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21.3.1 矩形
课时2 矩形的判定
第二十一章 四边形
01
理解并掌握矩形的判定方法，会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形.
02
能综合应用矩形的判定及性质进行有关计算与论证.
任务一：理解并掌握矩形的判定方法.
活动：小组合作完成下列问题，整理归纳矩形的判定方法.
情境：小华用两根长度相等的短木板和两根长度相等的长木板，做了一个矩形像框（如图所示），有什么办法可以检测这个像框是矩形呢？
(1)结合所学的矩形、平行四边形的知识，说说你的方法.
(2)若该相框的四个角都是直角，能否说明它是矩形？至少要满足几个角是直角呢？(画图说明)
(3)结合(1)(2)写出你的猜想，并进行证明.
定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
对角线相等的平行四边形是矩形．
猜想1：
有三个角是直角的四边形是矩形．
猜想2：
已知：如图,在□ABCD中，AC、BD是它的两条对角线, AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC△DCB(SSS)，∴∠ABC=∠DCB,
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°，∴□ABCD是矩形.
AB=CD ，
BC=CB.
AC=DB ，
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
(1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
基本思路： ①是平行四边形，并且有一个是直角→矩形
②是平行四边形，并且两条对角线相等→矩形
③四边形，有三个角是直角→矩形
1.下列判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （ ）
（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ）
（6）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （ ）
（8）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． （ ）
×
×
√
√
√
×
√
√
任务二：掌握矩形的判定及性质的综合应用.
活动：小组合作完成下列问题.(要求：说说你的方法或依据)
(1)如图1，在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数．
(2)如图2，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
　
A　
B　
C　
D　
O
图1
图2
(1)如图1，在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.
求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
　
A　
B　
C　
D　
O
图1
(2)如图2，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形 EFGH 是矩形.
图2
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD ，∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
= (∠BAD + ∠ADC) = 90°.
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°，∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
2.如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，求四边形ABCD的面积.
解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AD=3，AB=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD AB=2×3=6.
针对本课的以下关键词，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.矩形的判定方法
2.矩形的判定定理及性质的综合运用
计算与论证
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2.依据图中所示的数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
D
3.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是矩形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
4.已知□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，
OB=OD=BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= (cm).
∴S□ ABCD=AB·BC= 4×4 (cm2).

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