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广东省广州市黄埔区广州市第八十六中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（2025八下·黄埔期中）使有意义的的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·黄埔期中） 下列属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·黄埔期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·黄埔期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是(　　)
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，7 D．5，12，13
5．（2025八下·黄埔期中）点到原点的距离为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
6．（2025八下·黄埔期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
7．（2025八下·黄埔期中）矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．四条边相等
8．（2025八下·黄埔期中）如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形
9．（2025八下·黄埔期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）
A． B．5 C． D．10
10．（2025八下·黄埔期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（2025八下·黄埔期中）计算的结果是　 　．
12．（2025八下·黄埔期中）最简二次根式能与合并，则　 　．
13．（2025八下·黄埔期中）在平行四边形中，，则　 　．
14．（2025八下·黄埔期中）如图，在数轴上点表示的实数是　 　．
15．（2025八下·黄埔期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
16．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（2025八下·黄埔期中）计算：
18．（2025八下·黄埔期中）如果实数，满足，求的值．
19．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
20．（2025八下·黄埔期中）实数，在数轴上的位置如图，化简．
21．（2025八下·黄埔期中）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
22．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，，，且，求的长和的面积．
23．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
24．（2025八下·黄埔期中）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图，在坐标系中，，构造，则，，
∴
若，，则
∴
这就是两点间的距离公式，例如，
∴
（1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________，
∴的最小值是_____________．
（2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
25．（2025八下·黄埔期中）已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为上一点，且，连接交于点P．
（1）写出菱形的面积___________；
（2）如图1，过点D作于点G，若，求点C到AM的距离？
（3）如图2，点E是上一点，且，连接、．试判断：在运动过程中；是否存在最小值？若存在，请求出：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此可得x-2≥0，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、则该二次根式不是最简二次根式；
B、则该二次根式不是最简二次根式；
C、该二次根式是最简二次根式；
D、则该二次根式不是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式： ①被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数不含分母，据此逐项分析即可求解.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、，正确；
C、≠7，错误；
D、≠-3，错误．
故答案为：B．
【分析】本题先根据二次根式的加法和乘法计算步骤，可以判断A、B的正误；再根据二次根式的性质计算出C、D，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵42+32=25，62=36，
∴42+32≠62，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵42+62=52，72=49，
∴42+62≠72，
∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵122+52=169，132=169，
∴122+52=132，
∴能组成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别求出各选项中较小两边的平方和，再求出第三边的平方，若较小两边的平方和=第三边的平方，则此三角形是直角三角形，据此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即点到原点的距离为5．
故选：A．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的性质：对角线互相平分且相等，四个角相等，菱形的性质：对角线互相平分且互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，四条边相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是四个角相等.
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质，可作出判断.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：中，由勾股定理得：，
中，由勾股定理得：，
同理可得，中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故选：D．
【分析】根据勾股定理可得AB，BC，AC，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵圆柱的底面周长为6，高为4，
∴，
∴，
∴从点A爬到点B的最短路程是5，
故选B．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，
，，，
的周长为，
的周长为，
…
以此类推，第个三角形的周长为，
故选：A．
【分析】根据三角形中位线定理，结合三角形周长总结规律，即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：2．
【分析】
根据二次根式的乘法：利用平方差公式进行计算即可解答．
12．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式能与合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义：被开方数相同且都开二次方的根式，列方程得到，计算即可求解．
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
15．【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当时，的值最小，
此时，的面积，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积计算即可解答.．
17．【答案】解：原式

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，然后合并同类项即可解答．
18．【答案】解：，
，
解得：，
，
，
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式得到x的值，再把代入计算可得，再把、的值代入计算即可解答．
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
20．【答案】解：根据数轴可得：，，
∴，
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】根据数轴可得出，，则，根据二次根式的性质化简即可．
21．【答案】（1）解：，
，，

（2），
，
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据a、b的值分别算出，的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可；
（2）先根据a、b的值分别算出a-1，b-1的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可．
22．【答案】解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】过点作于点，根据含角的直角三角形特征得到，再根据勾股定理求出AD，同理得到BC，再根据根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积公式计算求出结果即可解答．
23．【答案】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质得到，再由垂线的定义得到，再由AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据，由中点的定义求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）先求出，根据平行四边形的性质求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
24．【答案】（1）0，；13；13
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示，
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，，
即的最大值为.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13.
【分析】（1）参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可；
（2）①参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可；
②参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可.
（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13；
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示，
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，，
即的最大值为
25．【答案】（1）
（2）解：如图1，过点C作，垂足为 F，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴
∴，即
又∵
∴
∴
即点C到AM的距离为1.7．
（3）解：如图3，取中点H，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
中，，
∴
∴
∴
∴
即最小值为的长
中，，
∴，
∴
∴中，
∴最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据菱形性质可得，，解直角三角形可得OB，OA，再根据菱形面积即可求出答案.
（2）过点C作，垂足为 F，根据菱形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）取中点H，连接，，，根据菱形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，即最小值为的长，解之家三角形可得IH，ID，根据边之间的关系可得BI，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）如图1，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
（2）如图1，过点C作，垂足为 F，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴
∴，即
又∵
∴
∴
即点C到AM的距离为1.7．
（3）如图3，取中点H，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
　　　　　　　图3
∴
∴
∴
中，，
∴
∴
∴
∴
即最小值为的长
中，，
∴，
∴
∴中，
∴最小值为．
1 / 1广东省广州市黄埔区广州市第八十六中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（2025八下·黄埔期中）使有意义的的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：，
故答案为：A.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此可得x-2≥0，求解即可.
2．（2025八下·黄埔期中） 下列属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、则该二次根式不是最简二次根式；
B、则该二次根式不是最简二次根式；
C、该二次根式是最简二次根式；
D、则该二次根式不是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式： ①被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数不含分母，据此逐项分析即可求解.
3．（2025八下·黄埔期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，错误；
B、，正确；
C、≠7，错误；
D、≠-3，错误．
故答案为：B．
【分析】本题先根据二次根式的加法和乘法计算步骤，可以判断A、B的正误；再根据二次根式的性质计算出C、D，即可得出答案．
4．（2025八下·黄埔期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是(　　)
A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，7 D．5，12，13
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵42+32=25，62=36，
∴42+32≠62，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵42+62=52，72=49，
∴42+62≠72，
∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵122+52=169，132=169，
∴122+52=132，
∴能组成直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，分别求出各选项中较小两边的平方和，再求出第三边的平方，若较小两边的平方和=第三边的平方，则此三角形是直角三角形，据此可得答案.
5．（2025八下·黄埔期中）点到原点的距离为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即点到原点的距离为5．
故选：A．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
6．（2025八下·黄埔期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·黄埔期中）矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．四条边相等
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的性质：对角线互相平分且相等，四个角相等，菱形的性质：对角线互相平分且互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，四条边相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是四个角相等.
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质，可作出判断.
8．（2025八下·黄埔期中）如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：中，由勾股定理得：，
中，由勾股定理得：，
同理可得，中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故选：D．
【分析】根据勾股定理可得AB，BC，AC，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
9．（2025八下·黄埔期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵圆柱的底面周长为6，高为4，
∴，
∴，
∴从点A爬到点B的最短路程是5，
故选B．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025八下·黄埔期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，
，，，
的周长为，
的周长为，
…
以此类推，第个三角形的周长为，
故选：A．
【分析】根据三角形中位线定理，结合三角形周长总结规律，即可求出答案.
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（2025八下·黄埔期中）计算的结果是　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：2．
【分析】
根据二次根式的乘法：利用平方差公式进行计算即可解答．
12．（2025八下·黄埔期中）最简二次根式能与合并，则　 　．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式能与合并，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义：被开方数相同且都开二次方的根式，列方程得到，计算即可求解．
13．（2025八下·黄埔期中）在平行四边形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
14．（2025八下·黄埔期中）如图，在数轴上点表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
15．（2025八下·黄埔期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为　 　．
【答案】4
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵为的中点，且，
∴．
故答案为：4．
【分析】
根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线与斜边的关系得出，计算即可解答．
16．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当时，的值最小，
此时，的面积，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积计算即可解答.．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（2025八下·黄埔期中）计算：
【答案】解：原式

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】先化简二次根式，然后合并同类项即可解答．
18．（2025八下·黄埔期中）如果实数，满足，求的值．
【答案】解：，
，
解得：，
，
，
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式得到x的值，再把代入计算可得，再把、的值代入计算即可解答．
19．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
20．（2025八下·黄埔期中）实数，在数轴上的位置如图，化简．
【答案】解：根据数轴可得：，，
∴，
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】根据数轴可得出，，则，根据二次根式的性质化简即可．
21．（2025八下·黄埔期中）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，，

（2），
，
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据a、b的值分别算出，的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可；
（2）先根据a、b的值分别算出a-1，b-1的值，再利用平方差公式进行计算代入求值即可．
22．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，，，且，求的长和的面积．
【答案】解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】过点作于点，根据含角的直角三角形特征得到，再根据勾股定理求出AD，同理得到BC，再根据根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积公式计算求出结果即可解答．
23．（2025八下·黄埔期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，，当时，求的面积．
【答案】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质得到，再由垂线的定义得到，再由AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据，由中点的定义求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）先求出，根据平行四边形的性质求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
24．（2025八下·黄埔期中）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？
如图，在坐标系中，，构造，则，，
∴
若，，则
∴
这就是两点间的距离公式，例如，
∴
（1）根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值．
小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
请完成如下填空：
作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________，
∴的最小值是_____________．
（2）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式：
①最小值．
②的最大值．
【答案】（1）0，；13；13
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示，
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，，
即的最大值为.
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13.
【分析】（1）参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可；
（2）①参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可；
②参照题干中的计算方法，再画出图形并利用勾股定理求解即可.
（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得，
∴的最小值是13．
故答案为：0，；13；13；
（2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．
作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，
由两点间的距离公式得，
∴的最小值是10．
②表示，
若点不在直线上，则在中，有，
若点在直线上时，有，
故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，
此时，，
即的最大值为
25．（2025八下·黄埔期中）已知菱形的边长为2，，对角线、相交于点O．点M从点B向点C运动（到点C时停止），点N为上一点，且，连接交于点P．
（1）写出菱形的面积___________；
（2）如图1，过点D作于点G，若，求点C到AM的距离？
（3）如图2，点E是上一点，且，连接、．试判断：在运动过程中；是否存在最小值？若存在，请求出：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图1，过点C作，垂足为 F，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴
∴，即
又∵
∴
∴
即点C到AM的距离为1.7．
（3）解：如图3，取中点H，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
中，，
∴
∴
∴
∴
即最小值为的长
中，，
∴，
∴
∴中，
∴最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据菱形性质可得，，解直角三角形可得OB，OA，再根据菱形面积即可求出答案.
（2）过点C作，垂足为 F，根据菱形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）取中点H，连接，，，根据菱形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，即最小值为的长，解之家三角形可得IH，ID，根据边之间的关系可得BI，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）如图1，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
（2）如图1，过点C作，垂足为 F，
图1
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴
∴，即
又∵
∴
∴
即点C到AM的距离为1.7．
（3）如图3，取中点H，连接，，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
　　　　　　　图3
∴
∴
∴
中，，
∴
∴
∴
∴
即最小值为的长
中，，
∴，
∴
∴中，
∴最小值为．
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