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21.3.3 正方形
课时2 正方形的判定
第二十一章 四边形
01
探索并证明正方形的判定.
02
会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
除此之外，还有没有其他判定方法呢？
平行四边形
一组邻边相等
且一内角是直角
正方形
任务一：探索并证明正方形的判定．
活动：小组合作完成下列任务，并整理归纳得出的结论.
问题1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证，并思考满足怎样条件的矩形是正方形？
问题2：如图，把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 量量看是不是正方形，并思考满足怎样条件的菱形是正方形？
问题3：结合以上过程写出你的猜想，并加以验证.
猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.
猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.
矩 形
正方形
菱 形
正方形
猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:如图，在矩形ABCD中，AB=AD.
求证: 矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，四边形ABCD也是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）
A
D
C
B
猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直.
求证: 矩形ABCD是正方形.
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，
OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.
已知:如图，在菱形ABCD中，∠B=90°.
求证: 菱形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠B=90°,
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.
已知:如图，在菱形ABCD中，AC＝BD.
求证: 菱形ABCD是正方形.
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，
AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
正方形
+
菱形
再判定矩形
(2)
一个角是直角
正方形的判定思路如下：
正方形
+
矩形
再判定菱形
(1)
一组邻边相等
对角线垂直
对角线相等
平行四边形
(3)
正方形
一组邻边相等且一内角是直角
对角线相等且垂直
1.从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD，选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是(　 　)
A．①②　　　B．②③　　
C．①③　　　D．②④
B
任务二：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
活动:小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质.
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH △BFE △CGF △DHG .
∴HE = EF = FG = GH .
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH △BFE，∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
H
A
B
C
D
E
F
G
3
1
2
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
求证：四边形CEDF为正方形.
证明　∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.
过点D作DG⊥AB于点G(图略).
∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.
同理DG=DF，∴DE=DF.
∴四边形CEDF为正方形.
针对本课的关键词“正方形的判定方法”，说一说你都学到了哪些知识？
1.下列命题中，正确的是( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
D
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∠OAB＝45°，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵AC，BD互相平分，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵AC⊥BD，∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝45°，∴OA＝OB.
又∵AC，BD互相平分，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是正方形．
3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB=∠CDB；
证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(2)当∠ADC=　　　时，四边形MPND是正方形，并说明理由.
解：当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形.
理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°，
∵∠PMD=90°，∴∠MPD=∠PDM=45°，
∴PM=MD，∴矩形MPND是正方形.

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