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四边形 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
2． 如图，在 ABCD 中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交 BC 于点E，则EC 的长为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等
5．若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FC过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
7．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．2.5
8．如图，在正方形ABCD中，对角线，则正方形ABCD的周长为（　　）
A． B．8 C． D．16
9．如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点A的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为在正方形外，，过作于，直线DH，EC交于点，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为　 　．
12．已知正方形ABCD，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当DQ+BP=PQ时，则∠QAP=　 　．
13．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　 　．
14．已知菱形的两条对角线，则菱形的边长　 　．
15．如图，在 中， ， ，点D在边 上，若以 、 为边，以 为对角线，作 ，则对角线 的最小值为　 　.
16．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
18．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：AD=CN；
（2）请添加一个条件，使四边形ADCN是矩形．并证明．
19．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=14，DF=13，AD=15，求AC的长
20．如图，在矩形ABCD中，点F为BC边的中点，是等腰三角形，，连接EF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接AF、DF，EF与AD交于点O．
①求证：四边形AEDF是菱形；
②在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出两个三角形，使写出的每个三角形的面积均是矩形ABCD面积的一半（不用写出过程）．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交边AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝BE时，求四边形DEBF的面积．
22． 如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
23．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
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四边形 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【解析】【解答】用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定定理四边相等的四边形是菱形可判断结果。
2． 如图，在 ABCD 中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交 BC 于点E，则EC 的长为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：
是等边三角形，
故选： D.
【分析】证明 是等边三角形，推出BE=AB=3可得结论.
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，对选项进行排除即可选出正确答案。
4．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A．对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
C．对角线与一边夹角为的矩形是正方形，故C正确，不符合题意；
D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】
对角线相等的平行四边形是矩形．
5．若一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，
得 ，
解得：n=5.
即这个多边形为五边形.
故答案为：C.
【分析】设这个多边形是n边形，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
6．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FC过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【答案】D
【解析】【解答】连接DE，
∵S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，
∴S四边形CEGF=S正方形ABCD，
故答案为：D.
【分析】根据正方形及矩形的性质可得S△CDE=S四边形CEGF，S△CDE=S正方形ABCD，从而可得S四边形CEGF=S正方形ABCD，据此判断即可.
7．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．2.5
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
的平分线和的平分线交于上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行得CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠BAE=∠BEA，由等角对等边得BE=AB=2，同理可得CE=CD=2，则AD=BC=BE+CE=4；由平行四边形的邻角互补及角平分线的定义可得∠EAD+∠ADE=90°，由三角形的内角和定理得∠AED=90°，从而根据勾股定理算出DE即可.
8．如图，在正方形ABCD中，对角线，则正方形ABCD的周长为（　　）
A． B．8 C． D．16
【答案】C
【解析】【解答】解：∵对角线，
∴，
∵在正方形ABCD中AB＝BC，
∴AB＝BC＝，
∴正方形ABCD的周长为：，
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质可得AB＝BC，∠B=90°，可得AB=AC=，继而求出正方形的周长.
9．如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点A的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB=90°，AB=OA=1，
∴点B的坐标为（1，1），
连接OB，如图所示：
由勾股定理可得：OB=，
由旋转的性质可得：OB=OB1=OB2=OB3=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=45°，
∴B1（0，），B2（-1，1），B3（，0），B4（-1，-1），B5（0，），B6（1，-1），B7（，0），……，
∴点B的坐标是按8次一循环的规律进行，
∵2023÷8=252……7，
∴点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先求出点B的坐标，连接OB，再求出OB=OB1=OB2=OB3=，再利用旋转的性质求出B1（0，），B2（-1，1），B3（，0），B4（-1，-1），B5（0，），B6（1，-1），B7（，0），……，点B的坐标是按8次一循环的规律进行，再结合2023÷8=252……7，求出点的坐标为即可.
10．如图，正方形ABCD的边长为在正方形外，，过作于，直线DH，EC交于点，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°，
∵DC=DE，
∴DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，故①正确
∵DA=DC=DE，
∴∠AEC=∠ADC=45°(圆周角定理)，
∵DM⊥AE，
∴∠EHM=90°，
∴∠DMC=45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，
∵∠ADC=∠MDF=90°，
∴∠ADM=∠CDF，
∵∠DMF=45°，
∴∠DMF=∠DFM=45°，
∴DM=DF，
∵DA=DC，
∴△ADM≌△CDF(SAS)，
∴AM=CF，
∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，
，故③正确，
若，则易知，
在Rt中，，
，故④错误，
故答案为：C
【分析】根据正方形性质可得DA=DC，∠ADC=90°，再根据边之间的关系可得DA=DE，根据等边对等角可判断①；根据圆周角定理可得∠AEC=∠ADC=45°，再根据三角形内角和定理可判断②；作DF⊥DM交PM于F，根据角之间的关系型可得∠DMF=∠DFM=45°，则DM=DF，再根据全等三角形判定定理可得△ADM≌△CDF(SAS)，则AM=CF，再根据边之间的关系可判断③；根据勾股定理可得DH，再根据边之间的关系可得DM，CM，再根据三角形面积可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
12．已知正方形ABCD，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当DQ+BP=PQ时，则∠QAP=　 　．
【答案】45°
【解析】【解答】解：证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵PQ=PB+DQ，
∴PE=PQ，
在△APE和△APQ中，
，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴∠PAE=∠PAQ= ∠QAE=45°，
故答案为45°．
【分析】将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，根据旋转的性质可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，由PQ=PB+DQ，推出PE=PQ，再利用“边边边”证明△APE和△APQ全等，根据全等三角形的性质即可解决问题．
13．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　 　．
【答案】40
【解析】【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为12，
∴2（a+b)=16，ab=12，
∴a+b=8，
∴，
故答案为：40.
【分析】根据题意先求出2（a+b)=16，ab=12，再求出a+b=8，最后利用完全平方公式计算求解即可。
14．已知菱形的两条对角线，则菱形的边长　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD，
∴AO=AC=3，BO=BD=4，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，
故答案为：5
【分析】利用菱形的性质可求出AO，BO的长，同时可得到△AOB是直角三角形，利用勾股定理求出AB的长.
15．如图，在 中， ， ，点D在边 上，若以 、 为边，以 为对角线，作 ，则对角线 的最小值为　 　.
【答案】3
【解析】【解答】解：∵ ， ，
根据勾股定理得 ，
∵四边形 是平行四边形，
，
∴当 取最小值时，线段 最短，即 时最短，
是 的中位线，
，
，
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值.
16．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，
将 平移5个单位长度得到△ ，
， ，
点 、 分别是 、 的中点，
，
，
即 ，
的最小值等于 ，
故答案为： .
【分析】 取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系定理即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）证明，即可得到；
（2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长．
18．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：AD=CN；
（2）请添加一个条件，使四边形ADCN是矩形．并证明．
【答案】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN
（2）解：∠BAN=90°
∵AD∥CN，AD=CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∵∠BAN=90°，四边形ADCN是平行四边形，
∴四边形ADCN是矩形
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN；（2）先判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．
19．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=14，DF=13，AD=15，求AC的长
【答案】【解答】解：（1）证明：
∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，(对边互相平行的四边形是平行四边形）
（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴BD=AF=14，AB=DF=13，
设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得：
∴AB2-BE2=AD2-DE2，
即132-x2=152-（14-x）2
解得：x=5，
即BE=5，
∴AE=，
∴AC=2AE=24．
【解析】【分析】（1）先利用SSS证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得结论；
（2）由平行四边形的性质得出BD=AF=14，AB=DF=13，设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得出方程，解方程得出BE，再由勾股定理求出AE，即可得出AC的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点F为BC边的中点，是等腰三角形，，连接EF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接AF、DF，EF与AD交于点O．
①求证：四边形AEDF是菱形；
②在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出两个三角形，使写出的每个三角形的面积均是矩形ABCD面积的一半（不用写出过程）．
【答案】（1）证明：连接AF、DF，如图1：
∵四边形ABCD是矩形，F是BC的中点，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴EF垂直平分AD，
∵，
∴．
（2）证明：①∵，
∴．
由（1）可得，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分AD，
∴四边形AEDF是菱形．
②∵四边形AEDF是菱形，
∴S△AFD=S△AED=S△EAF=S△DEF，
又∵△AFD的面积等一矩形ABCD面积的一半，
∴面积是矩形ABCD面积的一半的三角形有、、、．
【解析】【分析】（1）结合题意，根据矩形的四个角都是直角，对边平行且相等可得 BF=CF，∠B=C，AB=CD，AD∥BC， 根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证△ABF≌△DCF，根据全等三角形的对应边相等可得AF=DF，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上可得EF⊥AD；即可证明EF⊥BC；
（2）结合（1）中结论和题意可得CD=OF=OE，OA=OD，EF垂直平分AD，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分可得S△AFD=S△AED=S△EAF=S△DEF，结合△AFD的面积等一矩形ABCD面积的一半，即可得出答案.
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交边AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝BE时，求四边形DEBF的面积．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形
是BD的中点
在和中，，
又，∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）四边形DEBF是菱形
设，则，
四边形ABCD是矩形
在中，勾股定理，得，
即，解得，
．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠FDO=∠EBO，由线段中点的性质可得OB=OD，结合已知用角边角可证△DOF≌△BOE，则OE=OF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可求解；
（2）由（1）得四边形DEBF是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形DEBF是菱形；设BE=x，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据平行四边形的面积=底×高=BC×BE可求解.
22． 如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当点D在中点时，四边形是矩形，理由如下；
∵，点D在中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质求出，根据内错角相等，两直线平行推出，最后根据平行四边形的判定定理推出四边形ABDE为平行四边形.
（2）根据第一问四边形ABDE为平行四边形推出AE=BD结合D是AC中点推出DC=AE，利用可证明四边形ADCE为平行四边形，结合等边三角形三线合一即可推出四边形ADCE为矩形.
23．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
【答案】（1）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=45°，平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠D=∠DAC=45°，
∴AC=CD，
∵AC2+CD2=AD2即2AC2=36，
∴AC2=18，
∴平行四边形ABCD的面积为AC2=18
（2）证明：过点C作CF⊥CE交BD于点F，
∴∠ECF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴∠ACF+∠FCD=∠ACF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FCD，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAC=∠CDF，
在△ACE和△DCF中
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，DF=AE
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2=CE2+CF2=2CE2，
∴，
∵DE=EF+DF，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AC=CD，利用勾股定理求出AC2的值，即可求出平行四边形ABCD的面积.
（2）过点C作CF⊥CE交BD于点F，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠ACE=∠FCD，∠ABE=∠EAC=∠CDF，利用SAS证明△ACE≌△DCF，利用全等三角形的性质可证得CE=CF，DF=AE，可推出△CEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得，然后根据DE=EF+DF，可证得结论.
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