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21.3.2 菱形
课时1 菱形的性质
第二十一章 四边形
01
理解菱形的定义，知道菱形与平行四边形的关系.
02
掌握菱形的性质定理，能根据菱形的性质及面积计算公式进行相关的计算.
任务一：理解菱形的定义．
活动：阅读教材第55页，完成下列问题.
(1)请归纳菱形的定义，举出一些生活中所见到过的菱形的例子．
(2)平行四边形一定是菱形吗 菱形一定是平行四边形吗 由此你能得出什么结论,请说一说.
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.
菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.
图1
图2
任务二：通过探索掌握菱形的性质定理
活动1：小组合作完成下列任务，整理归纳得出的结论.
(1)如图1，准备一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开.得到的图形是一个菱形吗？请说说理由.
(2)如图2，在图形上画出两条折痕，再折叠，你发现了什么？菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系 请写出你的猜想.
结合图形可知，菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
猜想1：菱形的四条边都相等.
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
(3)结合(1)(2)归纳菱形的性质.（从它的边、角、对角线等方面验证你的猜想，并加以证明）
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AB=BC,BC=CD,CD=AD
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
D
O
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AC⊥BD；∠ABD=∠CBD，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠BAC.
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴△ABC是等腰三角形.
∴AB = BC，
又 ∵OB = OD，AO=OC
∴AO⊥B0，OB平分∠ABC，
即AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠DAC=∠BAC
活动2：如图，对角线分平行四边形为四个面积相等（两对全等）的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.与平行四边形相比菱形中的四个小三角形是否具有类似的关系？说说你的理由，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
B
C
D
A
O
菱形的对角线把菱形分为四个全等的直角三角形,
A
B
C
D
O
S菱形ABCD=4×S△AOB
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD = S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
菱形除了具有平行四边形所有性质外，还具有以下特殊性质：
性质1：菱形的四条边都相等.
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且
每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质有 .(填序号)　　　　
①两组对边分别平行　 ②两组对角分别相等
③对角线互相平行 ④对角线互相垂直
④
2.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
B
任务三：根据菱形的性质及面积计算公式进行相关的证明和计算．
活动：请解决下列问题，小组自行归纳用到的性质或方法.
如图，某公园有一个菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，你能求出两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积吗？（保留小数点后一位）
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
如图，某公园有一个菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求：两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积.（保留小数点后一位）
A　
B　
C　
D　
O　
3.如图，菱形ABCD的周长为24，一条对角线AC的长为8，则菱形的面积为 .（结果保留根号）　　　　
针对本课的以下关键词，你能说一说你都学到了哪些知识吗？
1.菱形的定义与性质
2.菱形的性质与面积公式的运用
1.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ ）
A.18 B.16
C.15 D.14
B
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为______．
1
3.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.
求菱形的边长和对角线AC的长.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形,且∠BAC=30°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=6，即菱形的边长为6，
∴OB=OD=BD=3，
在Rt△AOB中，
∴AC=2OA= .
∴AB=AD，∠DAC=∠BAC=30°，
又 ∵AC⊥BD，

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