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21.1.2 多边形及其内角和
第二十一章 四边形
01
了解多边形的概念及相关要素.
02
探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
任务一：了解多边形的概念及相关要素.
活动：观察以下图形，类比三角形的定义，它们有什么特征？如果我们把以上这些图形称为多边形，那么同学们如何给多边形下一个定义呢？
①在一个平面内；②由几条（不少于三条）线段首尾顺次相接而成.
在平面内，由n(n≥3)条线段A1A2， A2A3 ，…， An-1An， AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
多边形有几条边就叫作几边形.
(4) 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____.
(3) 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______.
(2) 相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____.
问题1：根据图形，各组成部分的名称有哪些？
A
B
C
D
E
(1) 组成多边形的各条线段叫作多边形的____.
边
边
顶点
顶点
对角线
对角线
内角
角
内角
如: 线段AB
如: 点E
如: 线段BD
如: ∠A
问题2：边形根据边数可以分为三角形、四边形、五边形......，通过观察和测量下面多边形的边和角，你有什么发现？
三角形
正方形
五边形
六边形
它们的各条边相等、各个角也相等.
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形.
A
B
C
D
凸四边形
凸七边形
凸八边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.
问题3：六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
7
总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
6
5
任务二：探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
活动1：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
从五边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将五边形分为
　　　　个三角形，
五边形的内角和等于180°×____=　　 .
2
3
3
540°
从六边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将六边形分为
　　　　个三角形，
六边形的内角和等于180°×____=　　 .
3
4
4
720°
问题1：由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3
3×180°=540°
3
4
4×180°=720°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
正多边形的每个内角的度数等于
(n－2)× 180°
n
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
问题2：尝试利用不过顶点分割成三角形的转化法，求 n 边形的内角和？
如图，在 n 边 A1A2···An 内任取一点 O，连接 OA1，OA2，···，OAn，则 n 边形 A1A2···An 被分成了 n 个三角形.
因此，n 边形的内角和为 n×180°－360°＝(n－2)×180°.
O
360°
A1
A2
A3
A4
A5
An
A6
A7
由于 n 个三角形的内角和为n·180°，且这 n 个三角形有一个共同顶点 O，以 O 为顶点的内角构成了一个周角.
1. (1) 十边形的内角和是多少度？
(2) 一个多边形的内角和等于 1980°，它是几边形？
解：(1) 十边形的内角和是
(10－2)×180°＝1440°.
(2) 设这个多边形的边数为 n，则
(n－2)×180°＝1980°，
解得 n＝13.
所以这是一个十三边形.
活动2：与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和，多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补
问题2：n 边形的内角和与外角和的总和是多少？
n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
n 边形的外角和
任意多边形的外角和等于 360°
－(n－2) × 180°
= 360°
= n 个平角和－ n 边形内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
= 2×180°
与边数无关
问题3：由以上的结果，你有什么发现呢？
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
A
2.一个多边形的内角和等于外角和的 5 倍，它是几边形？
解：设多边形的边数为 n，
则它的内角和为 (n-2)· 180°.
由题意得 (n-2)· 180°=360°×5，
解得 n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
通过本节课的学习，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
多边形
正多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
(n－2)× 180°
360°
多边形及其内角和
凸多边形
1. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A.1800° B.540° C.720° D.810°
D
八
135°
2.一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是 边形,它的每一个内角是 .
3.如图，这是正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n.
解 ∵ 正n边形的每一个外角相等，
∴ ∠PBC=∠PCB.
又∵ ∠BPC=120°， ∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴ ∠PBC=∠PCB=30°.
∵ 正n边形的外角和等于360°，
∴ n=360÷30=12.
4. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180 ＝ 10，
∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
∴新多边形的边数可能是 11，12，13.
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.

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