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21.1.1 四边形及其内角和
第二十一章 四边形
01
掌握四边形的定义及有关概念，能够辨别凸四边形.
02
探究四边形的内角和外角的性质，掌握四边形的内角和和外角和.
03
了解四边形具有不稳定性.
什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
任务一：掌握四边形的定义及有关概念.
活动1：观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，请给四边形下个定义.并举例一些生活中常见的四边形.
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形.
问题1：比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名四边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
如图所示的图形不是平面图形，顶点A、B、C在同一平面内，而A、C、D又在另一平面内.
A
D
C
B
问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角、对角线．
内角：四边形相邻两边组成的角.
顶点：每相邻两条线段的公共端点.
边：组成四边形的各条线段.
外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段.
活动2：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论.
（1）
（2）
A
B
C
D
E
F
G
H
如图（1）这样，画出四边形的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形就是凸四边形.
四边形 ABCD 都在
直线 AB 的同一侧,也都在直线 CD，BC，AD 的同一侧.
四边形 ABCD 不都在直线 FG（或HG）的同一侧.
1.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，连接EF．
(1)图中共有________个四边形；
(2)四边形ABCD与四边形CDEF的公共边是________，
公共角是____________；
(3)四边形AEFB的外角是______________；
(4)任意四边形共有________条对角线，从顶点A出发，可以引出的对角线有________条．
3
CD
∠C，∠D
∠DEF，∠EFC　
2
2
任务二：探究四边形的内角和外角的性质.
活动1：角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
180°
360°
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
解：如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠1+∠B+∠3=180°.
同理，∠2+∠4+∠D=180°.
由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
= (∠1+∠B+∠3) + (∠2+∠4+∠D) =180°+180°=360°.
2.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
所以∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
活动2：如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
问题2：四个外角加上它们分别相邻的四个内角和是多少？
4×180°=720°
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB +∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°，
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°，
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°.
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
结论：四边形的外角和等于360°.
3.如图，∠FCD，∠EDC是四边形ABCD的外角，CP，DP分别平分∠FCD和∠EDC且相交于点P．若∠A=70°，∠B=80°，则∠CPD=___________．
105°
任务三：了解四边形具有不稳定性.
活动：(1)如图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
形状会改变
因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性.
(2)如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
形状不会改变
再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变.
(3)请你举出一些日常生活中需要利用四边形的不稳定性的例子，以及克服四边形的不稳定性的例子.
伸缩门
升降机
在窗框上钉一根木条以防窗框变形
四边形
定义
前提条件是在一个平面内
内角和定理
不稳定性
应用
四边形的内角和等于360°
外角和定理
四边形的外角和等于360°
通过本节课的学习，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1+∠2等于（ ）
A．140° B．180° C．220 ° D．240°
C
2.如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
A
3.填空:（1）有下列图形：①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形.其中不具有稳定性的是__________.（填序号）
（2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的___________.
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上_____根木条.
不稳定性
2
①②④
4.如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x，
（1）若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值；
（2）在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
（3）AB、BC、CD能围成一个三角形吗？
解：（1）x最大值 = AB + BC + CD = 19；x最小值 =BC – AB – CD = 3；
（2）3 < x < 19；
（3）不能.

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