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2026年黑龙江省哈尔滨九中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3.若关于的不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
4.如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的右焦点为，焦距为过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为( )
A. B. C. 或 D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售每箱中的零件按照生产顺序，从到连续编号现从一箱中随机抽取个零件，发现上面的编号从小到大依次为：，，，，，，则下列个选项中，作为的估计值，最合适的一项是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
10.函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 在区间恰有一个零点
D. 将图象向左移个单位后关于轴对称
11.已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，则( )
A. 的轨迹方程为： B. 的最小值为
C. 的最小值是 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，满足，且，则的值为 ．
13.若直线是曲线的一条切线，则 ．
14.下图是由七个圆和八条线段构成的图形该图形不能旋转和翻转，其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”若将，，，，，，这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边长分别是，，，．
求角；
若，，，求边上的高．
16.本小题分
已知椭圆：左焦点，离心率为．
求椭圆的方程；
过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点．
证明：平面；
若平面平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性；
当时，证明：；
(ⅱ)当时，设，且求证：．
19.本小题分
如图，一动点从点出发，在正方形的各顶点上移动每次移动时，动点有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立设动点移动了步之后，停在点的概率为．
求，；
求的通项公式；
记点的前次移动中，到达过点的次数为，求证：．
参考公式：若随机变量服从两点分布且，，，则．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，内角，，所对的边长分别是，，，
因为，
根据正弦定理得，
，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
根据余弦定理得，，
将，代入上式整理得，，
又因为且，解得，，
所以，所以为以为斜边的直角三角形，
所以斜边上的高为．
16.解：因为椭圆的左焦点，离心率为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
因为，
所以，
即，
所以，
整理得，
即，
去分母后整理得，
解得．
则的取值范围为
17.解：证明：取中点，连接，，如图所示：
因为，，分别为，，的中点，
所以且，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，面，所以可以证得面；
取中点，连接，，，如图建立空间直角坐标系，
设，，
，，，，，
，
由题意可得面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，令，则，
则，解得，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，
则．
18.解：，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
证明：设，
则，
因为在上单调递增，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当且仅当时取等，
所以，即，当且仅当，时取等；
(ⅱ)法一：由已知，当时，在单调递增；
因为，所以，
由可知，，，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以．
19.解：设事件表示第次沿水平方向移动，事件表示第次沿竖直方向移动，
，
；
另一种计算的方法：
四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为，
四次移动中，全部水平移动的概率为，
四次移动中，全部竖直移动的概率是，
相加得；
设连续移动两步，动点位置变化的概率为，动点位置不变的概率为，
则，
根据全概率公式，，
则，
因为，所以，
所以，；
证明：设移动步之后，动点停留在点的概率为，
则根据全概率公式，，，
又因为，所以，，
设随机变量满足：当移动步之后，动点停留在点，则；
当移动步之后，动点不停留在点，则；
显然服从两点分布，且，
所以
．
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