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广东省惠州市惠州一中集团2025-2026学年八年级上学期期末考试数学卷
1．（2026八上·惠州期末）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字.
2．（2026八上·惠州期末）老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：、，不满足三边关系，不能围成三角形，故A不符合题意；
、，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故B不符合题意；
、，，，满足三边关系，且符合铁丝总长，能围成三角形，故C符合题意；
、，不满足三边关系，不能围成三角形，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，逐一验算即可解答.
3．（2026八上·惠州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A计算错误，不符合题意；
B、，故B计算错误，不符合题意；
C、，故C计算错误，不符合题意；
D、，故D计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据同底数幂乘法法则可得，可判断A；根据完全平方公式可得，可判断B；根据同底数幂除法法则可得，可判断C，根据积的乘方法则可得，可判断D；逐一判断即可解答．
4．（2026八上·惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不属于最简二次根式，故A不符合题意；
B、属于最简二次根式，故B符合题意；
C、，不属于最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不属于最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；逐一判断即可解答．
5．（2026八上·惠州期末）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得；
故选C．
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.
6．（2026八上·惠州期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线
【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：由图①得在AC上，，
∴是的角平分线；
由图②得在BC上，，AD⊥BC
∴是的高线；
由图③得与B重合，，D是BC的中点
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
【分析】
本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线的定义，三角形的一个角的平分线把这个角分成两个相等的角；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高； 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 。
7．（2026八上·惠州期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三线合一的性质得到，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解答．
8．（2026八上·惠州期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长交于点M，
∵，，
∴．
∵，，与交于F，
根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数，解答即可．
9．（2026八上·惠州期末）小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．相信我爱 B．我爱惠州 C．相爱惠州 D．相信惠州
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
∵对应“我”，对应“爱”，对应“惠”，对应“州”，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱惠州”．
故答案为：B．
【分析】
根据因式分解的一般步骤：先提公因式，再用平方差公式因式分解得到，再结合给定的汉字对应关系，匹配出对应的密码信息即可解答．
10．（2026八上·惠州期末）如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；线段的中点；几何图形的面积计算-割补法；线段的比
【解析】【解答】解：设，，，则，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】
设，，，可表示出CF，根据中点的定义得到AE=BE=a，表示出AB=2a，根据矩形的性质得到，， 根据面积的公式用代数式依次表示矩形、、、、的面积，然后根据， 带入计算化简可得，然后求出与的关系，计算可解答．
11．（2026八上·惠州期末）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
12．（2026八上·惠州期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
先计算负整数指数幂、零指数幂，最后计算减法即可解答．
13．（2026八上·惠州期末）若，则　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
∵，
∴原式．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般应用：先对原多项式提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解后得到，再整体代值计算即可解答．
14．（2026八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为，
由作图可知，是的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
作，垂足为， 根据角平分线定理可得，再利用三角形的面积公式计算求出解答即可．
15．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】
先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答．
16．（2026八上·惠州期末）如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，分别作点C关于的对称点E，F，连接，
∴，
∴的周长，
当点共线时，的周长取得最小值，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】分别作点C关于的对称点E，F，连接，分别交于点M，N，根据两点之间线段最短可得当F，M，N，E共线时，的周长最小，根据四边形内角和计算得出，再根据三角形的内角和求出，根据轴对称的性质可得，和三角形内角和定理即可求出．
17．（2026八上·惠州期末）如图，已知．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若的周长为，，则的周长为_______ ．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求：
（2）14
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）连接，
∵是边的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
【分析】
（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作出线段BC垂直平分线，解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长公式求解即可．
（1）解：如图，直线即为所求：
（2）解：连接，
∵是边的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
18．（2026八上·惠州期末）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】
（1）根据多项式除以单项式的运算法则用多项式的每一项去除以单项式，再把所得的结果相加减，计算求解即可；
（2）根据平方差公式得，再根据平方的意义计算平方，最后计算减法，解答即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．（2026八上·惠州期末）（1）化简：；
（2）解分式方程：
【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边乘以得，
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解一元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）根据分式的混合运算先计算除法约分后，再计算减法，解答即可；
（2）根据分式方程的解法先方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可解答．
20．（2026八上·惠州期末）将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：由折叠可得，
∵在长方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴．
∴的度数为．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得，根据长方形性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据长方形性质可得，根据补角可得∠CEM，再根据折叠性质可得，即可求出答案.
（1）证明：由折叠可得，
∵在长方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴．
∴的度数为．
21．（2026八上·惠州期末）综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）：，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：，综合电价：1元/（），续航里程：，每千米行驶费用：_________元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3 燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用）
【答案】解：任务1：；
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得
解得．
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】解分式方程；列分式方程；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】
任务1：根据表中的信息，新能源车的每千米行驶费用=，计算即可解答；
任务2：先表示出燃油车的每千米行驶的费用，再表示出新能源车每千米行驶的费用为，再根据 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元，可以列出相应的分式方程，解方程并检验解的合理性，解答即可；
任务3：根据年费用年行驶费用年其他费用，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，再根据 买新能源车的年费用更低列出相应的不等式，计算即可解答．
22．（2026八上·惠州期末）如图，点C在线段上，平分，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的定义得到，再根据AAS判定解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，从而判定是等边三角形，再计算线段的和差即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
23．（2026八上·惠州期末）问题背景：
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中，
（1）请根据图①写出一个等式：__________；
（2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，，请求出阴影部分的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点，过点作交的延长线于点，记与的面积之和为，与的面积之和为，请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】解：(1)
（2）设，，
由题意可知，，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）∵在等腰直角三角形中，，为的中点，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴，，
∴为定值．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）由图①可知，大正方形的面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和，
∴等式为：；
故答案为：
【分析】
（1）根据等面积法，先表示出大正方形面积，再分别表示出两个小正方形，两个矩形的面积，然后计算和相等，写出等式即可解答；
（2）设，，根据题干信息表示出，，再通过完全平方公式变形计算可求出，通过割补法将阴影面积转化为和正方形的面积之和减去的面积，根据三角形面积公式代入求值即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到，，从而说明，是等腰直角三角形，同理证明得到，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再判定四边形是矩形，设，，用、的代数式表示出和，求比值即可解答．
24．（2026八上·惠州期末）在中，，，点是一个动点，且，过点在的外侧作直线，使，点关于直线的对称点为点．
（1）如图1，当点在的边上时，连接，．
①依据题意，补全图1；
②求出的度数，
（2）如图2，当点在的外部，且在的内部时，连接，，射线交于点．
①依据题意，补全图2；
②猜想与的数量关系是：_______，请写出证明过程．
【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①依据题意，补全图2如下：
②，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）①过点作的垂线段，并延长一倍，得到点，连线画出图形即可解答；
②根据轴对称的性质可得，，结合已知条件得到，再用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，再根据可得，解答即可；
（2）①过点作的垂线段，并延长一倍，得到点，连线画出图形即可解答；
②如图，过点作交的延长线于点，类比（1）的方法利用SAS可证明，根据全等三角形的性质得到，．由等角的余角相等可证明，根据平行线的性质可得，，由此用ASA可推导出，根据全等三角形的性质得到，解答即可．
（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①依据题意，补全图2如下：
②，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即．
1 / 1广东省惠州市惠州一中集团2025-2026学年八年级上学期期末考试数学卷
1．（2026八上·惠州期末）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·惠州期末）老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2026八上·惠州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·惠州期末）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026八上·惠州期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．中线、角平分线、高线
7．（2026八上·惠州期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2026八上·惠州期末）如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·惠州期末）小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．相信我爱 B．我爱惠州 C．相爱惠州 D．相信惠州
10．（2026八上·惠州期末）如图，在长方形中，点是边的中点，点在边上，，，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
11．（2026八上·惠州期末）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
12．（2026八上·惠州期末）计算：　 　．
13．（2026八上·惠州期末）若，则　 　．
14．（2026八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为　 　．
15．（2026八上·惠州期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为　 　．
16．（2026八上·惠州期末）如图，在四边形中，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，则的度数为　 　．
17．（2026八上·惠州期末）如图，已知．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若的周长为，，则的周长为_______ ．
18．（2026八上·惠州期末）计算：
（1）；
（2）
19．（2026八上·惠州期末）（1）化简：；
（2）解分式方程：
20．（2026八上·惠州期末）将一张长方形纸条按如图所示方式折叠，为折痕．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
21．（2026八上·惠州期末）综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1 燃油车油箱容积：，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）：，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：，综合电价：1元/（），续航里程：，每千米行驶费用：_________元．
素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3 燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用）
22．（2026八上·惠州期末）如图，点C在线段上，平分，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长
23．（2026八上·惠州期末）问题背景：
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中，
（1）请根据图①写出一个等式：__________；
（2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，，请求出阴影部分的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点，过点作交的延长线于点，记与的面积之和为，与的面积之和为，请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
24．（2026八上·惠州期末）在中，，，点是一个动点，且，过点在的外侧作直线，使，点关于直线的对称点为点．
（1）如图1，当点在的边上时，连接，．
①依据题意，补全图1；
②求出的度数，
（2）如图2，当点在的外部，且在的内部时，连接，，射线交于点．
①依据题意，补全图2；
②猜想与的数量关系是：_______，请写出证明过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：、，不满足三边关系，不能围成三角形，故A不符合题意；
、，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故B不符合题意；
、，，，满足三边关系，且符合铁丝总长，能围成三角形，故C符合题意；
、，不满足三边关系，不能围成三角形，故D不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，逐一验算即可解答.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A计算错误，不符合题意；
B、，故B计算错误，不符合题意；
C、，故C计算错误，不符合题意；
D、，故D计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据同底数幂乘法法则可得，可判断A；根据完全平方公式可得，可判断B；根据同底数幂除法法则可得，可判断C，根据积的乘方法则可得，可判断D；逐一判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不属于最简二次根式，故A不符合题意；
B、属于最简二次根式，故B符合题意；
C、，不属于最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不属于最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；逐一判断即可解答．
5．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得；
故选C．
【分析】设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，建立方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：由图①得在AC上，，
∴是的角平分线；
由图②得在BC上，，AD⊥BC
∴是的高线；
由图③得与B重合，，D是BC的中点
∴是的中线；
∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线．
故选：A．
【分析】
本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线的定义，三角形的一个角的平分线把这个角分成两个相等的角；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高； 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三线合一的性质得到，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解答．
8．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：延长交于点M，
∵，，
∴．
∵，，与交于F，
根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数，解答即可．
9．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
，
∵对应“我”，对应“爱”，对应“惠”，对应“州”，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱惠州”．
故答案为：B．
【分析】
根据因式分解的一般步骤：先提公因式，再用平方差公式因式分解得到，再结合给定的汉字对应关系，匹配出对应的密码信息即可解答．
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；线段的中点；几何图形的面积计算-割补法；线段的比
【解析】【解答】解：设，，，则，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】
设，，，可表示出CF，根据中点的定义得到AE=BE=a，表示出AB=2a，根据矩形的性质得到，， 根据面积的公式用代数式依次表示矩形、、、、的面积，然后根据， 带入计算化简可得，然后求出与的关系，计算可解答．
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 有意义，
∴x-2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
12．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
先计算负整数指数幂、零指数幂，最后计算减法即可解答．
13．【答案】3
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
∵，
∴原式．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般应用：先对原多项式提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解后得到，再整体代值计算即可解答．
14．【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作，垂足为，
由作图可知，是的平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
作，垂足为， 根据角平分线定理可得，再利用三角形的面积公式计算求出解答即可．
15．【答案】
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
∵正方形的面积与长方形相等，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】
先计算长方形的面积为，再根据正方形面积等于长方形的面积为40，再根据40求边长，开方计算即可解答．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，分别作点C关于的对称点E，F，连接，
∴，
∴的周长，
当点共线时，的周长取得最小值，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】分别作点C关于的对称点E，F，连接，分别交于点M，N，根据两点之间线段最短可得当F，M，N，E共线时，的周长最小，根据四边形内角和计算得出，再根据三角形的内角和求出，根据轴对称的性质可得，和三角形内角和定理即可求出．
17．【答案】（1）解：如图，直线即为所求：
（2）14
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）连接，
∵是边的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
【分析】
（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作出线段BC垂直平分线，解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长公式求解即可．
（1）解：如图，直线即为所求：
（2）解：连接，
∵是边的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
18．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】
（1）根据多项式除以单项式的运算法则用多项式的每一项去除以单项式，再把所得的结果相加减，计算求解即可；
（2）根据平方差公式得，再根据平方的意义计算平方，最后计算减法，解答即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边乘以得，
解得
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；解一元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）根据分式的混合运算先计算除法约分后，再计算减法，解答即可；
（2）根据分式方程的解法先方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可解答．
20．【答案】（1）证明：由折叠可得，
∵在长方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴．
∴的度数为．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠性质可得，根据长方形性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据长方形性质可得，根据补角可得∠CEM，再根据折叠性质可得，即可求出答案.
（1）证明：由折叠可得，
∵在长方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵在长方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴．
∴的度数为．
21．【答案】解：任务1：；
任务2：由题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元．
任务3：设每年行驶里程为，
由题意，得
解得．
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】解分式方程；列分式方程；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】
任务1：根据表中的信息，新能源车的每千米行驶费用=，计算即可解答；
任务2：先表示出燃油车的每千米行驶的费用，再表示出新能源车每千米行驶的费用为，再根据 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元，可以列出相应的分式方程，解方程并检验解的合理性，解答即可；
任务3：根据年费用年行驶费用年其他费用，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，再根据 买新能源车的年费用更低列出相应的不等式，计算即可解答．
22．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的定义得到，再根据AAS判定解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，从而判定是等边三角形，再计算线段的和差即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
23．【答案】解：(1)
（2）设，，
由题意可知，，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）∵在等腰直角三角形中，，为的中点，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，，
∴，，
∴，
∴，，
∴为定值．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）由图①可知，大正方形的面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和，
∴等式为：；
故答案为：
【分析】
（1）根据等面积法，先表示出大正方形面积，再分别表示出两个小正方形，两个矩形的面积，然后计算和相等，写出等式即可解答；
（2）设，，根据题干信息表示出，，再通过完全平方公式变形计算可求出，通过割补法将阴影面积转化为和正方形的面积之和减去的面积，根据三角形面积公式代入求值即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到，，从而说明，是等腰直角三角形，同理证明得到，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再判定四边形是矩形，设，，用、的代数式表示出和，求比值即可解答．
24．【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①依据题意，补全图2如下：
②，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）①过点作的垂线段，并延长一倍，得到点，连线画出图形即可解答；
②根据轴对称的性质可得，，结合已知条件得到，再用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，再根据可得，解答即可；
（2）①过点作的垂线段，并延长一倍，得到点，连线画出图形即可解答；
②如图，过点作交的延长线于点，类比（1）的方法利用SAS可证明，根据全等三角形的性质得到，．由等角的余角相等可证明，根据平行线的性质可得，，由此用ASA可推导出，根据全等三角形的性质得到，解答即可．
（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①依据题意，补全图2如下：
②，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即．
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