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北师大版数学七年级下册第三单元概率初步单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·浙江月考）两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜。已知这堆球的数量是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：当m能被3整除时，后取球的人必胜
当m除以3有余数时，先取球的人必胜
m共有2022个值
且且
先取球必胜的m的个数为
故答案为：C.
【分析】先求出所有可能的m的个数，由于只有当球数m能被3整除时后取球的人才能获胜，因此需要求出从4开始到2025这2022个数字中不能被3整除的数字个数；由于连续3个自然数中恰好有两个不能被3整除，因此先取球的人获胜的概率为.
2．（2025九上·榕城期中）将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．
A． B． C． D． E．
【答案】C
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：如图，每个小方格有种等可能情况，
∴一共有种等可能情况，
在如图中有种等可能情况，
另外小单元有四个，
∴共有种等可能情况，
∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是，
故选：C．
【分析】求出所有等可能的结果，再求出有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
3．（2024·古林模拟） 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为(　　)
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
4．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设16个小正方形的边长为a，则4个大正方形的边长为1.5a， 点 落在阴影部分的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题考查概率的计算，通过设小正方形的边长计算出阴影部分的面积，再通过概率计算公式求出概率.
5．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．（2024·贵州模拟）在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设放入的黑球为x个，则共有（x+1）个球，一共出现的情况数为x（x+1），其中摸出两个黑球的有x（x-1）种，摸出一白一黑的有2x种，
P（摸出两黑）=，（摸出一白一黑）=，
（摸出一白一黑）（摸出两黑），
，
解得：x=3，
经检验，当x=3时，，x=3是原方程的解，
放入的黑球个数为3个.
故答案为：A.
【分析】设放入的黑球为x个，分别表示出摸出两个黑球的概率，摸出一白一黑的概率，利用（摸出一白一黑）（摸出两黑），建立方程求解即可.
7．（2024·浙江模拟）某商场举办促销活动，负责人在一个不透明的袋子里装着个大小、质量相同的小球，其中个为红色、个为黄色、个为绿色，若要获奖需要一次性摸出个红球和个黄球，那么获奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一次性摸出3个球，即不放回摸球3次，列树状图如下：
第2次摸球后共有7×8=56种等可能的结果，故第3次谋求后共有6×56=336种等可能的结果，其中"一次性摸出个红球和个黄球"的结果有2×4×5+4×2×5+4×5×2=120种，
故一次性摸出个红球和个黄球的概率为P=
故答案为：D.
【分析】根据题意列出树状图，(结果数比较多，只表示出于结论有关的一部分)，数出所有结果数，以及"一次性摸出个红球和个黄球"的结果数，用概率公式计算即可.
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下：
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡不发光，
∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】列举出随机闭合两个开关的所有等可能情况，再根据电学知识找出其中能够让灯泡发光的所有等可能情况，从而利用概率公式即可计算出随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率.
10．（2025九下·宁波月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
根据以上表格中的数据，估计该麦种的发芽概率为　 　（精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频数表可得，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在0.95，故该麦种的发芽概率估计为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
11．（2025·绵阳）水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是　 　 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的概率==，
故答案为：.
【分析】先根据题意画出树状图可得一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，再根据概率公式进行计算即可.
12．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有　 　个白球．
【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】在重复的300次实验中，摸到红球120次，则红球出现的概率是 ，利用样本估计总体方法，则在口袋中任意摸到一个红球的概率均是，设有白球个，则依据题意可得 ，解得： 个，则白球为9个。
【分析】理解样本估计总体含义及应用技巧；掌握概率的意义；解决此题一定要注意总体是白球和红球的总和。
13．现有长分别为 的木条各一根， 从这 5 根木条中任取 3 根， 能构成三角形的概率是　 　.
【答案】0.3
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从长度为1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4，；2，3，5；2，4，5；3，4，5；
其中能构成三角形的有：3，4，5；2，4，5；2，3，4这三种结果，所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是.
故答案为：0.3.
【分析】本题考查概率计算，先列出所有可能的结果，再通过三角形三边间的关系找到能组成三角形的结果数，利用概率计算公式计算即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023·永善模拟）如果一个两位正整数，其个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”（如14，56，37）．在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”
（1）写出所有个位数字是4的“两位递增数”： ；
（2）请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
【答案】（1）14，24，34
（2）解：画树状图如图所示：
一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，
所以组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解： 由题意得：所有个位数字是4的“两位递增数”：14，24，34，
故答案为14，24，34；
【分析】（1）根据“两位递增数”的定义即可求解；
（2）根据题意画出树状图得到一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，再根据概率公式即可求解。
（1）解： 由题意得：所有个位数字是4的“两位递增数”：14，24，34，
故答案为14，24，34；
（2）画树状图如图所示：
一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，
所以组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
15．（2026九上·长沙期末）2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　人，扇形统计图中 C 类对应的圆心角度数为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲乙两位同学抽中同一个类型的概率．
【答案】（1）400；90°
（2）解：D类的人数为400-50-120-100=130(人)，
∴补全条形统计图为：
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，甲、乙抽中同一类型的情况有4种，
∴甲、乙抽中同一类型的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，．
【分析】（1）用B类的人数除以占比求出总人数，再用乘以C类占比求出圆心角度数；
（2）用总人数减去其它类别的人数求出D类的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，得到甲、乙抽中同一类型的结果数，根据概率公式解答即可．
16．（2026九上·盐田期末）深圳盐田是深圳东部的一个滨海城区．它以其独特的山海资源、历史文化和多元体验成为热门旅游目的地．周末甲、乙两人从以下四个景区：A．大梅沙海滨公园，B．中英街，C．梧桐山国家森林公园，D．小梅沙海洋世界，随机选取一个景区参观游玩．假设这两人选择哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同．
（1） 甲选择到“中英街”参观游玩的概率为　 　；
（2） 甲去过“小梅沙海洋世界”，乙去过“梧桐山国家森林公园”，如果各自去过的风景区不再选择，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数有2种，
∴甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
甲选择到“中英街”参观游玩的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知，甲选择到“中英街”参观游玩的概率为；
（2）根据题意画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
17．（2024九上·杭州月考）如图， 依据闯关的游戏规则， 请你探究"闯关游戏"的奥秘.
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况.
（2）求出闯关成功的概率。
【答案】（1）解：所有可能闯关的情况列表如下：
　 1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (2，1) (2，2)
∴ 共有4种情况
（2）解：只有(1，2)组合才能闯关，
∴闯关成功的可能性为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)用列举法列举出可能闯关的所有情况，即可得出答案；
( 2)根据图表得出所有可能，进而得出闯关成功的概率.
18．（2024·绥江模拟）【材料阅读】国务院总理李强5月15日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．
（1）根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；
（2）求两个国家选到同一个领域的概率．
【答案】（1）解：由题意列表如下：
A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由表可知，共有16种等可能的选择结果．
（2）解：由(1) 可知， 两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而得到共有16种等可能的选择结果；
（2）根据表格结合题意得到两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，再根据概率公式即可求解。
19．某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择.为了分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查他们的学习参与度，数据整理结果如下表.（数据分组包含左端值，不包含右端值）
参与度 方式 人数 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高 请简要说明理由.
（2）从选择教学方式为“直播”的学生中任意抽取一人，请估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少.
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，请估计参与度在0.4以下的共有多少人.
【答案】（1）解：“直播”教学方式学生的参与度更高.理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高
（2）解：12÷40=0.3=30%
（3）解：选择“录播”的总学生数为(人)，选择“直播”的总学生数为(人)，所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为(人)，“直播”参与度在0.4以下的学生数为(人)，所以参与度在0.4以下的学生共有20+30=50(人)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】(1)对于哪种教学方式参与度高，通过比较不同参与度区间的人数来判断；
(2)计算概率是用符合条件的人数除以总人数；
(3)估算参与度在0.4以下的人数，要先根据总人数比例算出选择不同教学方式的人数，再分别计算不同教学方式下参与度在0.4以下的人数并求和.
20．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）解：所有的可能结果共有 6 种， 分别为 ， ．
（2）解：两树状图如下：
共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，
所以他俩选到相同社团的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）将所有可能的结果列举出来即可；
（2）本题考察通过画树状图求概率，画出树状图，共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，再根据概率计算公式算出概率即可.
1 / 1北师大版数学七年级下册第三单元概率初步单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·浙江月考）两人玩一个有趣的拿球游戏，现有一堆球，两人轮流从中拿球，每人每次只能拿1个或者2个球，谁拿到最后一个球谁就获胜。已知这堆球的数量是在4到2025（包括4和2025）这些整数中随机选取一个数，则先取球的人有必胜策略的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·榕城期中）将方格表中的每个小方格随机的用如下图左侧所示的个灰白双色方块之一嵌入．有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是多少？一个这样的镶嵌方案的例子如图右侧所示．
A． B． C． D． E．
3．（2024·古林模拟） 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为(　　)
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
4．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
6．（2024·贵州模拟）在一个黑色盒子里有1个白球，现在放入若干个黑球，它们与白球除了颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得（摸出一白一黑）（摸出两黑），则放入的黑球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024·浙江模拟）某商场举办促销活动，负责人在一个不透明的袋子里装着个大小、质量相同的小球，其中个为红色、个为黄色、个为绿色，若要获奖需要一次性摸出个红球和个黄球，那么获奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·杭州月考）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为　 　．
10．（2025九下·宁波月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
根据以上表格中的数据，估计该麦种的发芽概率为　 　（精确到0.01）
11．（2025·绵阳）水是生命之源．水分子的化学式为H2O，即1个水分子H2O由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是　 　 ．
12．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有　 　个白球．
13．现有长分别为 的木条各一根， 从这 5 根木条中任取 3 根， 能构成三角形的概率是　 　.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023·永善模拟）如果一个两位正整数，其个位数字大于十位数字，则称这个两位数为“两位递增数”（如14，56，37）．在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取两张，组成一个“两位递增数”
（1）写出所有个位数字是4的“两位递增数”： ；
（2）请用列表法或树状图，求组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
15．（2026九上·长沙期末）2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为 A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　人，扇形统计图中 C 类对应的圆心角度数为　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲乙两位同学抽中同一个类型的概率．
16．（2026九上·盐田期末）深圳盐田是深圳东部的一个滨海城区．它以其独特的山海资源、历史文化和多元体验成为热门旅游目的地．周末甲、乙两人从以下四个景区：A．大梅沙海滨公园，B．中英街，C．梧桐山国家森林公园，D．小梅沙海洋世界，随机选取一个景区参观游玩．假设这两人选择哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同．
（1） 甲选择到“中英街”参观游玩的概率为　 　；
（2） 甲去过“小梅沙海洋世界”，乙去过“梧桐山国家森林公园”，如果各自去过的风景区不再选择，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
17．（2024九上·杭州月考）如图， 依据闯关的游戏规则， 请你探究"闯关游戏"的奥秘.
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况.
（2）求出闯关成功的概率。
18．（2024·绥江模拟）【材料阅读】国务院总理李强5月15日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．
（1）根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；
（2）求两个国家选到同一个领域的概率．
19．某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择.为了分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查他们的学习参与度，数据整理结果如下表.（数据分组包含左端值，不包含右端值）
参与度 方式 人数 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高 请简要说明理由.
（2）从选择教学方式为“直播”的学生中任意抽取一人，请估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少.
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，请估计参与度在0.4以下的共有多少人.
20．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：当m能被3整除时，后取球的人必胜
当m除以3有余数时，先取球的人必胜
m共有2022个值
且且
先取球必胜的m的个数为
故答案为：C.
【分析】先求出所有可能的m的个数，由于只有当球数m能被3整除时后取球的人才能获胜，因此需要求出从4开始到2025这2022个数字中不能被3整除的数字个数；由于连续3个自然数中恰好有两个不能被3整除，因此先取球的人获胜的概率为.
2．【答案】C
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：如图，每个小方格有种等可能情况，
∴一共有种等可能情况，
在如图中有种等可能情况，
另外小单元有四个，
∴共有种等可能情况，
∴有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的概率是，
故选：C．
【分析】求出所有等可能的结果，再求出有一个大灰色菱形将出现在某个子方格表中的结果，再根据概率公式即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
　 √ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设16个小正方形的边长为a，则4个大正方形的边长为1.5a， 点 落在阴影部分的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题考查概率的计算，通过设小正方形的边长计算出阴影部分的面积，再通过概率计算公式求出概率.
5．【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设放入的黑球为x个，则共有（x+1）个球，一共出现的情况数为x（x+1），其中摸出两个黑球的有x（x-1）种，摸出一白一黑的有2x种，
P（摸出两黑）=，（摸出一白一黑）=，
（摸出一白一黑）（摸出两黑），
，
解得：x=3，
经检验，当x=3时，，x=3是原方程的解，
放入的黑球个数为3个.
故答案为：A.
【分析】设放入的黑球为x个，分别表示出摸出两个黑球的概率，摸出一白一黑的概率，利用（摸出一白一黑）（摸出两黑），建立方程求解即可.
7．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一次性摸出3个球，即不放回摸球3次，列树状图如下：
第2次摸球后共有7×8=56种等可能的结果，故第3次谋求后共有6×56=336种等可能的结果，其中"一次性摸出个红球和个黄球"的结果有2×4×5+4×2×5+4×5×2=120种，
故一次性摸出个红球和个黄球的概率为P=
故答案为：D.
【分析】根据题意列出树状图，(结果数比较多，只表示出于结论有关的一部分)，数出所有结果数，以及"一次性摸出个红球和个黄球"的结果数，用概率公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
　 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
9．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下：
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡发光，
闭合，，灯泡不发光，
∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【分析】列举出随机闭合两个开关的所有等可能情况，再根据电学知识找出其中能够让灯泡发光的所有等可能情况，从而利用概率公式即可计算出随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率.
10．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频数表可得，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在0.95，故该麦种的发芽概率估计为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的概率==，
故答案为：.
【分析】先根据题意画出树状图可得一共由24种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰好能组成水分子化学式的可能性由12种，再根据概率公式进行计算即可.
12．【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】在重复的300次实验中，摸到红球120次，则红球出现的概率是 ，利用样本估计总体方法，则在口袋中任意摸到一个红球的概率均是，设有白球个，则依据题意可得 ，解得： 个，则白球为9个。
【分析】理解样本估计总体含义及应用技巧；掌握概率的意义；解决此题一定要注意总体是白球和红球的总和。
13．【答案】0.3
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从长度为1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4，；2，3，5；2，4，5；3，4，5；
其中能构成三角形的有：3，4，5；2，4，5；2，3，4这三种结果，所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是.
故答案为：0.3.
【分析】本题考查概率计算，先列出所有可能的结果，再通过三角形三边间的关系找到能组成三角形的结果数，利用概率计算公式计算即可.
14．【答案】（1）14，24，34
（2）解：画树状图如图所示：
一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，
所以组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解： 由题意得：所有个位数字是4的“两位递增数”：14，24，34，
故答案为14，24，34；
【分析】（1）根据“两位递增数”的定义即可求解；
（2）根据题意画出树状图得到一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，再根据概率公式即可求解。
（1）解： 由题意得：所有个位数字是4的“两位递增数”：14，24，34，
故答案为14，24，34；
（2）画树状图如图所示：
一共有10种可能，组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的有：12，14，24，34，共4种可能，
所以组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的概率．
15．【答案】（1）400；90°
（2）解：D类的人数为400-50-120-100=130(人)，
∴补全条形统计图为：
（3）解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图可得，甲、乙抽中同一类型的情况有4种，
∴甲、乙抽中同一类型的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为；
故答案为：400，．
【分析】（1）用B类的人数除以占比求出总人数，再用乘以C类占比求出圆心角度数；
（2）用总人数减去其它类别的人数求出D类的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，得到甲、乙抽中同一类型的结果数，根据概率公式解答即可．
16．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数有2种，
∴甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
甲选择到“中英街”参观游玩的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意可知，甲选择到“中英街”参观游玩的概率为；
（2）根据题意画出相应的树状图，然后即可计算出甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
17．【答案】（1）解：所有可能闯关的情况列表如下：
　 1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (2，1) (2，2)
∴ 共有4种情况
（2）解：只有(1，2)组合才能闯关，
∴闯关成功的可能性为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)用列举法列举出可能闯关的所有情况，即可得出答案；
( 2)根据图表得出所有可能，进而得出闯关成功的概率.
18．【答案】（1）解：由题意列表如下：
A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由表可知，共有16种等可能的选择结果．
（2）解：由(1) 可知， 两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而得到共有16种等可能的选择结果；
（2）根据表格结合题意得到两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，再根据概率公式即可求解。
19．【答案】（1）解：“直播”教学方式学生的参与度更高.理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，所以“直播”教学方式学生的参与度更高
（2）解：12÷40=0.3=30%
（3）解：选择“录播”的总学生数为(人)，选择“直播”的总学生数为(人)，所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为(人)，“直播”参与度在0.4以下的学生数为(人)，所以参与度在0.4以下的学生共有20+30=50(人)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】(1)对于哪种教学方式参与度高，通过比较不同参与度区间的人数来判断；
(2)计算概率是用符合条件的人数除以总人数；
(3)估算参与度在0.4以下的人数，要先根据总人数比例算出选择不同教学方式的人数，再分别计算不同教学方式下参与度在0.4以下的人数并求和.
20．【答案】（1）解：所有的可能结果共有 6 种， 分别为 ， ．
（2）解：两树状图如下：
共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，
所以他俩选到相同社团的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）将所有可能的结果列举出来即可；
（2）本题考察通过画树状图求概率，画出树状图，共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，再根据概率计算公式算出概率即可.
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