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数学学科试题
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将条形码粘贴在答照卡相应位置, 并且把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 答非选择题时, 将答案写在答题卡相应位置上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 只上交答题卡, 试卷不回收.
一、单选题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ,若 ,则 ( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
2. 已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3. 甲、乙等 6 人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排 3 人(如图所示)，其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有( )
A. 144 种 B. 168 种 C. 192 种 D. 216 种
4. 已知双曲线 ,过左焦点 作斜率为 的直线与双曲线的一条渐近线相交于点 ,且 在第一象限,若 ( 为坐标原点),则双曲线 的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5. 若复数 (其中 为虚数单位),则 的共轭复数的虚部是( )
A. 1 B. -1 C. D.
6. 已知 ,直线 与曲线 相切,则 的最小值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 9 D. 8
7. 已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，点 与点 关于直线 对称,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8. 函数 ,若 恒成立，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四 个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 是公差不为 0 的等差数列,前 项和为 ,满足 ,下列选项正确的有( )
A. B.
C. 最小 D.
10. 已知复数 满足 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 设函数 ,则( )
A. B.
C. 曲线 存在对称轴 D. 曲线 存在对称中心
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 将答案填在答题卡相应的
位置上.
12. 展开式的第 4 项的二项式系数是_____. (用数字作答)
13. 已知平面向量 在 方向上的投影向量模长为 ，则 _____.
14. 已知正方体 的棱长为 1,点 在正方体的内切球表面上运动,且满足 平面 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
15. 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表:
喜欢用有缝球 喜欢用无缝球
直拍打法选手 18 30
横拍打法选手 20 12
(1)能否有 95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取 8 名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛. 现从 8 名选手中选 3 人，用 AI 监测他们的比赛数据.
① 求两个赛区都有人被选中的概率；
②用 表示被选 3 人中“喜欢用无缝球”的人数，求 的分布列和期望.
附: ,
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
16. 如图,在平面四边形 中, 在边 上, ,
的面积为 ,记 .
(1)若 ，求线段 的长度；
(2)当 为何值时,线段 的长度最小 求出该最小值.
17. 在四棱锥 中,底面 是矩形且 ,侧面 是正三角形且垂直于底面 是 的中点， 为 的中点，求:
(1)异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)点 到平面 的距离；
(3)二面角 的余弦值.
18. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关,与第 次状态是 “没有任何关系的”. 现有甲、乙两个盒子, 盒子中都有大小、形状、质地相同的 2 个红球和 1 个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换,重复进行 次操作后,记甲盒子中黑球个数为 ,甲盒中恰有 1 个黑球的概率为 ,恰有 2 个黑球的概率为 .
(1)求 的分布列;
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
19. 已知椭圆 的焦距为 2,且过点 .
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作两条斜率存在且不为零的直线 分别交 于 和 ，满足
(i) 证明: 的斜率之和为定值;
(ii) 求四边形 面积的最大值.
1.
略
2. A
解: 当 时, ,其对称轴为 且函数图像开口向上,所以 在 上为增函数,且
当 时, ,其对称轴为 且函数图像开口向下,所以 在 上为增函数,且 ,
所以 在 上为增函数,
因为 ,
所以 ,解得 ,
故选: A
3. C
如图所示,甲坐位置①,乙有 3 种选择,其他人不同坐法有 种,共有 种不同坐法;
甲坐位置②,乙有 2 种选择,其他人不同坐法有 种,共有 种不同坐法; 甲坐位置③，乙有 3 种选择，其他人不同坐法有 种，共有 种不同坐法， 所以不同坐法种数共有 种.
故选:
4.
解法一 由题意可得直线 的方程为 ,双曲线 过第一、三象限的渐近线的方程为 . 由 得 ,所以 . 因为 ,所以 ,整理可得 ,即 ,所以双曲线 的渐近线方程为 ,
解法二 设双曲线 的右焦点为 ,连接 ,因为 ,所以 , 所以 为直角三角形, ,因为直线 的斜率为 ,所以 ,又 ，所以 ，令 ，则 ，由勾股定理得 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,则双曲线 的渐近线方程为 .
解法三 设双曲线的右焦点为 ,连接 ,因为 ,所以 ,所以 为直角三角形， ，即点 在以 为直径的圆上，所以
. 因为直线 的斜率为 ，所以 ，所以
,则双曲线 的渐近线方程为 ,
故选: B.
5.
略
6. D
由 求导得 ,
设切点为 ,则 切点 ,
由切点在切线上得 , .
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 的最小值为 8 .
故选: D.
7. A
依题意, ,设 ,则 ,解得 ,
即 ,点 为 的准线与 轴的交点,
由抛物线的对称性,不妨设点 位于第一象限,作 垂直于 的准线于点 ,
设 ,由抛物线的定义得 ,于是 ,
当直线 与 相切时, 最大, 最小, 取得最小值,此时直线 的斜率为正,
设切线 的方程为 ,由 消去 得 ,
则 ,得 ,直线 的斜率为 1,倾斜角为 ,
于是 ,所以 的最小值为 .
故选: A
8. D
由题设 在 上恒成立,
知 ,此时 在 上都单调递增,
所以只需 在 上的零点相同,
即 ,所以 ,
令 ,则 ,
当 时, ,即 在 上单调递增,
当 时, ,即 在 上单调递减,
所以 ,即 的取值范围是 .
故选: D
9. AB
因为 是等差数列,设公差为 ,
由 ,得 ,即 ,故 A 正确;
又 ,故 B 正确;
当 是单调递增数列, ,
所以当 时 ,当 时 ,所以 或 最小;
当 , 是单调递减数列, ,
所以当 时 ,当 时 ,所以 或 最大,故 错误;
又 ,因为 ,所以 ,故 D 错误.
故选: AB.
10. ABC
设 ,则复数 在复平面内对应点 ,设 ,
则 ,同理 ,
,即点 的轨迹为椭圆,且椭圆长半轴 ,焦半径 , 短半轴 , 点 的轨迹方程为: ,
A 选项: , A 选项正确;
B 选项: 选项正确;
选项: 若 ,即 ,令 ,则 选项正确;
D 选项: ,若 ,则 或 ,当 时, ,此时 ; 当 时, ,此时 , D 选项错误.
故选: ABC.
11. ABC
函数解析式可化为: ,
因为函数 的图象关于直线 对称,且函数 的图象也关于直线 对称,故曲线 也关于直线 对称,选项 正确;
当 时,函数 取得最大值 1,此时 取得最小值 ,
故 ，选项 A 正确；
若 ，则 ，
令 ,则 恒成立,
则 在 上递增,又 ,
所以当 时, ; 当 时, ;
作出 和 的图象如图所示:
由图象可知 成立,即 ,选项 B 正确;
对于 选项,若存在一点 使得 关于点 对称,则 , 通过分析发现 不可能为常数,故选项 错误.
故选: ABC.
12.
略
13.
略
14.
由题意得,正方体内切球的球心为正方体的中心,记为点 ,内切球半径 .
平面 平面 ,
平面 ,同理可得 平面 ,
平面 平面 平面 ,
平面 平面 ,故点 的轨迹是平面 与正方体内切球的交线, 此交线为圆,记圆心为 .
如图,以 为原点建立空间直角坐标系,则 , .
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,故 ,
点 到平面 的距离为 ,
圆 的半径为 ,
由 得, ,
,
的最小值为 .
故答案为: .
15. 略
16. 略
17. 略
18.(1)(1)由题可知， 的可能取值为 0，1，2. 由相互独立事件概率乘法公式可知:
故 的分布列如下表:
0 1 2
2 9 5 9 2 9
(2)由全概率公式可知:
即: ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ,
即: .
(3)由全概率公式可得:
即: ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
19. (1) 由焦距 ,即 ,可知两焦点坐标分别为 ,
则 ,
即 ,
所以 的标准方程为 .
(2)
(i) 设 的坐标分别为 ,设 的方程为 , 联立 ,整理得 , 所以 ,
设 的方程为 ,同理有 ,
所以 ,即 ,
由于 ,所以 ,即 ,所以 的斜率之和为定值 0 .
(ii) 不妨设 的斜率 ,其倾斜角为 ,
则四边形 的面积为 ,
同理得 ,
由 ,得 ,
又 ,
所以 .
设 ,由基本不等式得 ,
当且仅当 等号成立,
设 ,
所以 在区间 上单调递减,
当 时, 取得最大值 ,
所以四边形 的面积最大值为 .
或
设 ,由基本不等式得 ,当且仅当 等号成立,
设 ,
可知 在区间 上单调递增,当 时, 取得最大值 ,
所以四边形 的面积最大值为 .

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