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21.3.3 正方形
课时1 正方形的性质
第二十一章 四边形
01
探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
02
会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
任务一：探索并证明正方形的性质．
活动1：预习课本P75思考：
(1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
(2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
(3)请归纳正方形的定义，举出一些生活中所见到过的正方形的例子．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形是日常生活中常见的图形.
活动2：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并思考正方形有哪些性质？尝试证明.
正方形
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
猜想1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
猜想1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
猜想2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
正方形的性质：
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
活动3：请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？分别是什么？
A
B
D
C
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，
分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( 　)
A．对角线相等且互相平分　　　　
B．对角线相等且垂直平分
C．对角线互相平分
D．四边相等，四个角相等
C
任务二：能运用正方形的性质解决相关证明及计算问题．
活动：小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质.
(1)求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知: 如图,四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
(2)右图中共有 个等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：(1) ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形
∴△ABO△BCO△CDO△DAO.
又∵ AD=CD=BC=AB
(2)右图中共有8个等腰直角三角形.
2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO=2，求正方形的周长与面积．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD= ，面积为AD2=8.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OD=2，
针对本课的关键词“正方形的性质”，说一说你都学到了哪些知识？
1.一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是（ ）
A.2 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.8 cm2
A
解析：根据正方形的性质可得，正方形面积为×2×2=2(cm2).
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是　　　.
22.5°
解析：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
又∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
3.如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.
求证：∠EAD=∠EDA=15°.
证明：∵△BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠CDA=90°，
∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.

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