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北师大版（2026）八年级数学下册第四章《因式分解》教学设计
4.2提取公因式（1）
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 提取公因式（1） 课时 1
课标要求 进一步了解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系；要求能够识别多项式中的公因式，并将其提取出来；掌握识别公因式的“三定”（定系数、定字母、定指数）。本节课渗透的数学思想方法是逆向思维和整体思想。
教材分析 本节课选自北师大版八年级下册第四章第三节因式分解的提公因式法。上节课学习了因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，本节课学习因式分解最基本的方法——提公因式法。因式分解是代数式的一种重要恒等变形．它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用．通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解奠定基础．因此，它起到了承上启下的作用．
学情分析 学生已经学习了整式乘法，有了初步的逆变思维能力，具备一定的分析、判断和运用法则的能力，对乘法的分配律也有了进一步的理解。同时已经具备了一定的自学、互学能力，所以本节课中应努力为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究怎样确定公因式和如何用提公因式法分解因式。在教学中教师既要注意学法指导，更要重视培养他们的数学学习习惯和数学思想
核心素养目标 1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．
教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
教学难点 让学生识别多项式的公因式。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 一、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.二、整式乘法与分解因式之间的关系；互为逆运算三、简便计算情境导入如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。
ma+mb=m(a+b) 1、回顾知识2、简便计算3、两种方法表示面积 问题引导,自助探究，由浅入深,层层推进,使学生由数的运算类比得出式的运算,从而顺利过渡到提公因式法分解因式上来,逐步培养学生观察、分析、归纳的能力、自主学习的能力及逆向思维能力，同时向学生渗透类比的数学思想方法．
三、探究 一、认识公因式1、认真观察等式两边各有什么特点？ ma+mb=m(a+b)公因式多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？ 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、怎样确定多项式的公因式？找出 2x–6x的公因式。（定系数、定字母、定指数）所以，2x–6x 的公因式是2x3、练一练① 4a + 2b 的公因式是 2 ② ab+ac+ad 的公因式是 a③3x + 9x 的公因式是 3x ④2x + 6x 的公因式是 2x⑤ 7(a–3)–b(a–3) 的公因式是 (a-3)_二、提取公因式① 4a + 2b 提取公因式是 2（2a+b） ② ab+ac+ad 提取公因式是 a（b+c+d)③3x + 9x 提取公因式是 3x(x+3) ④2x + 6x提取公因式是 2x(1+3x)⑤ 7(a–3)–b(a–3) 提取公因式是 (a-3)(7-b)如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 1、认识公因式，并总结找公因式的方法。初步感知提取公因式。 让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
四、变式 例1、将下列各式分解因式： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。例题2、把下列多项式分解因式：（1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。甲同学：解:12xy+18xy=3xy(4x+6y)[不正确，系数的最大公因数是6]乙同学：解:-x+xy-xz =-x(x+y-z)[不正确，提取“-”时，第二、三项未变号]丙同学：解:2x+6x+2x=2x(x+3x)[不正确，第三项与公因式相同，提取后是1正确应为2x（x+3x+1)] 学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况，强调：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。 通过典例分析，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过例题的呈现归纳提取公因式应注意：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。
五、尝试 基础达标：1．6ab与8ab的公因式是( C )A．ab B．6ab C．2ab D．24ab2．下列各个多项式的各项中，有公因式的是( D )A．x－9y B．x－3x＋5 C．a＋b D．ab－ab＋ab3．多项式9xy－36xy＋3xy提取公因式 3xy 后，另一个因式是．4．(2016·宁波)分解因式：x－xy＝ x(x-y)．5．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( B ) A．x－y B．x＋2x C．x＋y D．x－xy＋y6、用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz；(3)-xz+xy； (4)36aby-12abx+6ab解：(1)ax-ay==a(x-y);(2)6xyz-3xz==3xz(2y-z);(3)-xz+xy==-x(z-xy);(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1)能力提升：7.下列各组式子中，没有公因式的是( B )A.－a2＋ab与ab2－a2b B.mx＋y与x＋yC.(a＋b)2与－a－b D.5m(x－y)与y－x8.边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( D )A.15 B.30 C.60 D.789.把多项式-3x-6x因式分解，结果为(　A　)A.-3x(x＋2) B.-3(x2＋2x) C.-3x(x2＋2) D.3(-x2-2x)拓展迁移10.分解因式：1+x+x（x+1）+x(x+1） =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)(1+x)=(1+x). （1）上述因式分解的方法是 提取公因式 ，共应用了 2 次； （2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +x(x+1)，则需应用上述方法 3 次，结果是 ； （3）分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) + +x(x+1)（n 为正整数）的结果是 ． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、公因式的定义： 多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、公因式的找法：(1)定系数：取各项系数的最大公约数；(2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂3、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 提公因式法分解因式 ma+mb=m(a+b)公因式（系数、字母、指数）理论根据：乘法分配律 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1. 将 5x(a+b) y(b+a )用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （ C ） A. 5x y B. 5b+a C. a+b D. 5x+y2. 若 mn= 2，m n=3，则代数式 m n mn 的值是( A ) A. 6 B. 5 C. 1 D. 63. 分解因式 b(x 2)+b（2 x），正确的结果是 ( D ) A. （x 2)(b+b) B. b(x 2)(b+1) C. (x 2)(b b) D. b(x 2)(b 1) 4. 多项式 xy(a b) xy(b a)+y(a b )提公因式后，另一个因式为( B ) A. x x+1 B. x+x+1 C. x x 1 D. x+x 15.把下列各式分解因式： EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 解;能力提升：6.已知ab=7,a+b=6,求多项式的值解：=ab(a+b)=7×6=427.已知a+b=5,ab=3,求ab+ab的值.解：ab+ab=ab(a+b)=3×5=15拓展迁移：8.已知 x，y 满足：（x+y）=5，（x y） =41；求 xy+xy的值．解：由 （x+y=5 得：x+2xy+y=5．由（ x y）=41 得：x 2xy+y=41．得；x+y=23；xy= 9， xy+xy=xy(x+y）= 9×23= 207．9.若x-3x-4=1，求2029-2x+6x的值.解：原式=2029-2(x-3x) =2029-2×5 =2019. 10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值.解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；所以x=4，y=2.
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 下册第四单元
课标要求 内容要求：理解概念，了解因式分解的意义，理解因式分解与整式之间的互逆关系。掌握方法，能用提取公因式、公式法进行因式分解。会用因式分解的知识解决简单的实际问题或进行代数式的求值、证明。学生学习本单元后应达到：准确判断一个多项式的变形是否为因式分解，能根据整式乘法和因式分解的关系进行简单的计算和推理；能灵活的运用提取公因式和公式法对多项式进行分解；通过对整式乘法和因式分解互逆关系的探究，发展学生的逆向思维。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2、提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01因式分解102提取公因式（1）103提取公因式（2）104公式法（平方差公式）105公式法（完全平方式）105回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1、使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。完成填空题。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。并引出因式分解的意义。3、观察拼图，写出相应的代数式。理解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的互逆关系。4、观察9个算式，小组讨论得出分解因式注意点:①分解的对象必须是多项式，②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。完成例题2、3的学习，体会分解因式在解决实际问题中的作用。完成课堂作业。引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：引入新课环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识。2、简便计算。3、两种方法表示面积。4、认识公因式，并总结找公因式的方法。5、初步感知提取公因式。6、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况，强调：①当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。②多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结提取公因式（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、完成情景题，并用数形结合解释因式分解的过程。3、自主学习例题2，用记号笔圈出公因式，4、小组探究符号变化规律；完成做一做，5、根据符号变化规律自学例题3.6、拼图，利用面积关系解释因式分解。7、完成课堂作业。8、引导学生进行课堂总结。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：课堂练习环节五：课堂总结公式法（平方差公式）了解平方差公式的几何背景，能用平方差公式进行因式分解。2、了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解。3、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整。4、在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、分析平方差公式的特征，理解整式乘法和因式分解的互逆性。3、对照平方差公式尝试分解因式。4、讨论能用平方差公式分解因式的特点。5、自学例题1、2.完成思考与操作。6、完成课堂作业。7、引导学生进行课堂总结。环节一：课前检测环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结公式法（完全平方式）使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。回顾旧知，并完成两道因式分解。用字母表示完全平方公式，并熟悉记忆诀窍。3、分析完全平方公式的结构特点，4、判断多项式是否是完全平方，并交流合作总结判断方法。5、补上一项，使多项式成为完全平方式。6、自学例题1、2。7、小结因式分解的步骤。8、完成课堂作业。9、引导学生进行课堂总结。环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三：情景导入环节四：探究新知环节五：典例精析环节六：课堂练习环节七：课堂总结回顾与思考理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系，掌握提取公因式和公式法分解因式的方法，选择恰当的方法进行因式分解。能从实际问题中发现关于因式分解的问题，并能运用因式分解解决现实生活中的实际问题。3、通过思考、合作交流、动手操作等数学探究过程，感受“整体思想”、“类比思想”和“转化思想”的数学思想方法。展示课前布置的思维导图。2、分6个模块进行知识梳理，学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、解题方法等。同时关注学生的课堂参与度及效果。3、解题后小组交流解题的注意点。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《因式分解》单元教学设计
活动一；复习旧知
活动二：问题引入
活动三：探究新知
任务一：因式分解
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：探究新知
因式分解
任务二：提取公因式（1）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；温故知新
活动三：引入新课
活动四：探究新知
任务三：提取公因式（2）
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；课前检测
活动二：引入新课
活动三：探究新知
任务四：公式法（平方差公式）
活动四：典例精析
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动一；知识回顾
因式分解
活动二；课前检测
任务五：公式法（完全平方式）
活动三：引入新课
活动四：探究新知
活动五：典例精析
活动六：课堂作业
活动七：课堂总结
活动一；知识架构
活动二；知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
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第四章 《因式分解》导学案
4.1提取公因式（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．
3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．
学习重点：
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
学习难点：
让学生识别多项式的公因式。
预习自测
1、因式分解的概念
。
2、整式乘法与分解因式之间的关系是 。
3、简便计算
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。
教学过程
一、认识公因式
1、认真观察等式两边各有什么特点？
ma+mb=m(a+b)
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？
【强调】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
怎样确定多项式的公因式？
定系数（最大公因数）；定字母（相同字母）；定指数（最低次幂）
例如：2x–6x 的公因式是2x
3、练一练
① 4a + 2b 的公因式是 . ② ab+ac+ad 的公因式是 .
③3x + 9x 的公因式是 . ④2x + 6x 的公因式是 .
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 的公因式是 .
二、提取公因式
① 4a + 2b 提取公因式是 . ② ab+ac+ad 提取公因式是 .
③3x + 9x 提取公因式是 . ④2x + 6x提取公因式是 .
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 提取公因式是 .
【强调】如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
典例精析
例1、将下列各式分解因式：
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。
例题2、把下列多项式分解因式：
（1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12xy+18xy=3xy(4x+6y)
[不正确，系数的最大公因数是6]
乙同学：
解:-x+xy-xz =-x(x+y-z)
[不正确，提取“-”时，第二、三项未变号]
丙同学：
解:2x+6x+2x=2x(x+3x)
[不正确，第三项与公因式相同，提取后是1正确应为2x（x+3x+1)]
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．6ab与8ab的公因式是( )
A．ab B．6ab C．2ab D．24ab
2．下列各个多项式的各项中，有公因式的是( )
A．x－9y B．x－3x＋5 C．a＋b D．ab－ab＋ab
3．多项式9xy－36xy＋3xy提取公因式 后，另一个因式是 ．
4．(2016·宁波)分解因式：x－xy＝ ．
5．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( )
A．x－y B．x＋2x C．x＋y D．x－xy＋y
6、用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz； (3)-xz+xy； (4)36aby-12abx+6ab
能力提升：
7.下列各组式子中，没有公因式的是( )
A.－a2＋ab与ab2－a2b B.mx＋y与x＋y C.(a＋b)2与－a－b D.5m(x－y)与y－x
8.边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A.15 B.30 C.60 D.78
9.把多项式-3x-6x因式分解，结果为(　　)
A.-3x(x＋2) B.-3(x2＋2x) C.-3x(x2＋2) D.3(-x2-2x)
拓展迁移
10.分解因式：1+x+x（x+1）+x(x+1）
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)(1+x)=(1+x).
（1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1)+x(x+1)，则需应用上述方法 次，结果是 ；
（3）分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1)+ +x(x+1)（n 为正整数）的结果是 ．
总结反思、拓展升华
1、公因式的定义：
多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、公因式的找法：
(1)定系数：取各项系数的最大公约数；
(2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂
3、提公因式法的定义：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因
式法。
五、【作业布置】
基础达标：
1. 将 5x(a+b) y(b+a )用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （ ）
A. 5x y B. 5b+a C. a+b D. 5x+y
2. 若 mn= 2，m n=3，则代数式 m n mn 的值是( )
A. 6 B. 5 C. 1 D. 6
3. 分解因式 b(x 2)+b（2 x），正确的结果是 ( )
A. （x 2)(b+b) B. b(x 2)(b+1) C. (x 2)(b b) D. b(x 2)(b 1)
4. 多项式 xy(a b) xy(b a)+y(a b )提公因式后，另一个因式为( )
A. x x+1 B. x+x+1 C. x x 1 D. x+x 1
5.把下列各式分解因式：
能力提升：
已知ab=7,a+b=6,求多项式的值
7.已知a+b=5,ab=3,求ab+ab的值.
拓展迁移：
8.已知 x，y 满足：（x+y）=5，（x y） =41；求 xy+xy的值．
若x-3x-4=1，求2029-2x+6x的值.
10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值.
课堂作业参考答案
C
D
3zy;
x(x-y)
B
6、解：(1)ax-ay==a(x-y); (2)6xyz-3xz==3xz(2y-z);
(3)-xz+xy==-x(z-xy); (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1)
7、B
8、D
9、A
10、（1）提取公因式；2
（2）3；
（3）
课外作业参考答案
C
A
D
B
解： 解：
6、解：=ab(a+b)=7×6=42
7、解：ab+ab=ab(a+b)=3×5=15
8、解：由 （x+y=5 得：x+2xy+y=5．
由（ x y）=41 得：x 2xy+y=41．
得；x+y=23；xy= 9，
xy+xy=xy(x+y）= 9×23= 207．
9、解：原式=2029-2(x-3x)
=2029-2×5
=2019.
10、解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
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第四章 因式分解
4.2提取公因式（1）
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
进一步理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.
01
培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．
02
通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习.
03
02
温故知新
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
二、整式乘法与分解因式之间的关系
三、简便计算
02
情景引入
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。
认真观察等式两边各有什么特点？
ma+mb=m(a+b)
03
新知探究
一、认识公因式
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
03
新知探究
怎样确定多项式的公因式？
找出 2x2 – 6x3 的公因式。
定系数：
最大公因数
定字母：
相同字母
定指数：
最低次幂
所以，公因式是2x2 。
03
新知探究
1、写出下列多项式各项的公因式：
① 4a + 2b 的公因式是______
② ab+ac+ad 的公因式是______
③3x2 + 9x 的公因式是______
④2x2 + 6x3 的公因式是______
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 的公因式是______
2
a
3x
2x2
a-3
03
新知探究
① 4a + 2b 提取公因式是______
② ab+ac+ad 提取公因式是______
③3x2 + 9x 提取公因式是______
④2x2 + 6x3 提取公因式是______
⑤ 7(a–3)–b(a–3) 提取公因式是______
2（2a+b)
a(b+c+d)
3x(x+3)
2x2 (1+3x)
(a-3)(7-b)
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。
03
典例精析
例1、将下列各式分解因式：
03
典例精析
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
03
注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。
典例精析
03
典例精析
例题2、把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
甲同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
乙同学：
解:-x2+xy-xz
=-x(x+y-z)
丙同学：
解:2x3+6x2+2x
=2x(x2+3x)
不正确，系数的最大公因数是6
不正确，提取“-”时，第二、三项未变号
不正确，第三项与公因式相同，提取后是1正确应为2x（x2+3x+1)
知识要点1
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个因式 乘积的形式。
用提公因式法分解因式的步骤：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．6a2b与8ab2的公因式是( )
A．a2b2 B．6ab C．2ab D．24a2b2
2．下列各个多项式的各项中，有公因式的是( )
A．x2－9y2 B．x2－3x＋5 C．a3＋b3 D．a3b－ab2＋ab
3．多项式9x3y－36xy3＋3xy提取公因式____ 后，另一个因式是_____________________________．
C
D
3xy
3x2－12y2＋1
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．(2016·宁波)分解因式：x2－xy＝______________．
5．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是( )
A．x2－y2 B．x2＋2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
x(x－y)
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2；
(3)-x3z+x y； (4)36aby-12abx+6ab；
解：(1)ax-ay
(2)6xyz-3xz2
(3)-x3z+x4y
(4)36aby-12abx+6ab
=a(x-y);
=3xz(2y-z);
=-x3(z-xy);
=6ab(6y-2x+1)
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.下列各组式子中，没有公因式的是( )
A.－a2＋ab与ab2－a2b B.mx＋y与x＋y
C.(a＋b)2与－a－b D.5m(x－y)与y－x
8.边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A.15 B.30 C.60 D.78
9.把多项式-3x -6x 因式分解，结果为(　　)
A.-3x (x ＋2) B.-3(x ＋2x ) C.-3x (x-2) D.3(-x -2x)
B
D
A
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.分解因式：1+x+x（x+1）+x(x+1）
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x) (1+x)=(1+x) .
（1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) +x(x+1) ，则需应用上述方 法 次，结果是 ；
（3）分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1) + +x(x+1)（n 为正整数）的结果是 ．
提取公因式
2
3
05
课堂小结
1、公因式的定义：
多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、公因式的找法：
(1)定系数：取各项系数的最大公约数；
(2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂
3、提公因式法的定义：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因
式法。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 将 5x(a+b) y(b+a) 用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （ ）
A. 5x y B. 5b+a C. a+b D. 5x+y
2. 若 mn= 2，m n=3，则代数式 m n mn 的值是( )
A. 6 B. 5 C. 1 D. 6
3. 分解因式 b (x 2)+b（2 x），正确的结果是 ( )
A. （x 2)(b +b) B. b(x 2)(b+1)
C. (x 2)(b b) D. b(x 2)(b 1)
4. 多项式 x y(a b) xy(b a)+y(a b )提公因式后，另一个因式为( )
A. x x+1 B. x +x+1 C. x x 1 D. x +x 1
C
A
D
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.把下列各式分解因式：
解：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.已知ab=7,a+b=6,求多项式 的值
解：
因为
所以
解：
=ab(a+b)
=3X5=15
7.已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
a2b+ab2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.已知 x，y 满足：（x+y） =5，（x y） =41；求 x y+xy 的值．
解：由 （x+y）=5 得：x +2xy+y =5．
由（ x y）=41 得：x 2xy+y =41．
得；x +y =23；xy= 9，
x y+xy =xy(x +y ）= 9×23= 207．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.若x2-3x-4=1，求2029-2x2+6x的值.
解：原式=2029-2(x -3x)
=2029-2×5
2019.
10.已知x，y都是自然数，且有
x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值.
解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
Thanks!
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