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21.2.2 平行四边形的判定
课时1 平行四边形的判定1
第二十一章 四边形
01
探索并证明平行四边形的判定定理.
02
能熟练运用平行四边形的判定定理进行计算和证明.
我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的对角相等；
任务一：探索并证明平行四边形的判定定理.
活动：小组合作先完成下列任务，再整理归纳得出的结论.
(1)回顾平行四边形的定义与性质，写出它们所对应的逆命题.
(2)在写出的逆命题中任意挑选一个进行验证.（写出已知、求证、画出图形再进行证明）
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逆命题:
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
1
4
2
3
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC△CDA(SSS)
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
D
C
命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥CD，
A
B
D
C
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中,
∴△AOB△COD(SAS)，
∴∠BAO=∠OCD ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
同理得 AD∥BC，
命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
B
D
C
O
平行四边形的判定定理有：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理. 也就是说，当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立.
如图，若要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件有
，（填一个即可），
你的依据是： .
两组对边分别相等（或平行）的四边形是平行四边形
AB＝DC，AD＝BC；AB∥ CD , AD∥ BC等
任务二：运用平行四边形的判定定理进行计算和证明.
活动：小组合作完成下列问题.(要求：说说你的方法或依据)
B
O
D
A
C
E
F
图2
（1）如图1是一块碎了的平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分，如何在图纸上画出原来的平行四边形呢？
（2）如图2，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
图1
A
B
C
D
方法1：
根据两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，即可确定点D的位置.
（1）如图1是一块碎了的平行四边形玻璃片，只剩下如图所示部分，如何在图纸上画出原来的平行四边形呢？
A
B
C
图1
方法2：
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可确定点D的位置.
A
B
C
D
O
（2）如图2，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
B
O
D
A
C
E
F
图2
平行四边形的判定1
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
通过本节课的学习，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
D
2.一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形一定是______________．
平行四边形
3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为________．
24
4. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF .
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴OE = OA，OF = OC.
∴OE = OF.
∴四边形 DEBF 是平行四边形.

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