，举哀那个x=1代入原等式可求出y=6，最后根据有理数乘方运算法则计算即可.
5．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：对A选项，，无法与合并 ，故A不符合题意；
对B选项，，无法与合并 ，故B不符合题意；
对C选项，，能与合并 ，故C符合题意；
对D选项，a值无法确定，无法与合并 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项的二次根式，即可判断.
6．（2025八下·嘉兴期末） 二次根式中，字母x的值可以是（　　）.
A．0 B．3 C．5 D．-2
【答案】C
【解析】【解答】解：解：根据题意，得x-4≥0，
∴x≥4，
∵0＜-4，1＜4，2＜4，5＞4，
∴字母x的取值可以是5.
故答案为：D .
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：x-4≥0，求出x的取值范围，进而判断出二次根式中x-4字母x的取值可以是哪个即可．
7．（2025八下·义乌月考）若xy＜0，则 化简后的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy＜0，
∴x＜0，y＞0，
∴ =-x ．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的被开放式非负和已知条件xy＜0可判断x、y的符号，x＜0，y＞0，再根据二次根式的性质可化简。
8．（2025·岳阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用积的乘方、幂的乘方法则计算；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）利用同底数幂相除的法则计算；
（4）利用二次根式的加减运算法则计算．
9．（2025·安州模拟）等式成立的的取值范围在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：
，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，在数轴上可以表示为：
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质“”，列出不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
10．（2024八下·红花岗期中）若a+b=，ab=1，则式子的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：==，
∵a+b=，ab=1，
∴原式=-3，
故选：B.
【分析】先对各分式分母有理化，再通分化异分母分式为同分母分式，最后再代入求值即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·北京） 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【解析】【解答】解：由题意可得：
3x-3≥0，解得：x≥1
故答案为： x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025·涟源模拟）计算的正确结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
【分析】
根据二次根式的乘法法则：进行计算即可．
13．（2025·广东模拟）计算：　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】根据二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）进行计算即可.
14．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是　 　．
【答案】2025
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
15．（2025八下·临平期中）若的值为零，则x的值是　 　.·
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵的值为零，
∴
∴
故答案为：-3.
【分析】根据二次根式的结果为0时，其被开方数必须等于0，则得到解此方程即可.
16．（2025八下·路桥期中）化简：　 　
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】利用二次根式的性质：即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·广州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，需遵循“先化简，再运算，最后合并同类二次根式”的原则。
（1）先对各项二次根式进行化简，，，，再将化简后的式子合并同类二次根式，即；
（2）先进行二次根式的除法运算，根据除法分配律，分别计算得，再与合并同类二次根式，即。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
19．（2025八下·衢州期末）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
【答案】（1）解：①
（2）解：
=
=.
【解析】【分析】(1)分别对照各项化简的过程，即可判断；
(2)按照二次根式化简的规则进行化简，再合并同类二次根式.
20．（2024八下·上思期中）我们根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度．假设，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，（计算结果精确到，参考数据：，）
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速，请判断肇事汽车是否超速，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，，
∴（），
∴肇事汽车的速度（）
（2）解：由（）得肇事汽车的速度，
∴肇事汽车没有超速．
【解析】【分析】（），将，代入进行计算即可求出该汽车的车速；
（）根据（）求出肇事汽车的速度与限速比较即可得出结论.
21．（2025八下·义乌月考）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积．
【答案】（1）解：利用二次根式的除法解得： (米)。
答：这个舞台的宽是 米
（2）解：
(平方米)。
答：舞台装饰后的面积是140平方米
【解析】【分析】(1)利用二次根式的除法解题即可；
(2)利用二次根式的混合运算解题即可.
22．（2024八下·平山月考）嘉琪准备完成题目“计算：”时，发现“■”处的数字印刷不清楚．
（1）他把“■”处的数学猜成－6，请你计算：的结果；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是．”通过计算说明原题中“■”是几？
【答案】（1）解：（1－）2－（－6）×+（+2）（－2）
=4－2+6×
=4－2+2－1
=3
（2）解：设“■”为m，依题意得，
（1－）2－m×+（+2）（－2）=－2
4－2－
m=
∴原题中“■”表示的数字是
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式，二次根式的加减乘除法则等化简求解即可；
（2）根据题意先设“■”为m，再求出（1－）2－m×+（+2）（－2）=－2，最后计算求解即可。
23．（2024八下·浏阳期中）先化简，再求值：，其中如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮
（2）
（3）解：原式
，
将代入，
则原式．
【解析】【解答】（1）根据上述解答过程，可知小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）小亮错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质为：，
故答案为：.
【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）利用二次根式的性质分析求解即可；
（3）先利用二次根式的性质化简，再将a的值代入计算即可.
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