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四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题
1．（2026高二上·叙永期末）抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为x2y，则，即准线方程为y.
故答案为：D.
【分析】化抛物线方程化为标准形式，求得，根据抛物线的性质即可得抛物线的准线方程.
2．（2026高二上·叙永期末）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】先根据复数代数形式的乘、除运算化简求得复数，再根据复数的概念求其虚部即可.
3．（2026高二上·叙永期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知， 动点满足 ，
则动点P的轨迹为两条射线.
故答案为：B.
【分析】易知，由题意可知动点满足，即可得动点P的轨迹为两条射线.
4．（2026高二上·叙永期末）已知与是相互独立的随机事件，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】解：与是相互独立的随机事件，
则.
故答案为：D.
【解答】由题意，根据和事件以及独立事件概率计算公式求解即可.
5．（2026高二上·叙永期末）在直三棱柱中，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可.
6．（2026高二上·叙永期末）黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，
则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”，
由题意得，，
，
由得，，则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，由题意，根据对立事件的概率公式，结合交事件的概率求得，再根据一般事件的概率加法公式求解即可.
7．（2026高二上·叙永期末）已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，所以，
因为，所以，则圆锥的高为，
所以，该圆锥的体积为.
故答案为：D.
【分析】由题意计算可得母线和底面半径的值，再由圆锥体积公式得出该圆锥的体积.
8．（2026高二上·叙永期末）已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由椭圆，可得，右焦点，
易知圆的圆心，半径，圆心为椭圆C的左焦点，
由椭圆定义可得，，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
则，
故的最小值是．
故答案为：C．
【分析】由题意，作出图形，易知椭圆的右焦点坐标，以及圆心和半经，利用椭圆的定义以及椭圆的几何性质、圆的几何性质可得、、，进而，化简求解即可.
9．（2026高二上·叙永期末）下列说法正确的是（　　）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线在轴上的截距是
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
D．点关于点的对称点为
【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：A、 任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A正确；
B、直线，令，解得，则直线在轴上的截距是，故B正确；
C、易知直线与两坐标轴的交点坐标为与，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C错误；
D、设对称点为，则，则对称点为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系即可判断A；根据直线方程，令，求得得值即可判断B；求直线与两坐标轴的交点，再计算三角形面积即可判断C；设对称点为，利用中间坐标公式求解即可判断D.
10．（2026高二上·叙永期末）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（　　）
A．当时，平面
B．对于任意，三棱锥的体积是定值
C．存在，使得与平面所成的角为
D．的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当时，与重合，平面即平面，根据三垂线定理可知，因为，所以平面，故A正确；
B、由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的，所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，故B错误；
C、以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示：
则，设，
所以，，
设面的法向量为，
则，即，
令，则，即面的法向量为，
设与平面所成的角为，则，
当时，可得，
化简得，解得或（舍），
所以存在，使得与平面所成的角为，故C正确；
D、可知，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】当时，与重合，平面即平面，根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理即可判断A；由正方体性质，结合三棱锥的体积公式求解即可判断B；以为坐标原点，以分别为轴建系，利用空间向量法求线面角即可判断C；根据正方体的性质，结合C选项的坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示即可判断D.
11．（2026高二上·叙永期末）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（　　）
A．以为直径的圆与准线相切
B．若点，则的最小值为5
C．若直线的倾斜角为，则
D．点为线段中点，则点的坐标可以是
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线方程为；
设，的中点，
点到准线的距离为，，
则以为直径的圆与准线相切，故A正确；
B、过点作垂直于准线，垂足为，如图所示：
则，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为5，故B正确；
C、若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
由，消元整理得，由韦达定理可得，，则，故C错误；
D、假设点的坐标为，则，
由直线与抛物线交于两点得，两式相减得，
即，所以，
所以直线的方程为，即，点在直线上，
由，整理得，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点，准线方程为，设，利用中点坐标公式求得点的坐标，计算和中点到准线的距离即可判断A；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线的定义，结合距离和最小即可判断B；若直线的倾斜角为，写出直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理计算面积即可判断C；假设点的坐标为，则，利用点差法求解即可判断D.
12．（2026高二上·叙永期末）椭圆 的焦距等于　 　.
【答案】4
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，则 ，
所以椭圆的焦距为 .
故答案为：4.
【分析】由椭圆的简单性质即可得出答案。
13．（2026高二上·叙永期末）已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为　 　．
【答案】
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：根据题意，该校教师的“亚健康”率为：％．
故答案为：.
【分析】根据各年龄段“亚健康”率分别计算各年龄段分别计算“亚健康”人数，再除以总人数即可求出该校教师的“亚健康"率.
14．（2026高二上·叙永期末）已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可知，则点在以为直径的球与底面的交线上，
以为坐标原点，垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
r
则，，易知球的直径长为，
球心为的中点，
因为球心到底面的距离为1，所以底面截球所得圆的半径为，
圆心为，则在以为直径的圆与菱形的交线上，
如图，由平面几何关系得，菱形中，则，
实际交线为劣弧和劣弧，
易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等，
则，
故的运动轨迹长为.
故答案为：.
【分析】由，可知，则点在以为直径的球与底面的交线上，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由题意求出球心的坐标，再由球心到底面的距离为1，推出点在以为直径的圆与菱形的交线上，最后根据平面几何关系求解即可.
15．（2026高二上·叙永期末）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
（1）求的轨迹方程；
（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）解：设点的坐标为，则点的坐标为，
因为点为圆上的动点，所以，化简得，
故的轨迹方程为；
（2）解：圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，所以，
即，平方得，整理得，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，利用中点坐标公式求得点的坐标，将其代入圆中，整理即可求得点的轨迹方程；
（2）由（1）可得圆心和半径，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线距离和弦长公式求解即可.
（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16．（2026高二上·叙永期末）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计消费金额的84%分位数.
（2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
【答案】（1）解：先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为，
因为，，所以消费金额的分位数位于之间，
由，则消费金额的分位数为；
（2）解：5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则；
（3）解：游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元，
则游客应该选择方案二更优惠.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先计算各区间的频率，再根据频率分布直方图百分位数的计算法求解即可；
（2）根据分层抽样先求消费不低于100元的人数，再分别计算从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法以及至少有1人消费不低于100元的抽法，最后利用古典概型概率公式求解即可；
（3）分别求出两个方案的费用，比较判断即可.
（1）先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为.
因为，.
所以消费金额的分位数位于之间.
由.
所以消费金额的分位数为.
（2）5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则.
（3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
17．（2026高二上·叙永期末）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
【答案】解：（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)，，，
则，
即异面直线AP，BM所成角的余弦值为；
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则，，，
设平面PBC的法向量为，则，即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以 是平面PBC的一个法向量，
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，
则λ的值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意推出PA，AB，AD两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）由（1）的坐标系，根据AN＝λ，求得N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，以及， 再求平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，根据线面夹角公式列式求解即可.
18．（2026高二上·叙永期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点．
（1）求的方程；
（2）直线与有且只有一个公共点，求的值；
（3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值．
【答案】（1）解： 由双曲线（，）的渐近线方程为 ，可得，
设，代入点，得，
则双曲线的方程为；
（2）解：直线与双曲线有且只有一个公共点，
则只有一组解，即只有一个解，
当，即时，满足题意；
当时，，解得；
则；
（3）解：设，，如图所示：
联立，化简得，
由，解得，且；
则，
原点到直线的距离，
则的面积为，解得.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由渐近线方程可得，设，代入点计算即可求得双曲线的标准方程；
（2）问题转化为方程 有一个解，整理可得，分和讨论讨论即可求得的值；
（3）设，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理以及弦长公式、点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程即可得的值.
（1）由已知，则，
代入点得，
所以双曲线的方程为．
（2）直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以方程组只有一组解，即只有一个解，
当，即时，满足题意．
当时，，解得；
所以
（3）设，，如下图所示：
联立，化简得，
由，解得，且；
所以
原点到直线的距离
所以的面积为；
解得.
19．（2026高二上·叙永期末）已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为.
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程.
【答案】（1）解：椭圆焦点坐标为，则，，
双曲线，渐近线方程为，则，即，
联立，将代入，得，解得，，
则椭圆的方程为，双曲线的方程为；
（2）解：联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，化简得，
设，由韦达定理，则，
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为，
可得，，即，
代入得：，
故点N的轨迹方程.
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦点坐标可得，，由双曲线的渐近线可得，联立求出的值，即可得椭圆和双曲线的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，消元整理后，由题意可得，化简求得，设，根据韦达定理求得，分和讨论，求解即可.
（1）对于椭圆，已知焦点坐标为，
则，.
对于双曲线，渐近线方程为，所以，即.
联立，将代入得，解得，，
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为.
（2）联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，
化简得.
设，由韦达定理，则.
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为.
可得，，即，
代入得：，
故点N的轨迹方程.
1 / 1四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题
1．（2026高二上·叙永期末）抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·叙永期末）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B．1 C． D．
3．（2026高二上·叙永期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线
4．（2026高二上·叙永期末）已知与是相互独立的随机事件，且，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高二上·叙永期末）在直三棱柱中，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026高二上·叙永期末）黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·叙永期末）已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·叙永期末）已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·叙永期末）下列说法正确的是（　　）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线在轴上的截距是
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
D．点关于点的对称点为
10．（2026高二上·叙永期末）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（　　）
A．当时，平面
B．对于任意，三棱锥的体积是定值
C．存在，使得与平面所成的角为
D．的取值范围为
11．（2026高二上·叙永期末）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（　　）
A．以为直径的圆与准线相切
B．若点，则的最小值为5
C．若直线的倾斜角为，则
D．点为线段中点，则点的坐标可以是
12．（2026高二上·叙永期末）椭圆 的焦距等于　 　.
13．（2026高二上·叙永期末）已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为　 　．
14．（2026高二上·叙永期末）已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为　 　.
15．（2026高二上·叙永期末）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
（1）求的轨迹方程；
（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
16．（2026高二上·叙永期末）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计消费金额的84%分位数.
（2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
17．（2026高二上·叙永期末）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
18．（2026高二上·叙永期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点．
（1）求的方程；
（2）直线与有且只有一个公共点，求的值；
（3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值．
19．（2026高二上·叙永期末）已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为.
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为x2y，则，即准线方程为y.
故答案为：D.
【分析】化抛物线方程化为标准形式，求得，根据抛物线的性质即可得抛物线的准线方程.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】先根据复数代数形式的乘、除运算化简求得复数，再根据复数的概念求其虚部即可.
3．【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知， 动点满足 ，
则动点P的轨迹为两条射线.
故答案为：B.
【分析】易知，由题意可知动点满足，即可得动点P的轨迹为两条射线.
4．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】解：与是相互独立的随机事件，
则.
故答案为：D.
【解答】由题意，根据和事件以及独立事件概率计算公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，
则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”，
由题意得，，
，
由得，，则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，由题意，根据对立事件的概率公式，结合交事件的概率求得，再根据一般事件的概率加法公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，所以，
因为，所以，则圆锥的高为，
所以，该圆锥的体积为.
故答案为：D.
【分析】由题意计算可得母线和底面半径的值，再由圆锥体积公式得出该圆锥的体积.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：如图所示：
由椭圆，可得，右焦点，
易知圆的圆心，半径，圆心为椭圆C的左焦点，
由椭圆定义可得，，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
则，
故的最小值是．
故答案为：C．
【分析】由题意，作出图形，易知椭圆的右焦点坐标，以及圆心和半经，利用椭圆的定义以及椭圆的几何性质、圆的几何性质可得、、，进而，化简求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】直线的倾斜角；平面内中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：A、 任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A正确；
B、直线，令，解得，则直线在轴上的截距是，故B正确；
C、易知直线与两坐标轴的交点坐标为与，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C错误；
D、设对称点为，则，则对称点为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系即可判断A；根据直线方程，令，求得得值即可判断B；求直线与两坐标轴的交点，再计算三角形面积即可判断C；设对称点为，利用中间坐标公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、当时，与重合，平面即平面，根据三垂线定理可知，因为，所以平面，故A正确；
B、由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的，所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，故B错误；
C、以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示：
则，设，
所以，，
设面的法向量为，
则，即，
令，则，即面的法向量为，
设与平面所成的角为，则，
当时，可得，
化简得，解得或（舍），
所以存在，使得与平面所成的角为，故C正确；
D、可知，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】当时，与重合，平面即平面，根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理即可判断A；由正方体性质，结合三棱锥的体积公式求解即可判断B；以为坐标原点，以分别为轴建系，利用空间向量法求线面角即可判断C；根据正方体的性质，结合C选项的坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线方程为；
设，的中点，
点到准线的距离为，，
则以为直径的圆与准线相切，故A正确；
B、过点作垂直于准线，垂足为，如图所示：
则，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为5，故B正确；
C、若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即，
则点到直线的距离，
由，消元整理得，由韦达定理可得，，则，故C错误；
D、假设点的坐标为，则，
由直线与抛物线交于两点得，两式相减得，
即，所以，
所以直线的方程为，即，点在直线上，
由，整理得，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点，准线方程为，设，利用中点坐标公式求得点的坐标，计算和中点到准线的距离即可判断A；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线的定义，结合距离和最小即可判断B；若直线的倾斜角为，写出直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理计算面积即可判断C；假设点的坐标为，则，利用点差法求解即可判断D.
12．【答案】4
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，椭圆 ，可得 ，则 ，
所以椭圆的焦距为 .
故答案为：4.
【分析】由椭圆的简单性质即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：根据题意，该校教师的“亚健康”率为：％．
故答案为：.
【分析】根据各年龄段“亚健康”率分别计算各年龄段分别计算“亚健康”人数，再除以总人数即可求出该校教师的“亚健康"率.
14．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可知，则点在以为直径的球与底面的交线上，
以为坐标原点，垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
r
则，，易知球的直径长为，
球心为的中点，
因为球心到底面的距离为1，所以底面截球所得圆的半径为，
圆心为，则在以为直径的圆与菱形的交线上，
如图，由平面几何关系得，菱形中，则，
实际交线为劣弧和劣弧，
易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等，
则，
故的运动轨迹长为.
故答案为：.
【分析】由，可知，则点在以为直径的球与底面的交线上，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由题意求出球心的坐标，再由球心到底面的距离为1，推出点在以为直径的圆与菱形的交线上，最后根据平面几何关系求解即可.
15．【答案】（1）解：设点的坐标为，则点的坐标为，
因为点为圆上的动点，所以，化简得，
故的轨迹方程为；
（2）解：圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，所以，
即，平方得，整理得，解得，
则直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，利用中点坐标公式求得点的坐标，将其代入圆中，整理即可求得点的轨迹方程；
（2）由（1）可得圆心和半径，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线距离和弦长公式求解即可.
（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16．【答案】（1）解：先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为，
因为，，所以消费金额的分位数位于之间，
由，则消费金额的分位数为；
（2）解：5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则；
（3）解：游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元，
则游客应该选择方案二更优惠.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先计算各区间的频率，再根据频率分布直方图百分位数的计算法求解即可；
（2）根据分层抽样先求消费不低于100元的人数，再分别计算从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法以及至少有1人消费不低于100元的抽法，最后利用古典概型概率公式求解即可；
（3）分别求出两个方案的费用，比较判断即可.
（1）先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为.
因为，.
所以消费金额的分位数位于之间.
由.
所以消费金额的分位数为.
（2）5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则.
（3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
17．【答案】解：（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)，，，
则，
即异面直线AP，BM所成角的余弦值为；
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则，，，
设平面PBC的法向量为，则，即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以 是平面PBC的一个法向量，
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，
则λ的值为1.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意推出PA，AB，AD两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）由（1）的坐标系，根据AN＝λ，求得N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，以及， 再求平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，根据线面夹角公式列式求解即可.
18．【答案】（1）解： 由双曲线（，）的渐近线方程为 ，可得，
设，代入点，得，
则双曲线的方程为；
（2）解：直线与双曲线有且只有一个公共点，
则只有一组解，即只有一个解，
当，即时，满足题意；
当时，，解得；
则；
（3）解：设，，如图所示：
联立，化简得，
由，解得，且；
则，
原点到直线的距离，
则的面积为，解得.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由渐近线方程可得，设，代入点计算即可求得双曲线的标准方程；
（2）问题转化为方程 有一个解，整理可得，分和讨论讨论即可求得的值；
（3）设，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理以及弦长公式、点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程即可得的值.
（1）由已知，则，
代入点得，
所以双曲线的方程为．
（2）直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以方程组只有一组解，即只有一个解，
当，即时，满足题意．
当时，，解得；
所以
（3）设，，如下图所示：
联立，化简得，
由，解得，且；
所以
原点到直线的距离
所以的面积为；
解得.
19．【答案】（1）解：椭圆焦点坐标为，则，，
双曲线，渐近线方程为，则，即，
联立，将代入，得，解得，，
则椭圆的方程为，双曲线的方程为；
（2）解：联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，化简得，
设，由韦达定理，则，
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为，
可得，，即，
代入得：，
故点N的轨迹方程.
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆的焦点坐标可得，，由双曲线的渐近线可得，联立求出的值，即可得椭圆和双曲线的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，消元整理后，由题意可得，化简求得，设，根据韦达定理求得，分和讨论，求解即可.
（1）对于椭圆，已知焦点坐标为，
则，.
对于双曲线，渐近线方程为，所以，即.
联立，将代入得，解得，，
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为.
（2）联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，
化简得.
设，由韦达定理，则.
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为.
可得，，即，
代入得：，
故点N的轨迹方程.
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