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2026年贵州省贵阳市中天中学九年级数学竞赛人才途拔试题
客观题（共30分）
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，
1.（GA0诘)己知，2，…，n在1,2,3中取值.若1+2+…+xn=20,
x异+号+…+2路=40，好+号+…+xg=86,则n=▲—·
2.(G1A0诘)若x,y是正整数，则方程2x+5y=1600的解(，)共有
4一组。
3.(73大师)两圆同心，半径为6和3V2,正方形ABCD的边AB,CD为
两圆的弦，则正方形的面积为，▲一·
4.(海尘)如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2√5，以C为圆心，V5为
半径作圆.点P在对角线BD上，直线PE与圆相切于点E,则PA+PE
的最小值为▲一·
图1：第4题图
5.(北境信仰)己知△ABC的三个内角分别为30°，70°，80°，平面内的直线1
经过三角形的一个顶点，将其分成两个小三角形.若这两个小三角形中有
等腰三角形，则满足条件的直线！共有▲条。
6.（海尘)定义x为不超过x的最大整数，例如=3.若方程x=
工-：+2共有5个不相等的实数根，则正整数α的所有可能取值之和为
主观题（共90分）
二、操作题：本大题共1小题，共6分，答题时请填写相应的空位，在答题纸
上抄录原图形，并按题目要求作出所求图形
7.(YX-hueimie)如图所示，AB为圆周的一条直径，C为圆周上一点，使得
∠CAB<90°.
(1)当AB:AC=▲一（写出一个即可）时，可以用一把无刻度的
直尺作出圆心：
(2)在(1)的条件下，用一把无刻度的直尺作出圆心（保留作图痕迹；以下
图示仅供参考，不必在该图上作图)
图2：第7愿图
三、解答题：本大题共8小题，共84分，解答题必须写出完整过程，只写答案
的只得1分.
8.(CAO诘，7分)我们在学习数学时要学握其精华，融会贯通，善于总结.
类似于我们求二次函数的最小值的依据是α(x)+k≥k,在针对不同的函
2
a+b
数求最值时有不同的方法，我们知道不等式一≤“2a.b>0,
+
(1)你能证明此不等式并猪想其一般形式（不用证明）吗？
②用()的结论求32+立的最小值(03
9.(江梨，8分)对于任意质量的49块石头，将其任意分为7堆，随后打乱
再重新分为7堆，定义：在某一堆中该堆石头总重量与某一块石头的重量
的比值为该石头的“权”，求证：
()可以确定至少存在一块石头，其在第二次分堆的“权”不小于第一次的
“权”
(2)无法确定至少存在一块石头，其在第二次分堆的“权”大于第一次的
“权”、
10.(北境信仰，8分)在平面直角坐标系中，点1的坐标为(4,10)，点A是
y轴正半轴上一动点，过A作AB∥：轴，交双曲线y=0于点B,当
△ABM是以BM为腰的等腰三角形时，求点A的坐标.
11.(海尘，12分)如图，在△ABC中，AB=5,ACLBC,AC=2BC.设P
是射线AB上的一点Q是线段PC上的一点，连接QA,QB.
(1)若PA=2且∠AQB=135°，证明Q为PC的中点.
(2)若PC·QC=4,且△AQB为直角三角形，求PA的长，
图3：第11题图
12.(73大师，10分)如图，四边形ABCD为梯形，AC,BD为其对角线，不
平行于AD的直线EH与AB,BD,AC.CD顺次交于E,F,G.H.且满足
BF-P0-GH,求品
13.(73大师，12分)边长为3、4、5的三角形内接于一等腰直角三角形，求
等腰直角三角形而积的最大值
14.(海尘，12分)设函数y=x2+ax+x一+3，若对于任意实数a,函数
,的图像与x轴至多有2个公共点，求b的取值范围

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