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1.3中心对称和中心对称图形
第1章 四边形
导入新课
B'
O
A'
C'
B
A
C
1. 什么叫作图形的旋转？
将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内的一定点O旋转同一个角α，得到图形F′，图形的这种变换叫作旋转.这个定点O叫作旋转中心.角α叫作旋转角.
(1)一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
(2)旋转不改变图形的形状和大小.
2. 图形的旋转有哪些性质？
学 习 目 标
1
2
3
了解中心对称、中心对称图形的概念
探究成中心对称两个图形的基本性质（难点）
进一步掌握平行四边形是中心对称图形.（重点）
O
A
D
B
C
如图，把其中一个图绕点O旋转180°，你有什么发现？
O
观察与思考
新知探究
两个图案能够完全重合在一起.
两个图形能够完全重合在一起.
你能说说这两个旋转的共同点吗？
旋转角为 180°
重合
绕着定点O旋转
新知探究
总结归纳
★中心对称变换的概念：
在平面内，把一个图形(I)绕一个点旋转180°，得到另一个图形(II)，我们把图形的这种变换称为关于这个点中心对称，这个点称为对称中心.
1. 中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是 180°.
2. 中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
A′
B′
C′
A
B
C
O
新知探究
总结归纳
★两个图形成中心对称的概念：
在平面内，如果图形(I)绕点O旋转180°，得到的像与另一个图形(II)重合，那么称图形(I)与图形(II)关于点O成中心对称.
A′
B′
C′
A
B
C
O
△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称
新知探究
探 究
成中心对称的两个图形的对应点连线的中点是对称中心吗
A
O
B
在平面内,设点A与点B关于点O成中心对称，则把点A绕点O逆时针(或顺时针)旋转180°得到点B.
根据旋转的基本性质和概念
OA=OB
∠A0B=180°
A、0、B在同一直线上
点O是线段AB的中点.
在平面内，设图形(I)与图形(II)关于点O成中心对称，则图形(I)绕点O旋转180°的像是图形(II)，且图形(I)上任一点P在该旋转下的对应点P′都在图形(II)上.同时，点P，O，P′在一条直线上，且点O是线段PP'的中点.
你能得到什么结论？
新知探究
总结归纳
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
两个图形成中心对称的性质：
AO=DO、BO=EO、CO=FO
AD,BE,CF都经过点O
典例分析
例 如图1.3-3，已知 ABC边AC的中点为D,作出与 ABC关于点D成中心对称的图形.
作法:
(1)连接BD并将其延长到B，使得DB'=DB，于是点B在关于点D中心对称下的对应点是点B'.
(2)由于D是线段AC的中点，因此在关于点D中心对称下，点A、C的对应点分别是点C，A;
(3)连接AB'、CB'.
则 CB'A是所求作的与 ABC关于点D成中心对称的图形.
B'
简记为：一连接；二延长；三截取等长；四连线.
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
典例分析
例 如图1.3-3，已知 ABC边AC的中点为D,作出与 ABC关于点D成中心对称的图形.
简记为：一连接；二延长；三截取等长；四连线.
若点D在 ABC外，如何作出与 ABC关于点D成中心对称的图形呢？
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
（3）连接A′B′， B′C′， C′A′.
（2）用同样的方法作出点B 和C 关于点D的对应点B′和C′.
A′
B′
C′
则图中△ A′B′C′即为所求作的三角形.
（1）如下图所示，连接AD并延长AD到A′，使DA′=DA， 于是得到点A关于点D的对应点A′.
作法
D
新知探究
做一做
画一条线段，将这条线段绕它的中点旋转180°，你会发现什么
线段绕它的中点旋转180°，得到的像与它自身重合.
观察：这些图形有什么共同特征？
它们绕一个定点旋转180°，得到的像与它自身重合.
中心对称图形
新知探究
总结归纳
★中心对称图形的概念：
如果一个图形绕一个点旋转180°，所得到的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作图形的对称中心.
注意：中心对称图形是指一个图形.
线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.
新知探究
中心对称和中心对称图形
名称 中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫作对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点 如果一个图形绕着一个点旋转180°后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心
性质 ①两个图形完全重合； ②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
————-
区别 ①两个图形的关系 ②对称点在两个图形上 ①具有某种性质的一个图形
②对称点在一个图形上
联系 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形. 新知探究
思 考
平行四边形是中心对称图形吗 若是，它的对称中心是什么
O
A
B
C
D
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
如何利用平行四边形是中心对称图形来理解平行四边形的性质？
因为平行四边形绕对称中心旋转180°，能完全重合.
AD=BC，AB=CD
AO=OC，OB=OD
∠ABC=∠ADC，∠BAC=∠BCD
基础巩固题
新知应用
1. 下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是( )
方法点拨：识别一个图形是不是中心对称图形的方法是看旋转180°后是否和原图形重合，重合的就是，否则不是.
A
基础巩固题
新知应用
2.下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
Z X C V B N M
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B C D
D
Z、X、N可以看作是中心对称图形.
基础巩固题
新知应用
4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4 000多年的历史.
以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对
称图形的是( )
C
A. B. C. D.
基础巩固题
新知应用
5. 如图,已知与关于点 成中心对称,则下列判
断不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
B
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
基础巩固题
新知应用
6. 如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于某点中心对称，找出它们的对称中心.
D
A
B
C
A′
B′
C′
D′
提示：因为成中心对称的
两个图形，对应点的连线经过对称中心，故连接两组对应点的连线的交点即为对称中心.
基础巩固题
新知应用
7.如图，分别画出 ABC关于点A和点O成中心对称的图形.
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
简记为：一连接；二延长；三截取等长；四连线.
能力提升题
新知应用
8.如图，在中，是 边上的中
线，与关于点 成中心对称.若
,,则线段 的取值范围是
_____________.
【点拨】易知, .
,, .
在中， ,
即, .
能力提升题
新知应用
9.如图，□ ABCD 的对角线 BD = 4 cm，将 □ABCD 绕其对称中心旋转 180°，求点 D 所转过的路径长.
点 D 所转过的路径是以 O 为圆心，BD 为直径的半圆.
l = πr ≈3.14×2 = 6.28 (cm)
能力提升题
新知应用
10.如图，已知△ACE和△DBF是关于某一点成中心对称的两个图形，连接BE，CF.
求证：四边形BECF是平行四边形.
证明 连接EF，设EF与BC相交于点O，如图.
∵ △ACE和△DBF关于某一点成中心对称，点B和C，点E和点F分别是对称点，
∴ OB=OC，OE=OF.
∴ 四边形BECF是平行四边形.
课堂小结
中心对称和中心对称图形
中心对称图形
成中心对称
成中心对称图形的性质
如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫作中心对称图形
如果把一个图形绕某一点旋转180 后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫作成中心对称
(1)在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）；
(2)中心对称的两个图形是全等形.
作图
应用1：作成中心对称的图形；
应用2：找出对称中心.
感谢聆听!

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