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21.3.1 矩形
课时1 矩形的性质
第二十一章 四边形
01
理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.
02
掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.
任务一：理解矩形的概念．
活动：请观察平行四边形的移动过程，完成下列问题.
(1)当移动到一个角是直角时停止，这个图形有何特点？它还是平行四边形吗？请举出身边类似图形的例子，并给矩形下个定义．
(2)平行四边形一定是矩形吗？矩形一定是平行四边形吗 由此你能得出什么结论，请说一说.
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
矩形是常见的几何图形，地砖、教科书封面、书桌面等都有矩形的形象.
任务二：掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.
活动1：请完成下列任务，并整理归纳你得出的结论.
(1)任意度量身边一个矩形物体的每个角的度数，如数学书本、课桌等.
(2)拿出一张A4纸，分别画出它的两条对角线，再分别量出两条对角线的长度.
(3)针对(1)(2)写出你的猜想，并加以验证.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
如图，四边形ABCD为矩形，∠B=90°.
求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
A
B
C
D
猜想1：矩形的四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A, AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C = 90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =90°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC△DCB.
∴AC=DB.
猜想2：矩形的对角线相等.
矩形的特殊性质：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
活动2：如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？由此你能得出什么结论？并加以验证.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证：BO= AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，∴BO=BD=AC.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质
C
B
A
O
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝ AC．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
活动3：请解决下列问题，简要归纳你用到的性质或方法.
(1)如图1,在矩形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长.
(2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE=BC.求证：CE＝EF．
A
B
C
D
O
图1
图2
(1)如图1,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC 与 BD相等且互相平分，
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
图1
(2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE=BC．
求证：CE＝EF．
图2
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC．
∴∠1=∠2．
∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°．
在△ABE与△DFA中，
∠B=∠DFA ，
AE=AD，
∠BEA =∠FAD ，
∴△ABE△DFA（AAS），∴AF=BE,∴EF=EC．
在矩形中求线段或证明边、角关系的问题，常常转化为求直角三角形的边、角或证明两个三角形全等来解决，要注意结合图形，灵活运用矩形的性质与推论、勾股定理、等腰（边）三角形的性质等，达到计算或证明的目的.
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，AD=2，求AB的长．　　　　　
解：在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=AD=2，
∴BD=2OD=4，
由勾股定理得，AB= .
针对本课的以下关键词，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.矩形的定义与性质、推论
2.矩形的性质及推论的运用
计算与论证
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
D
2.矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和是15，则对角线长为 ，短边长为 .
10
5
3.如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE△BCE（SAS），
∴AE=BE．

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