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高三年级第一次模拟考试试题 数学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围: 高考范围.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 ,则在复平面内, 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则 ( )
A. 8 B. C. D.
4. 函数 的图象的一个对称中心可以为( )
A. B. C. D.
5. “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知平面向量 ,若 ,则 与 的夹角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
7. 定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 在一个水平平面 上放一个半径为 2 的球,球面上两点 满足 是球心, 且点 到平面 的距离为 3,则点 到平面 距离的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
10. 有一组样本数据 ,其平均数为 4,方差为 ,中位数为 . 在这组数中,去掉一个最大的数 6 和一个最小的数 2,余下 6 个数据的中位数为 ,方差为 ,极差为 , 则( )
A. B. C. D.
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线 交于 两点, 异于 两点的点 在抛物线 上,则( )
A.
B. 直线 与 的斜率之和为 4
C. 与 面积之比为
D. 过点 作抛物线 的切线分别交直线 于 两点,则点 的横坐标之积为 1
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 的展开式中常数项为_____.
13. 在 中， ， ，其面积为 ，则 _____.
14. 若函数 的最大值为 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效, 从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 的分布列和数学期望.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17. 如图, 分别是圆柱 的上底面,下底面的直径,且 分别是圆 上在 同侧的两点,且 是线段 上一点 (不含端点).
(1)求证: 平面 ；
(2)已知圆柱 的高为 6，表面积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线与 交于 两点. 当 为 的上顶点时, .
(1)求 的方程；
(2)过点 作 的垂线，垂足为 .
(i) 证明: 直线 过定点 ;
(ii) 记 的中点为 的斜率为 的斜率为 ,证明: 是定值.
19. 已知函数 .
(1)若 是 的极值点,求 的值并说明 是极大值点还是极小值点;
(2)若 时, ,求 的取值范围;
(3)对 的定义域内的任意 ，证明:
1. B
已知全集 ,则 .
故选: B
2. A
,则 ,
则其在复平面所对应的点坐标为 ,
则 对应的点位于第一象限.
3. D
因为 ,所以该双曲线的焦点在 轴上,由渐近线方程为 得 ,解得
4. A
令 ,则 ,
则 的对称中心为 ,
当 时,对称中心为 ,故 符合题意,
不存在 ,使得 取到 ,故 BCD 不符合题意.
故选: A
5. D
由 可得 或 ,
由 可得 ,故 或 ,解得 或 ,
因此由 推不出 ,由 也推不出 ,
故“ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件,
故选: D
6. C
因为 ,则 ,则 ,解得 ,
则 ,
则 与 的夹角的余弦值为 .
7. D
因为 是定义在 上的奇函数,则 ,
可得 ,可知 4 是 的一个周期,
又因为当 时， ，则 ， ，
对 ,令 ,可得 ,
令 ,可得 ;
令 ,可得 ;
则 ,
可得 ,所以 .
故选: D.
8. D
法一: 过 作与平面 平行的截面,截面直径为 ,如图,
,取 中点 ,过 作 平行线交球 与 ,
则点 在以 为直径的小圆上,当 在 点时,过 作与 垂直的直径交球 于 , 则 点在以 为直径的大圆运动,当 位于 点时, 到平面 距离最大,
设 ,则 ,
所以 到 距离最大值为 ,
故选: D
法二: 过点 作平面 的垂线为 轴,在平面 内作两条互相垂直的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则球 的方程为 ,
因为点 到 的距离为 3,所以设 的坐标为 ,所以 ,
设 的坐标为 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又由平面向量知识可得 ,
所以 ,又因为 ,
所以 ,所以 ,
两边平方得 ,解得 ,
所以点 到平面 距离的最大值为 ,
故选: D
9. ABD
对于 选项,因为 , 所以 ,故 正确;
对于 选项, ,故 正确;
对于 选项, ,故 错误;
,故 D 正确.
故选: ABD.
10. ACD
对于 ,令 ,原中位数 ,将最大最小去掉后, ,此时中位数 ,所以 . 故 正确.
对于 ,故 错误.
对于 ,因为原数据的平均值为 4,所以 ,去掉 , 新的平均值为 .
又 所以 ,因此 ,故 正确.
对于 ,由上述计算 ,故 正确.
11. ACD
对于 ,因为点 在抛物线上,代入抛物线方程得 .
对于 ,设直线 ,则直线 与 的斜率之和为 联立 得到 ,所以 代入上式得到直线 与 的斜率之和为 2,故 错误.
对于 ,首先证明 ,等价于证明直线 与 的斜率之和为 0,即 所以 ,所以 ,故 正确对于 ,直线 ,设过点 作抛物线 的切线为 ,与抛物线联立 ,得到 ,因为相切,所以 ,即 ,所以 , 所以过点 作抛物线 的切线为 ,联立直线 ,得到 ,同理 ,所以 ,故 正确.
12. -5
二项式 的展开式的通项为
令 ,得 ,所以常数项为 .
因此二项式 的展开式中常数项为 -5 .
故答案为: -5
13.
因为 ,则 ,
又 ,则 ,即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
由余弦定理得到 ,
所以 .
故答案为: .
14. 3
函数 的定义域为 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递减,
因为 ,
所以存在唯一的 ,使得 ,即 ,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
所以 的最大值为 ,
由 ,得 ,
所以 ,
设 ,则 ,
令 ,得 (舍) 或 ,
当 时, ,单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 有最小值 ,
即 的最小值为 3 .
故答案为: 3 .
15. ;
(2) .
(1)设 的公比为 ,由 ,得 ,
由 ,得 ,解得
所以 .
(2) 由 ,得
所以 .
16. (1)零假设为 :治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联.
(2)根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取 名，从效果不明显的患者中抽取 名,
的取值分别为0,1,2,
则 ,
所以 的分布列为
0 1 2
3 4 7
17. (1)证法一:因为 分别是圆 上在 同侧的两点，
且 ，
所以 是等边三角形， ，所以 ，
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 分别是圆柱 的上底面，下底面的直径,且 ,
所以 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 平面 平面 ,
所以平面 平面 ,又 平面 ,所以 平面 ,
证法二: 如图,在线段 上取一点 ,使得 ,
因为 分别是圆 上在 同侧的两点,且 ,
所以 是等边三角形, ,所以 ,
又 ,所以四边形 是平行四边形, ,
因为 分别是圆柱 的上底面，下底面的直径，且 ,
所以 ,
所以 ,四边形 是平行四边形,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ;
(2)解:在圆 中过点 作 ，又 平面 平面 ， 所以 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设圆柱 的底面半径为 ,
因为圆柱 的高为 6,表面积为 ,
所以 ,即 ,
解得 (舍) 或 ,
因为 ,
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得 ,
即 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) 记 的半焦距为 ,由右焦点为 可得: ,而 , 故 ,于是 的方程为 .
(2)
(i) 不妨设 ,
设 ,联立 ,
有 ,可得 ,
即 ,
易知 ,直线 的斜率为 ,
故直线 的方程可表示为 ,
当 时,显然 ,
故
所以直线 过定点 .
而当 斜率为 0 时,直线 就是 轴,也过点 .
综上,直线 过定点 .
(ii) 由 (i) 可得 ,所以 ,
则
,
所以有 ,即 是定值.
19.(1) 的定义域为 ,
因为 是函数 的极值点,所以 ,解得 ,
当 时， ，
因为 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 是 的极大值点.
(2) ，
当 时, ,
时, 时, ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 时, ,不合题意.
当 时,由 得 ,
当 ,即 时, 对 成立,
所以 在 上单调递减,所以 时, 合题意;
当 ,即 时, 对 成立,
所以 在 上单调递增,
所以当 时, ,不合题意.
综上, 的取值范围是 .
(3)因为
所以要证 成立,
只要证 成立,
因为 ,所以只要证 成立,
因为 ,
所以只要证 成立.
记 ,
则 ,对 成立,
所以 在 上单调递减,
当 时, ,所以 ,
取 ,由 知 ,从而 ,
所以 成立,故原不等式成立.

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