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10.4 课时1 一元一次不等式与一次函数的关系
1.利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题，
初步体验数形结合思想．
在一次函数y＝2x－5中，当y＝0时，有方程________；当y>0时，有不等式_______；当y<0时，有不等式________．
2x－5＝0
2x－5>0
2x－5<0
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．
1.不等式2x－5＞0的解集为 .
2. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点 坐标是 .
（0,－5）
（52,0）
?
????>52
?
思考：2x－5＞0的解集与一次函数 y = 2x – 5图象之间有什么关系呢？
作出函数y=2x-5的图象
x
…
0
2.5
…
y=2x-5
…
-5
0
…
列表：
观察函数 y = 2x - 5的图象思考下列问题：
(2.5 , 0)
(1) x 取哪些值时, y=0 ?
(2) x 取哪些值时, y>0 ?
x > 2.5 时 , y > 0 ;
x = 2.5 时 , y = 0 ;
(3) x 取哪些值时, y<0 ?
x < 2.5 时 , y < 0 ;
(4) x 取哪些值时, y>1 ?
x > 3 时 , y > 1 ;
0
x
1
2
3
-1
4
1
-1
-2
3
-4
-3
2
-5
-6
y
思考：观察函数图象的方法有什么优缺点？你还有其他办法吗？
看图解决x取值问题直观形象，但需要画图，并且如果数据不是整数时，很可能看不准确；
(1) x 取哪些值时, y=0 ?
(2) x 取哪些值时, y>0 ?
y＞0即2x -5>0时 , x>2.5 ;
y=0即2x-5 = 0时 , x= 2.5 ;
(3) x 取哪些值时, y<0 ?
y＜0即2x-5 < 0 时 , x< 2.5 ;
(4) x 取哪些值时, y>1 ?
y＞1即2x-5 > 1时 , x> 3.
其实y值可转化为2x-5的值，那么下列问题就可以转化为不等式或者方程的问题：
方程
不等式
转化思想：
一次函数问题
一次不等式 问题
求函数问题的方法：
(1)图象法：
画出函数图象解决函数问题；
(2)列式法：
列不等式(方程)求解解决函数问题.
转化
思路一:
运用函数图象解不等式.
作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得当x>-2.5时, y<0.
y=-2x-5
思路二:
将函数问题转化为不等式问题.
即解不等式-2x-5 < 0
∴当x>-2.5时, y < 0.
思考：如果 y =-2x-5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？当 x 取何值时，y < 1 ？你是怎么求解的？与同伴交流
思路一:
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当x>-3时，y<1.
y=-2x-5
思路二:
即 解不等式-2x-5 <1
∴当x>-3时，y<1.
思考：如果 y =-2x-5，那么当 x 取何值时，y < 0 ？当 x 取何值时，y < 1 ？你是怎么求解的？与同伴交流
求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，
a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值大于0
（或小于0）时x的取值范围
直线y=ax+b在x轴上方（或下
方）时自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，
a≠0)的解集
如图,直线l1:y1=2x+1与直线l2:y2=mx+4相交于点P(1,b).
(1)求b和m的值.
(2)结合图象,直接写出当y1>y2时x的取值范围.
解:(1)对于直线y1=2x+1,当x=1时,y1=3,
∴P(1,3), ∴b=3,
把P(1,3)代入y2=mx+4中,得3=m+4,解得m=-1.
(2)观察图象可知:当y1>y2时x的取值范围是x>1.
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:
y1=4x，y2=3x+9.
(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m，______先跑过100m.
0(s)x>9(s)
y1=4x
y2=3x+9
(9,36)
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
在同一坐标系中作出y1=4x（哥哥），y2=3x+9(弟弟)的函数图象，如右图所示.由图象可得：
还能怎么求解？
哥哥: y1=4x
弟弟: y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面?
(2)何时哥哥跑在弟弟前面?
(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?
即4x<3x+9，解得x<9.
即4x>3x+9，解得x>9.
当4x=20时，x=5，
当3x+9=20时，????=113.
?
当4x=100时，x=25，
当3x+9=100时，????=913.
?
∴弟弟先跑过20m.
∴哥哥先跑过100m.
代数法：
一元一次不等式
可以研究一次函数的图象走向
通过图象可直接解不等式
一次函数
数形结合
1.如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx＋b≥3的解集为(　　)
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≥3 D．x≥－1
D
2.已知在一定弹性范围内甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，它们的图象如图所示，当所挂物体质量均为2 kg(都在弹性范围内)时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(　　)
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
A
3.如图，直线y＝kx＋b(k，b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为________．
x＜4
4.已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式x-2≥-x+2的解集是_________.?
　x≥2　
5.一艘轮船以20 km/h的速度从甲港驶往160 km 远的乙港,2 h后,一艘快艇以40 km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象.观察图象回答下列问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面?何时快艇行驶在轮船的前面?
(2)哪一艘船先驶过60 km?哪一艘船先驶过100 km?
解:设轮船行驶的路程为y1 km,快艇行驶的路程为y2 km, 轮船行驶的时间为x h.则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示.
A(4,80)
由????=20????, ????=40(?????2),得????=4, ????=80,即两函数图象的交点为A(4,80).
?
观察图象可得:
(1)轮船行驶4 h前,轮船行驶在快艇的前面，轮船行驶4 h后,快艇行驶在轮船的前面.
(2)轮船先驶过60 km,快艇先驶过100 km.

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