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21.2.1 平行四边形及其性质
课时1 平行四边形的性质
第二十一章 四边形
01
理解并掌握平行四边形的概念及其性质.
02
根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
任务一：理解并掌握平行四边形的概念及其性质.
活动1：观察下图中的伸缩门、竹篱笆、载重汽车的防护栏，说说你从中
发现了哪些几何图形，你还能举出一些例子吗？请给平行四边形下个定义.
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
符号语言：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
表示：平行四边形用“□ ” 表示，如图，平行四边形ABCD，记作□ABCD (要注意字母顺序).
活动2：根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？
猜想1：
平行四边形的对边相等.
猜想2：
平行四边形的对角相等.
问题1：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质. 如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
A
B
D
C
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证：AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC.
A
B
C
D
证明：
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB∥CD,
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC△CDA（ASA）,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
1
4
3
2
如图，连接AC.
问题2：添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等呢？
A
D
B
C
答：能.证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
平行四边形的性质除了两组对边互相平行以外，还有以下性质：
A
B
C
D
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
活动3：如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？你能证明你的猜想吗？
猜想3：
平行四边形的对角线互相平分.
D
C
A
B
O
已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
平行四边形的性质除了两组对边互相平行以外，还有以下性质：
平行四边形的对角线互相平分．
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
D
C
A
B
O
任务二：运用平行四边形的性质进行计算和论证
活动：请解决下列问题，简要归纳做题的思路或方法.
（1）小明用一根绳子围成了一个平行四边形的场地(如图1)，
已知AB=3m，BC=5m，则这根绳子的总长为： ；
若∠B＝70°，则其他三个角的度数分别是：
.
（2）如图2 ，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，
AC⊥BC．若AC=4， AB=5，求BD的长、 ABCD的面积.
A
B
D
C
图1
图2
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3 m,AD=BC=5 m,
∴平行四边形ABCD的周长=16 m.
即这根绳子的总长为16m.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=70°
∴∠A=∠C，∠D=∠B，∠A＋∠B=180°，∠A＋∠D=180°,
∴∠D=70°,∠A=∠C=110°.
(1）小明用一根绳子围成了一个平行四边形的场地(如图1)，已知AB=3m，BC=5m，则这根绳子的总长为： ；若∠B＝70°，则其他三个角的度数分别是： .
A
B
D
C
图1
16 m
70°,110°,110°
(2)如图2 ，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC．若AC=4， AB=5，求BD的长、 ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ACB是直角三角形，
∴CE=AC，BE=BD，
根据勾股定理，BC=
∵CE=AC=2，
∴BE=
∴BD=2BE= ，
∴S ABCD= BC·AC= 3×4=12.
图2
1.平行四边形周长为56cm，两邻边长的比为3∶1，则平行四边形的较长边
为 cm.
21
2.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是 .
A
B
C
M
D
45°
研究对象 研究结果 几何表示
对边
对角
邻角
对角线
平行四边形的性质：
平行且相等
相等
互补
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AB∥CD，AD∥BC；
例如，∠BAD+∠ABC =180°
互相平分
AO=CO，BO=DO
O
B
A
C
D
AB=CD，AD=BC
1.如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________．
5
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，则AD的长可能是(　　)
A．10
B．8
C．7
D．6
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD，
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是CD的中点，∴CE＝DE，
∴△ADE△FCE(AAS)．
∴CF＝AD＝5，∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
3.如图，点E是 ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE△FCE，并求BF的长．

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