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广东省潮州市饶平县2025-2026学年八年级上学期数学期末质量检测试题
1．（2026八上·饶平期末）下列图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·饶平期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·饶平期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线
4．（2026八上·饶平期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026八上·饶平期末）若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．
6．（2026八上·饶平期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·饶平期末）如图所示，已知，，，，，且点、、在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法计算
8．（2026八上·饶平期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
9．（2026八上·饶平期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·饶平期末）已知，，，当，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
11．（2026八上·饶平期末）计算：　 　．
12．（2026八上·饶平期末）分解因式：3a3-
12a =　 　.
13．（2026八上·饶平期末）如图， 在中，，， 点B坐标为， 点C坐标为， 则点A的坐标为　 　．
14．（2026八上·饶平期末）若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝　 　．
15．（2026八上·饶平期末）如图，的面积为5，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接．则的面积等于　 　．
16．（2026八上·饶平期末）计算：
17．（2026八上·饶平期末）解分式方程：
18．（2026八上·饶平期末）（1）尺规作图：作的角平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中作的角平分线后，过点D作，交于点E．求证：．
19．（2026八上·饶平期末）已知，，，将它们组合成或的形式，请你先从中选一种组合形式，再化简，最后求值，其中．
20．（2026八上·饶平期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求王老师驾车的平均速度；
（2）据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
21．（2026八上·饶平期末）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．
（1）求证：G为的中点；
（2）连接，求证．
22．（2026八上·饶平期末）【阅读材料】若x满足，求的值．
解：设，．则，．
∴．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足，则的值为 ．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
23．（2026八上·饶平期末）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且．点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接．
（1）的值为______，的度数为______；
（2）如图1，若点C在线段上，求证：；
（3）如图2，当点C在的延长线上时，
①判断的值是否发生改变，请说明理由；
②若平分，与交于点P，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故C符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
3．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图的折叠方式可知，，
∴是的角平分线；
由图的折叠方式可知，，
∵，
∴，
∴，
∴是的高线；
由图的折叠方式可知，，
∴是的中线，
故答案为：．
【分析】
图 ：根据折叠的性质可得， 可判定是的角平分线； 图 ：根据折叠的性质可得，再根据平角的计算可得； 图 ：根据折叠的性质可得，可判定是的中线， 由此可解答.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不符合要求；
B、，错误，故B不符合要求；
C、，正确，故C符合要求；
D、，错误，故D不符合要求；
故答案为：C ．
【分析】
根据同类项的定义可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据同底数幂的乘法法则可判断D；逐一判断即可解答.
5．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，
解得，
∴解得，
故答案为：D．
【分析】
根据分式的值为0的条件：分子为零且分母不为零，列式为， 再根据绝对值的意义得出符合条件的x的值，即可作答．
6．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故A不符合题意；
B、满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，故B符合题意；
C、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故C不符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个因式的积的形式，逐一判断即可解答.
7．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据角度的和差运算可得，再结合已知条件利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，再通过外角的性质计算角度即可解答．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
，
，
，，且，，
故选：C．
【分析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，根据三角形内角和定理可得，根据三角形外角性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
展开得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据题干信息由含C的代数式分别表示出a，b得，然后代入转化为关于c的方程，解方程求解，解答即可．
11．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方，积的乘方即可求出答案.
12．【答案】3a（a - 2）（a +2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a3- 12a =3 .
故答案为： 3a（a - 2）（a +2） .
【分析】先利用提公因式法分解因式，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵点的坐标为，点的坐标是，
∴，，，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，根据垂线的定义得到，根据同角的余角相等得到，再利用证明，根据全等三角形的性质得到，．根据点坐标表示出，，，再计算线段的和得，即可写出点A坐标，解答即可．
14．【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，
∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，
故答案为：2．
【分析】
根据同底数幂的除法的逆应用变形3x﹣y＝3x÷3y，再代值计算即可解答．
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
过点作交的延长线于点，过点作交于点，根据等腰直角三角形的性质得到，再由等角的补角相等得到，即可用AAS证明，根据全等三角形的性质得，根据三角形面积公式计算即可解答．
16．【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差和完全平方公式计算多项式乘多项式，再进行加减运算．
17．【答案】解：方程两边都乘以 ，得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程转化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
18．【答案】（1）解：如图，为所作的角平分线；
（2）证明：如图所示，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图，作的角平分线交于点D，画出图形，解答即可．
（2）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，从而推导出，根据等腰三角形的判定，解答即可．
19．【答案】解：选：
则，
，
，
当时，原式；
选：
则，
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据时间=路程÷速度可得求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可求出答案.
（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
21．【答案】（1）证明：，
，
和为等边三角形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
为的中点；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
在等边和等边中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，根据等边三角形性质可得，则，根据等角对等边可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等角对等边可得，根据线段中点判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（1）证明：，
，
和为等边三角形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
为的中点；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，
在等边和等边中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】解：（1）2；
（2）设，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）设正方形边长为，
∵，，
∴，，
令，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）设，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】
（1）根据阅读材料的方法类比求解：设，，利用完全平方公式构造得到，代值计算求解即可；
（2）根据阅读材料的方法类比求解：设，，利用完全平方公式构造得到，代值计算求解即可；
（3）设正方形边长为，根据已知条件表示出，，令，，表示出，根据长方形的面积=长宽计算得到，结合完全平方公式计算得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积利用面积公式再代值计算求解即可．
23．【答案】（1）1，
（2）证明：过点C作交于点F，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①不变，，
理由如下：如图，作交的延长线于F，
同理（2）可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
故答案为：1，；
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据中点的定义得到，解答即可；
（2）根据平行线的性质得到，，从而推出，进而利用SAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（3）①：类比（2）作交的延长线于F，与（2）类似利用SAS证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
②取的中点H，连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一般可得，再根据角平分线的定义得到，根据①中可得到，，从而推导出，进而求出的值，解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
故答案为：1，；
（2）证明：过点C作交于点F，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①不变，，理由如下：
如图，作交的延长线于F，
同理（2）可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省潮州市饶平县2025-2026学年八年级上学期数学期末质量检测试题
1．（2026八上·饶平期末）下列图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故C符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可解答．
2．（2026八上·饶平期末）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
3．（2026八上·饶平期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图的折叠方式可知，，
∴是的角平分线；
由图的折叠方式可知，，
∵，
∴，
∴，
∴是的高线；
由图的折叠方式可知，，
∴是的中线，
故答案为：．
【分析】
图 ：根据折叠的性质可得， 可判定是的角平分线； 图 ：根据折叠的性质可得，再根据平角的计算可得； 图 ：根据折叠的性质可得，可判定是的中线， 由此可解答.
4．（2026八上·饶平期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不符合要求；
B、，错误，故B不符合要求；
C、，正确，故C符合要求；
D、，错误，故D不符合要求；
故答案为：C ．
【分析】
根据同类项的定义可判断A；根据幂的乘方可判断B；根据同底数幂的乘法法则可判断C；根据同底数幂的乘法法则可判断D；逐一判断即可解答.
5．（2026八上·饶平期末）若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，
解得，
∴解得，
故答案为：D．
【分析】
根据分式的值为0的条件：分子为零且分母不为零，列式为， 再根据绝对值的意义得出符合条件的x的值，即可作答．
6．（2026八上·饶平期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故A不符合题意；
B、满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，故B符合题意；
C、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故C不符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个因式的积的形式，逐一判断即可解答.
7．（2026八上·饶平期末）如图所示，已知，，，，，且点、、在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据角度的和差运算可得，再结合已知条件利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，再通过外角的性质计算角度即可解答．
8．（2026八上·饶平期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
【分析】起吊物体前，设，根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质可得，物体被吊起后，根据角之间的关系可得，由题意可得，再根据三角形外角性质可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2026八上·饶平期末）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
，
，
，，且，，
故选：C．
【分析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，根据三角形内角和定理可得，根据三角形外角性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．（2026八上·饶平期末）已知，，，当，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
展开得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据题干信息由含C的代数式分别表示出a，b得，然后代入转化为关于c的方程，解方程求解，解答即可．
11．（2026八上·饶平期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方，积的乘方即可求出答案.
12．（2026八上·饶平期末）分解因式：3a3-
12a =　 　.
【答案】3a（a - 2）（a +2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a3- 12a =3 .
故答案为： 3a（a - 2）（a +2） .
【分析】先利用提公因式法分解因式，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．（2026八上·饶平期末）如图， 在中，，， 点B坐标为， 点C坐标为， 则点A的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵点的坐标为，点的坐标是，
∴，，，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，根据垂线的定义得到，根据同角的余角相等得到，再利用证明，根据全等三角形的性质得到，．根据点坐标表示出，，，再计算线段的和得，即可写出点A坐标，解答即可．
14．（2026八上·饶平期末）若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝　 　．
【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，
∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，
故答案为：2．
【分析】
根据同底数幂的除法的逆应用变形3x﹣y＝3x÷3y，再代值计算即可解答．
15．（2026八上·饶平期末）如图，的面积为5，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角，连接．则的面积等于　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
过点作交的延长线于点，过点作交于点，根据等腰直角三角形的性质得到，再由等角的补角相等得到，即可用AAS证明，根据全等三角形的性质得，根据三角形面积公式计算即可解答．
16．（2026八上·饶平期末）计算：
【答案】解：原式
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差和完全平方公式计算多项式乘多项式，再进行加减运算．
17．（2026八上·饶平期末）解分式方程：
【答案】解：方程两边都乘以 ，得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程转化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
18．（2026八上·饶平期末）（1）尺规作图：作的角平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中作的角平分线后，过点D作，交于点E．求证：．
【答案】（1）解：如图，为所作的角平分线；
（2）证明：如图所示，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图，作的角平分线交于点D，画出图形，解答即可．
（2）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，从而推导出，根据等腰三角形的判定，解答即可．
19．（2026八上·饶平期末）已知，，，将它们组合成或的形式，请你先从中选一种组合形式，再化简，最后求值，其中．
【答案】解：选：
则，
，
，
当时，原式；
选：
则，
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
20．（2026八上·饶平期末）王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求王老师驾车的平均速度；
（2）据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
【答案】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据时间=路程÷速度可得求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可求出答案.
（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
21．（2026八上·饶平期末）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点．
（1）求证：G为的中点；
（2）连接，求证．
【答案】（1）证明：，
，
和为等边三角形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
为的中点；
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
在等边和等边中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，根据等边三角形性质可得，则，根据等角对等边可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等角对等边可得，根据线段中点判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据等边三角形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（1）证明：，
，
和为等边三角形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
为的中点；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，
在等边和等边中，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．（2026八上·饶平期末）【阅读材料】若x满足，求的值．
解：设，．则，．
∴．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足，则的值为 ．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
【答案】解：（1）2；
（2）设，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）设正方形边长为，
∵，，
∴，，
令，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）设，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2
【分析】
（1）根据阅读材料的方法类比求解：设，，利用完全平方公式构造得到，代值计算求解即可；
（2）根据阅读材料的方法类比求解：设，，利用完全平方公式构造得到，代值计算求解即可；
（3）设正方形边长为，根据已知条件表示出，，令，，表示出，根据长方形的面积=长宽计算得到，结合完全平方公式计算得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积利用面积公式再代值计算求解即可．
23．（2026八上·饶平期末）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且．点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接．
（1）的值为______，的度数为______；
（2）如图1，若点C在线段上，求证：；
（3）如图2，当点C在的延长线上时，
①判断的值是否发生改变，请说明理由；
②若平分，与交于点P，求的值．
【答案】（1）1，
（2）证明：过点C作交于点F，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①不变，，
理由如下：如图，作交的延长线于F，
同理（2）可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
故答案为：1，；
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据中点的定义得到，解答即可；
（2）根据平行线的性质得到，，从而推出，进而利用SAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（3）①：类比（2）作交的延长线于F，与（2）类似利用SAS证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
②取的中点H，连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一般可得，再根据角平分线的定义得到，根据①中可得到，，从而推导出，进而求出的值，解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
故答案为：1，；
（2）证明：过点C作交于点F，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①不变，，理由如下：
如图，作交的延长线于F，
同理（2）可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由①知，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
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