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广东潮州市湘桥区2025~2026学年第一学期期末八年级数学试卷
1．（2026八上·湘桥期末）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·湘桥期末）下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
3．（2026八上·湘桥期末）如图，与交于点O，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·湘桥期末）如图，在，已知点在上，且，则点在（　　）
A．的垂直平分线上 B．的平分线上
C．的中线上 D．的垂直平分线上
5．（2026八上·湘桥期末）计算：（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·湘桥期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·湘桥期末）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2026八上·湘桥期末）若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·湘桥期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026八上·湘桥期末）如图，，，，点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为，当与全等时，t的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
11．（2026八上·湘桥期末）计算：　 　．
12．（2026八上·湘桥期末）因式分解：　 　．
13．（2026八上·湘桥期末）若点与点关于轴对称，则的值为　 　．
14．（2026八上·湘桥期末）如图，一台吊车的局部结构如图所示，如果，那么　 　度．
15．（2026八上·湘桥期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：　 　．
16．（2026八上·湘桥期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　．
17．（2026八上·湘桥期末）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．（2026八上·湘桥期末）化简求值，其中．
19．（2026八上·湘桥期末）如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形．
20．（2026八上·湘桥期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
21．（2026八上·湘桥期末）潮州一商场销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜40元；用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同．
（1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价；
（2）某公司需要从该商场购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1500元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒．
22．（2026八上·湘桥期末）如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
23．（2026八上·湘桥期末）综合与实践
【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为；
【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形；
步骤：沿虚线用剪刀剪开；
步骤：按如图所示拼成一个大正方形．
【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）；
观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ；
【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积．
24．（2026八上·湘桥期末）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°．
（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
B、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故选A．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
故答案为：A．
【分析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，解答即可．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：；
故选B．
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、，第三项不是与乘积的2倍，故A不符合条件；
B、，与符号不同，故B不符合条件；
C、，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件；
D、，符合完全平方公式分解因式的条件，故D符合条件，
故答案为：D．
【分析】
根据完全平方公式分解因式的条件：是一个三项式，含有两个符号相同平方项，另一项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可解答．
7．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个小于1数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，计算即可解答.
8．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为，
则此玻璃的面积为，
故答案为：A．
【分析】
根据玻璃的面积=长宽，列式后用平方差公式计算即可解答．
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时，
∵总工作量为1，
∴的工作效率为，的工作效率为，
合作工作效率为，
合作时间小时完成，
∴，
即，
故选：D．
【分析】设单独处理需x小时，则单独处理需小时，根据工作效率和合作时间建立方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，．
∴与全等分两种情况：
（1）若，
则，
即，
解得：；
（2）若，
则，
即，
解得：.
综上所述，t的值为2或时，与全等.
故答案为：C．
【分析】
根据题意与全等并没有指明对应关系，因而分两种情况讨论：若，根据全等三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；②若根据全等三角形的性质得到，建立方程；计算即可解答．
11．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方去括号，再根据同底数幂的除法即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，
，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．【答案】60
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，
∵，
∴，
故答案为：60．
【分析】
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，计算角度求解即可．
15．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：根据题意可知，△ABC和△DFE是直角三角形，AC与DE分别是两个直角三角形的直角边，因此要直接用“斜边、直角边（）”证明两个三角形全等，需要添加斜边对应相等，即BC=EF，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理即可得出答案.
16．【答案】9
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵为边的中点，
∴.
∴，
∴.
∵垂直平分为线段上的一个动点，
∴.
∵
∴，
∴，
∴周长的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据面积公式列式计算出，根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得再根据点到直线垂线段最短，可得AD即为最小的值，从而求出周长的最小值为9，解答即可
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据单项式乘多项式法则：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加，计算即可解答；
（2）根据完全平方公式=首项的平方-乘积的2倍+尾项的平方，计算即可解答；
（3）根据同分母分式加减法法则：分母不变，只把分子相加减，计算即可解答；
（4）根据分式乘除混合运算：将除法转化为乘法，再约分化简，计算即可解答．
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
18．【答案】解：
=
=
=
当时，原式=．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；分式的除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式运算法则：先变除法为乘法，约分化简后再进行同分母分式的减法运算得到，再把代入计算即可解答．
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵是底边上的高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据等角对等边可得AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据二直线平行，内错角相等可得，由等量代换可得，最后根据等角对等边得，即得结论．
20．【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
21．【答案】（1）解：设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，
根据题意：，
整理得：，即，
解得，，
经检验， 是原方程的解，
∴，
答：甲种茶叶礼盒单价160元，乙种茶叶礼盒单价200元．
（2）解：设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，
根据题意：，
，
，
，
∵为整数，
∴最小值，
答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒．
【知识点】列分式方程；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，根据 800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列分式方程计算并检验解的合理性，解答即可；
（2）设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，根据 总金额不超过1500元 列不等式，计算然后取整数m的最小值即可解答．
（1）解：设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，
根据题意：，
整理得：，即，
解得，，
经检验， 是原方程的解，
∴，
答：甲种茶叶礼盒单价160元，乙种茶叶礼盒单价200元．
（2）解：设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，
，
，
，
，
∵为整数，
∴最小值，
答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒．
22．【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
23．【答案】（）；；
解：（）设，，
∵，
∴，
∵和是等腰直角三角形，且，
∴，，
∵，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：，
故答案为：；
∵图2中大正方形的边长为：，
∴图中大正方形的面积为：，
∵图中阴影部分正方形的边长为：，
∴图中阴影部分正方形的面积为：，
由拼图可知：，
故答案为：；
【分析】（1）①根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长.
②由图可得：大正方形边长为a+b，根据大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积即可求出答案.
（2）设，，则，根据等腰直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得DE，再根据（1）②中等式代值计算可得ab=28，再根据三角形面积即可求出答案.
24．【答案】解：（1）∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（2）如图所示：在AC上截取，可得，即，
∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∵D为CO的中点，
∴BD平分，即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3），理由为：
∵与都为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为的外角，且，
∴，
在中，，
则．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据OB与x轴正半轴夹角为150°，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形，解答即可；
（2）在AC上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系结合角平分线的定义计算可得，再利用SAS证明，即可由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可解答；
（3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质及外角的关系计算可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
1 / 1广东潮州市湘桥区2025~2026学年第一学期期末八年级数学试卷
1．（2026八上·湘桥期末）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形.
2．（2026八上·湘桥期末）下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
B、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
3．（2026八上·湘桥期末）如图，与交于点O，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故选A．
【分析】根据全等三角形性质即可求出答案.
4．（2026八上·湘桥期末）如图，在，已知点在上，且，则点在（　　）
A．的垂直平分线上 B．的平分线上
C．的中线上 D．的垂直平分线上
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴点在的垂直平分线上，
故答案为：A．
【分析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，解答即可．
5．（2026八上·湘桥期末）计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：；
故选B．
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
6．（2026八上·湘桥期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、，第三项不是与乘积的2倍，故A不符合条件；
B、，与符号不同，故B不符合条件；
C、，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件；
D、，符合完全平方公式分解因式的条件，故D符合条件，
故答案为：D．
【分析】
根据完全平方公式分解因式的条件：是一个三项式，含有两个符号相同平方项，另一项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可解答．
7．（2026八上·湘桥期末）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个小于1数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，计算即可解答.
8．（2026八上·湘桥期末）若长方形玻璃的长为，对应的宽为，则此玻璃的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：若长方形玻璃的长为，对应的宽为，
则此玻璃的面积为，
故答案为：A．
【分析】
根据玻璃的面积=长宽，列式后用平方差公式计算即可解答．
9．（2026八上·湘桥期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时，
∵总工作量为1，
∴的工作效率为，的工作效率为，
合作工作效率为，
合作时间小时完成，
∴，
即，
故选：D．
【分析】设单独处理需x小时，则单独处理需小时，根据工作效率和合作时间建立方程即可求出答案.
10．（2026八上·湘桥期末）如图，，，，点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为，当与全等时，t的值是（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，．
∴与全等分两种情况：
（1）若，
则，
即，
解得：；
（2）若，
则，
即，
解得：.
综上所述，t的值为2或时，与全等.
故答案为：C．
【分析】
根据题意与全等并没有指明对应关系，因而分两种情况讨论：若，根据全等三角形的性质得到，建立方程计算即可解答；②若根据全等三角形的性质得到，建立方程；计算即可解答．
11．（2026八上·湘桥期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方去括号，再根据同底数幂的除法即可求出答案.
12．（2026八上·湘桥期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
13．（2026八上·湘桥期末）若点与点关于轴对称，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，
，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
14．（2026八上·湘桥期末）如图，一台吊车的局部结构如图所示，如果，那么　 　度．
【答案】60
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得，
∵，
∴，
故答案为：60．
【分析】
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，计算角度求解即可．
15．（2026八上·湘桥期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：根据题意可知，△ABC和△DFE是直角三角形，AC与DE分别是两个直角三角形的直角边，因此要直接用“斜边、直角边（）”证明两个三角形全等，需要添加斜边对应相等，即BC=EF，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理即可得出答案.
16．（2026八上·湘桥期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为　 　．
【答案】9
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵为边的中点，
∴.
∴，
∴.
∵垂直平分为线段上的一个动点，
∴.
∵
∴，
∴，
∴周长的最小值为9.
故答案为：9.
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据面积公式列式计算出，根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得再根据点到直线垂线段最短，可得AD即为最小的值，从而求出周长的最小值为9，解答即可
17．（2026八上·湘桥期末）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据单项式乘多项式法则：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加，计算即可解答；
（2）根据完全平方公式=首项的平方-乘积的2倍+尾项的平方，计算即可解答；
（3）根据同分母分式加减法法则：分母不变，只把分子相加减，计算即可解答；
（4）根据分式乘除混合运算：将除法转化为乘法，再约分化简，计算即可解答．
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
18．（2026八上·湘桥期末）化简求值，其中．
【答案】解：
=
=
=
当时，原式=．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；分式的除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式运算法则：先变除法为乘法，约分化简后再进行同分母分式的减法运算得到，再把代入计算即可解答．
19．（2026八上·湘桥期末）如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形．
【答案】证明：∵，
∴，
∵是底边上的高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据等角对等边可得AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据二直线平行，内错角相等可得，由等量代换可得，最后根据等角对等边得，即得结论．
20．（2026八上·湘桥期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
21．（2026八上·湘桥期末）潮州一商场销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜40元；用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同．
（1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价；
（2）某公司需要从该商场购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1500元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒．
【答案】（1）解：设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，
根据题意：，
整理得：，即，
解得，，
经检验， 是原方程的解，
∴，
答：甲种茶叶礼盒单价160元，乙种茶叶礼盒单价200元．
（2）解：设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，
根据题意：，
，
，
，
∵为整数，
∴最小值，
答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒．
【知识点】列分式方程；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，根据 800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列分式方程计算并检验解的合理性，解答即可；
（2）设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，根据 总金额不超过1500元 列不等式，计算然后取整数m的最小值即可解答．
（1）解：设甲种茶叶礼盒单价为x元，则乙种茶叶礼盒为元，
根据题意：，
整理得：，即，
解得，，
经检验， 是原方程的解，
∴，
答：甲种茶叶礼盒单价160元，乙种茶叶礼盒单价200元．
（2）解：设购买甲种茶叶礼盒m盒，则购买乙种茶叶礼盒盒，
，
，
，
，
∵为整数，
∴最小值，
答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒．
22．（2026八上·湘桥期末）如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
23．（2026八上·湘桥期末）综合与实践
【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为；
【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形；
步骤：沿虚线用剪刀剪开；
步骤：按如图所示拼成一个大正方形．
【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）；
观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ；
【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积．
【答案】（）；；
解：（）设，，
∵，
∴，
∵和是等腰直角三角形，且，
∴，，
∵，
∴，
由（）可知：，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：，
故答案为：；
∵图2中大正方形的边长为：，
∴图中大正方形的面积为：，
∵图中阴影部分正方形的边长为：，
∴图中阴影部分正方形的面积为：，
由拼图可知：，
故答案为：；
【分析】（1）①根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长.
②由图可得：大正方形边长为a+b，根据大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积即可求出答案.
（2）设，，则，根据等腰直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得DE，再根据（1）②中等式代值计算可得ab=28，再根据三角形面积即可求出答案.
24．（2026八上·湘桥期末）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°．
（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．
【答案】解：（1）∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（2）如图所示：在AC上截取，可得，即，
∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∵D为CO的中点，
∴BD平分，即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3），理由为：
∵与都为等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为的外角，且，
∴，
在中，，
则．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据OB与x轴正半轴夹角为150°，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形，解答即可；
（2）在AC上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系结合角平分线的定义计算可得，再利用SAS证明，即可由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可解答；
（3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质及外角的关系计算可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
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