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北师大版数学七年级下册第三单元概率初步单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021·香洲模拟）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
2．（2025九上·乳源期末）下列关于概率的说法中，正确的是（　　）
A．“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上
C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数
D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件
3．（2025九下·瑞安开学考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·温州期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 42 88 141 176 445 724 900
合格频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.905 0.9
若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是 （　　）
A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件
5．（2026九上·广州期末）为丰富职工业余生活，工会计划组织活动，从“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”这四个活动中随机选取两个作为活动项目.求恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率(　　).
A． B． C． D．
6．（2026九上·坪山期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值是 （　　）
A．5 B．10 C．16 D．18
7．（2026九上·番禺期末）数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球
8．（2026九上·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2026九上·武义期末）一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
10．（2025八下·镇江期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 59 63 61 57
石子落在阴影内的次数 19 20 19 22
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是　 　平方米．
11．（2024·南岸模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
12．（2025九上·义乌期中）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有　 　个．
13．（2025九上·贵阳期中）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为　 　．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2026九上·长沙期末）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一门课程)，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图.
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为　 　人，并补全条形统计图；
（2）“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为　 　度；
（3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率.
15．（2026九上·龙湖期末）2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
16．（2026九上·海珠期末）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片(除画像外，其余完全相同)，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为　 　.
（2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率.
17．（2026九上·越秀期末）已知①号盒中有m个白球、1个黄球，②号盒中有1个白球、1个黄球，这些球除了颜色外无其他差别.
（1）若从①号盒中随机摸出1个球，它是黄球的概率为 ，则m=　 　；
（2）在(1)的条件下，分别从每个盒中各随机摸出1个球，请用树状图或列表法求摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的概率.
18．（2026九上·武义期末）“浙BA”城市争霸赛永康队的一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合。教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中、前锋中随机选一名，组成二人配合小组。
（1）求金倍司被选中的概率。
（2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率。
19．（2025九上·余杭期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
20．（2025·高州模拟）综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253　
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选A．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】A、“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是，故A符合题意；
B、“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就可能有一次正面朝上，故B不符合题意；
C、连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数可能是奇数，故C不符合题意；
D、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据概率是反映事件的可能性大小的量．不可能事件和必然事件都属于确定事件，进行判断．
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，
∴不规则图案的面积大约为0.3，
设不规则图案的面积为xcm2，
则=0.3，
解得：x=24.
故答案为：B.
【分析】由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，用频率估计概率 ，然后由几何概率可知，不规则图案的面积与矩形的面积的比为0.3，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：合格频率得到合格产品的概率为0.9，
∴ 合格品的件数大约是20000×0.9=18000件，
故答案为：D.
【分析】根据频率得到合格产品的概率，然后用总件数×频率解答即可.
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”分别用A、B、C、D表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的可能性有2种，
∴恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率为，
故答案为：D．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：在大量重复试验中，摸出黑球的频率可近似看作摸出黑球的概率。
∵100次试验中摸出黑球61次，
∴摸出黑球的频率为，即摸出黑球的概率约为0.61。
∵袋中共有30个球，黑球有个，
∴。
∵为球的个数，需取整数，∴最可能是18。
故答案为：D
【分析】本题考查频率与概率的关系及概率的实际应用，核心是利用“大量重复试验中频率近似等于概率”的规律。解题时先通过试验次数和黑球出现次数计算频率，将其作为概率的估计值，再根据概率公式反向推导黑球个数，最后对结果取整得到最可能的值。
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量反复试验后，频率的稳定值近似等于概率，由图可知该球的频率稳定在0.20左右，即其概率约为0.20。
袋子中球的总数为个，
∴抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∵黄球的概率与频率稳定值一致，∴该球的颜色最有可能是黄球。
故答案为：C
【分析】本题考查频率与概率的关系及简单概率计算，关键是理解频率稳定值即为概率。先根据频率图确定该球的概率近似值，再分别计算出三种颜色球的概率，通过对比概率值，找出与频率稳定值最接近的颜色。
8．【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为0.45，
该二维码是边长为4的正方形，
估计黑色部分的总面积为，
故答案为：D．
【分析】首先根据点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，可得出黑色部分的概率为0.45 ，正方形的面积计算公式可得出正方形的面积为16，再根据黑色部分的概率为0.45 ，即可得出黑色部分的总面积为。
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
10．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：矩形的面积为：（平方米），
石子落在草地内的概率为：，
∴草地的面积大约是：（平方米）．
故答案为：15．
【分析】根据题意求出矩形的面积，进而根据用频率估计概率得到石子落在草地内的概率，从而根据概率公式即可求出草地的面积。
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意利用树状图列举出所有等可能的情况数，由图可得一共有9种等可能结果，其中a≤b的有6种，从而根据概率公式计算即可.
12．【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有x个，
根据题意可知，，
解得：x=8，
即红球大约有8个，
故答案为：8 .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：．
故答案为：．
【分析】列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】（1）160补全的条形统计图如下所示，
（2）90
（3）树状图如下所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两人恰好选到同一门课程的可能性有4种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次调查的学生人数为： 人)，
选择B的学生有：1160-48-32-40=40(人)，
故答案为： 160；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为：
故答案为：90；
【分析】(1)根据选A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出选B的人数，再将条形统计图补充完整即可；
(2)根据统计图中的数据，可以计算出“D课程”在扇形图中的圆心角的度数；
(3)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人恰好选到同一门课程的概率.
15．【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
16．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
第1张 第 2张 A B C D
A \ (B， A) (C， A) (D， A)
B (A， B) \ (C， B) (D， B)
C (A， C) (B， C) \ (D， C)
D (A， D) (B， D) (C， D) \
共有 12 种等可能的结果，其中两次抽取到的卡片都是中国数学家的结果有：(A，B)，(B，A)，共2种， ∴两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）抽到数学家韦达的概率为，
故答案为：；
【分析】本题考查古典概型的概率公式应用和用列表法求不放回试验的概率。
(1)根据古典概型的概率公式，总共有4张卡片，韦达对应的卡片只有1张，直接代入公式即可求解；
(2)对于不放回的两次抽取试验，用列表法列出所有等可能的结果，再从表格中找出两次都抽到中国数学家（祖冲之、刘徽）的结果数，最后将两个结果数代入概率公式计算即可。
17．【答案】（1）2
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的结果有3种，
∴摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：（1）由题意得：=， 解得m=2
故答案为：2
【分析】
（1）根据概率公式摸到黄球的概率=，建立方程，计算即可解答；
（2）先画出树状图，得到共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的结果有3种，再根据概率公式计算即可解答.
18．【答案】（1）解：由题意可知，金倍司被选中的概率为；
（2）解：设金倍司、黄盛翀、施泽政分别用字母、、表示，吴俊卓、潘卓辉分别用字母、表示，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果，其中恰好金倍司和吴俊卓，即的情况有1种，
∴恰好选中金倍司和吴俊卓的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】（1）运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
1 / 1北师大版数学七年级下册第三单元概率初步单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021·香洲模拟）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选A．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
2．（2025九上·乳源期末）下列关于概率的说法中，正确的是（　　）
A．“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就一定有一次正面朝上
C．连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数一定是奇数
D．某射击运动员射击一次，命中靶心是必然事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】A、“明天的降水概率为”表示明天下雨的可能性是，故A符合题意；
B、“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就可能有一次正面朝上，故B不符合题意；
C、连续三次掷一颗骰子都出现了偶数点，则第四次出现的点数可能是奇数，故C不符合题意；
D、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据概率是反映事件的可能性大小的量．不可能事件和必然事件都属于确定事件，进行判断．
3．（2025九下·瑞安开学考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，
∴不规则图案的面积大约为0.3，
设不规则图案的面积为xcm2，
则=0.3，
解得：x=24.
故答案为：B.
【分析】由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，用频率估计概率 ，然后由几何概率可知，不规则图案的面积与矩形的面积的比为0.3，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
4．（2025九上·温州期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 42 88 141 176 445 724 900
合格频率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.905 0.9
若出售20000件衬衣，则其中合格品的件数大约是 （　　）
A．2000件 B．3200件 C．16800件 D．18000件
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：合格频率得到合格产品的概率为0.9，
∴ 合格品的件数大约是20000×0.9=18000件，
故答案为：D.
【分析】根据频率得到合格产品的概率，然后用总件数×频率解答即可.
5．（2026九上·广州期末）为丰富职工业余生活，工会计划组织活动，从“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”这四个活动中随机选取两个作为活动项目.求恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“白云山登山”、“帽峰山骑行”、“流溪河垂钓”、“广州体育馆羽毛球赛”分别用A、B、C、D表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的可能性有2种，
∴恰好选中“白云山登山”和“帽峰山骑行”的概率为，
故答案为：D．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．（2026九上·坪山期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值是 （　　）
A．5 B．10 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：在大量重复试验中，摸出黑球的频率可近似看作摸出黑球的概率。
∵100次试验中摸出黑球61次，
∴摸出黑球的频率为，即摸出黑球的概率约为0.61。
∵袋中共有30个球，黑球有个，
∴。
∵为球的个数，需取整数，∴最可能是18。
故答案为：D
【分析】本题考查频率与概率的关系及概率的实际应用，核心是利用“大量重复试验中频率近似等于概率”的规律。解题时先通过试验次数和黑球出现次数计算频率，将其作为概率的估计值，再根据概率公式反向推导黑球个数，最后对结果取整得到最可能的值。
7．（2026九上·番禺期末）数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　）
A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量反复试验后，频率的稳定值近似等于概率，由图可知该球的频率稳定在0.20左右，即其概率约为0.20。
袋子中球的总数为个，
∴抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∵黄球的概率与频率稳定值一致，∴该球的颜色最有可能是黄球。
故答案为：C
【分析】本题考查频率与概率的关系及简单概率计算，关键是理解频率稳定值即为概率。先根据频率图确定该球的概率近似值，再分别计算出三种颜色球的概率，通过对比概率值，找出与频率稳定值最接近的颜色。
8．（2026九上·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　）
A．1.8 B．3.6 C．6.8 D．7.2
【答案】D
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为0.45，
该二维码是边长为4的正方形，
估计黑色部分的总面积为，
故答案为：D．
【分析】首先根据点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，可得出黑色部分的概率为0.45 ，正方形的面积计算公式可得出正方形的面积为16，再根据黑色部分的概率为0.45 ，即可得出黑色部分的总面积为。
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2026九上·武义期末）一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
10．（2025八下·镇江期末）为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 59 63 61 57
石子落在阴影内的次数 19 20 19 22
请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是　 　平方米．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：矩形的面积为：（平方米），
石子落在草地内的概率为：，
∴草地的面积大约是：（平方米）．
故答案为：15．
【分析】根据题意求出矩形的面积，进而根据用频率估计概率得到石子落在草地内的概率，从而根据概率公式即可求出草地的面积。
11．（2024·南岸模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为，将数字牌放回洗匀后，再随机抽取一张记为，则的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中的有6种，
∴的概率是．
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意利用树状图列举出所有等可能的情况数，由图可得一共有9种等可能结果，其中a≤b的有6种，从而根据概率公式计算即可.
12．（2025九上·义乌期中）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有　 　个．
【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有x个，
根据题意可知，，
解得：x=8，
即红球大约有8个，
故答案为：8 .
【分析】根据概率公式进行计算即可.
13．（2025九上·贵阳期中）一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示）：6种情况出现的可能性相同．其中A与B不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：．
故答案为：．
【分析】列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，再根据概率公式即可求出答案.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2026九上·长沙期末）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A.五谷画，B.彩陶，C.剪纸，D.排灯.现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查(每位学生必选且只能选一门课程)，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图.
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为　 　人，并补全条形统计图；
（2）“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为　 　度；
（3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率.
【答案】（1）160补全的条形统计图如下所示，
（2）90
（3）树状图如下所示，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两人恰好选到同一门课程的可能性有4种，
∴两人恰好选到同一门课程的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次调查的学生人数为： 人)，
选择B的学生有：1160-48-32-40=40(人)，
故答案为： 160；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为：
故答案为：90；
【分析】(1)根据选A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出选B的人数，再将条形统计图补充完整即可；
(2)根据统计图中的数据，可以计算出“D课程”在扇形图中的圆心角的度数；
(3)根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人恰好选到同一门课程的概率.
15．（2026九上·龙湖期末）2023年3月19日，全国马拉松锦标赛（无锡站）正式鸣枪开跑．某校4名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性2人，女性2人．
（1）若从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是 ．
（2）若从这4人中选2人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：因为从这4人中选1人进行物资发放，共有4种等可能的结果，其中，恰好选中女性的结果有2种，
所以从这4人中选1人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这4人中选2人进行物资发放共有12种等可能的结果，其中，恰好选中一男一女的结果有8种，
则恰好选中一男一女的概率为，
答：恰好选中一男一女的概率为．
16．（2026九上·海珠期末）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片(除画像外，其余完全相同)，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为　 　.
（2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
第1张 第 2张 A B C D
A \ (B， A) (C， A) (D， A)
B (A， B) \ (C， B) (D， B)
C (A， C) (B， C) \ (D， C)
D (A， D) (B， D) (C， D) \
共有 12 种等可能的结果，其中两次抽取到的卡片都是中国数学家的结果有：(A，B)，(B，A)，共2种， ∴两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）抽到数学家韦达的概率为，
故答案为：；
【分析】本题考查古典概型的概率公式应用和用列表法求不放回试验的概率。
(1)根据古典概型的概率公式，总共有4张卡片，韦达对应的卡片只有1张，直接代入公式即可求解；
(2)对于不放回的两次抽取试验，用列表法列出所有等可能的结果，再从表格中找出两次都抽到中国数学家（祖冲之、刘徽）的结果数，最后将两个结果数代入概率公式计算即可。
17．（2026九上·越秀期末）已知①号盒中有m个白球、1个黄球，②号盒中有1个白球、1个黄球，这些球除了颜色外无其他差别.
（1）若从①号盒中随机摸出1个球，它是黄球的概率为 ，则m=　 　；
（2）在(1)的条件下，分别从每个盒中各随机摸出1个球，请用树状图或列表法求摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的概率.
【答案】（1）2
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的结果有3种，
∴摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解：（1）由题意得：=， 解得m=2
故答案为：2
【分析】
（1）根据概率公式摸到黄球的概率=，建立方程，计算即可解答；
（2）先画出树状图，得到共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球中1个是白球、1个是黄球的结果有3种，再根据概率公式计算即可解答.
18．（2026九上·武义期末）“浙BA”城市争霸赛永康队的一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合。教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中、前锋中随机选一名，组成二人配合小组。
（1）求金倍司被选中的概率。
（2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率。
【答案】（1）解：由题意可知，金倍司被选中的概率为；
（2）解：设金倍司、黄盛翀、施泽政分别用字母、、表示，吴俊卓、潘卓辉分别用字母、表示，
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果，其中恰好金倍司和吴俊卓，即的情况有1种，
∴恰好选中金倍司和吴俊卓的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
【分析】（1）运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．（2025九上·余杭期中） 一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个.
（1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率.
（2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过0.5，摸出黑球的概率是0.25，请设计一个符合条件的放球方案.
【答案】（1）（1）解：∵三种颜色的球共12个，其中白球有4个，
∴P（摸出的球是白球）
（2）解：黑球的个数：12﹣5﹣4＝3，
设放入x个黑球，由题意可得，解得x=1；
设放入y个红球，由题意得，解得0≤y≤3，
∴可以放入1个黑球，1个红球，2个白球．（答案不唯一，放入红球的个数和放入白球的个数之和为3即可）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）原来黑球的个数是12-5-4=3，若不放入黑球，摸出黑球的概率是，而放入4个球后，摸出黑球的概率是0.25，则一定放入了黑球，设放入x个黑球，根据概率公式列方程求出x；再根据摸出红球的概率不超过0.5，列不等式求出放入红球的个数的取值范围，在取值范围内，例举一个符合题意的方案即可.
20．（2025·高州模拟）综合与实践
主题：池塘里有多少条鱼
活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张；
活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数50100150200摸到黑棋的次数12263850摸到黑棋的次数0.240.260.253　
注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数12345678910平均值黑棋与样本的比值黑棋个数34423221322.60.26
②方案二：试验次数10次，每次摸10个；
活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量；
活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？
根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题．
【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；
活动二：0.25、0.25、40；
活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：
解得：
经检验，是所列方程的解，
∴估计鱼塘中有1500条鱼．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：活动一：
袋子中有红球有3个 ；
这副扑克牌有20张；
故答案为：3，20；
活动二：，
表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，
黑球的概率是；
总棋数是，
故答案为：、40；
【分析】活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案；
问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案；
活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可；
活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案．
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