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广东省佛山市三水区2024-2025学年下学期中考二模数学试卷　
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025九下·三水期中）实数的倒数是（　　）
A． B． C．3 D．
2．（2025九下·三水期中）截至2025年2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元．数据“120亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·三水期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·三水期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·三水期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的．当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面与玻璃杯的底面互相平行．，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·三水期中）三水西甲广场举办首届“唱响西甲”歌唱比赛，九个评委对同一个参赛选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
7．（2025九下·三水期中）一元一次不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·三水期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·三水期中）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·三水期中）已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025九下·三水期中）因式分解： 　 　．
12．（2025九下·三水期中）若点在直线上，则代数式的值是　 　．
13．（2025九下·三水期中）一元二次方程有一个根是，则这个方程的另一个根是　 　．
14．（2025九下·三水期中）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　 　．
15．（2025九下·三水期中）如图，点O是正六边形对角线上一点，，则阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（一）本大题共3小题，第16题6分，第17、18题各7分，共20分．
16．（2025九下·三水期中）计算：
17．（2025九下·三水期中）如图，是的对角线．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F，垂足为点O．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：．
18．（2025九下·三水期中）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
四、解答题（二）本大题共3小题，第19题8分，第20、21题各10分，共28分．
19．（2025九下·三水期中）DeepSeek的横空出世，引爆了国人对的关注，越来越多的AI软件不断涌现．某校十分重视信息技术与教学的融合，呼吁学生多利用软件辅助学习．宣传一个月后，该校对八年级学生就宣传前后软件辅助学习使用情况进行了一次随机问卷调查．现把一班和二班收集到的数据进行整理，分别得到了统计表和统计图．
宣传前后AI软件辅助学习使用情况统计表（一班）
不同软件使用个数（单位：个） 0 1 2 3 4 合计
宣传前 18 12 10 6 4 m
宣传后 0 5 12 n 13 m
（1）______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）汇总宣传前后两个班软件辅助学习使用个数的数据，回答下列问题：
①本次调查中，宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是______个，宣传后软件辅助学习使用个数的众数是______个；
②请对宣传前后该校学生使用软件辅助学习的情况作出对比分析．
20．（2025九下·三水期中）综合与实践
【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到），图2是该情境建模后的图形．（本题不用解答）
实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同．某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据．请解答下列问题：
（1）如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是，将它往左拉，此时踏板离地面，求秋千链子的长度；
（2）如图4，在（1）的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角为，求秋千踏板在B、D处的高度差．（参考数据：，，，结果精确到）
21．（2025九下·三水期中）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．请用代数推理的方法解决以下问题：
已知二次函数，且．
（1）若该二次函数图象的对称轴是直线，求a与b的数量关系；
（2）在（1）的条件下，若点，在该函数图象上，判断m，n的大小关系并加以证明．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九下·三水期中）如图，是的外接圆，是的直径，，，是半径上一点（不与点重合），连接．把沿翻折得到，与交于点，连接．
（1）如图，当与相切时，求证：是等腰三角形；
（2）如图，当时，求的值；
（3）如图，当点与点重合时，连接，求的长．
23．（2025九下·三水期中）如图，点O是边长为12的正方形对角线的交点，点E是线段上一动点且，把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，，其中与交于点G，与交于点H．
（1）若时， ______；
（2）探究与的关系，并说明理由；
（3）连接，设，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数的倒数是3，
故选：C．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120亿，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故A错误.
B、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各项图形进行判断，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除单项式、积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：在水中平行的光线是平行的，，
，
水面与玻璃杯的底面互相平行，
，
，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：A．
【分析】根据中位数的意义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
即不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为，
此时它恰好在轴的正半轴上，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据点的平移，结合x轴上点的坐标特征即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线与交于点O，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：，，在反比例函数的图象上，
，
解得：，
反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，
，都在反比例函数的图象上，且，
，
故选：C．
【分析】将点A，B坐标代入解析式，建立方程，解方程可得m值，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
12．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】将点代入直线解析式可得，再整体代入代数式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，
∴，
解得：，即另一根为，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
由表可知，共有4种结果， 第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果占1种，
故.
故答案为：.
【分析】根据列表或树状图得出所有等可能的结果，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果数，所需结果数与总结果数的比即为所求概率.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；多边形内角与外角；矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，
六边形是正六边形，
内角度数，，
，
，
，
，
同理可证，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据正六边形性质可得内角度数，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据含30°的直角三角形性质可得FM，AM，根据垂直平分线性质可得AE，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）解：，垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质，垂直平分线性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）解：，垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
18．【答案】解：设甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，
根据题意列方程，得：，
解得：x=100，
经检验：x=100是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x=100，
∴x-20=80（个）
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，根据“ 甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同 ”列出方程求解并检验即可得出答案.
19．【答案】（1）50，30；
（2）解：由条形统计图可知，二班总人数为人，
即宣传后软件使用个数为个的人数为人，
补全条形统计图如下：
（3）①，；②从宣传前后学生软件使用个数的变化情况来看，使用软件的学生以及使用软件的数量都明显增加，宣传活动效果显著．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：50，30；
（3）解：①由题意可知，两班总人数为人，
中位数为第50和51个数据的平均数，
宣传前，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，且，
宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是1个，
宣传后，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，
宣传后软件辅助学习使用个数的众数是个，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意，结合有理数的加减即可求出答案.
（2）根据（1）中数据，补全图象即可.
（3）①根据中位数，众数的定义即可求出答案.
②根据统计图的信息进行分析即可求出答案.
（1）解：，
，
故答案为：50，30；
（2）解：由条形统计图可知，二班总人数为人，
即宣传后软件使用个数为个的人数为人，
补全条形统计图如下：
（3）解：①由题意可知，两班总人数为人，
中位数为第50和51个数据的平均数，
宣传前，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，且，
宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是1个，
宣传后，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，
宣传后软件辅助学习使用个数的众数是个，
故答案为：，；
②从宣传前后学生软件使用个数的变化情况来看，使用软件的学生以及使用软件的数量都明显增加，宣传活动效果显著．
20．【答案】（1）解：如图，过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设秋千链子的长度为，
则，，
在中，，
，
解得：，
即秋千链子的长度为，
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，，
在中，，
，
点离地面高度为，
秋千踏板在B、D处的高度差为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据边之间的关系可得AE，设秋千链子的长度为，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于点，由（1）可知，，解直角三角形即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设秋千链子的长度为，
则，，
在中，，
，
解得：，
即秋千链子的长度为，
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，，
在中，，
，
点离地面高度为，
秋千踏板在B、D处的高度差为．
21．【答案】（1）解：∵该二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：当时，；当时，，证明如下：
由（1）可得，
∴，
∵点，在该函数图象上，
∴，，
∴，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，将点M，N坐标代入解析式可得m，n，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
（1）解：∵该二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：当时，；当时，，证明如下：
由（1）可得，
∴，
∵点，在该函数图象上，
∴，，
∴，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
综上所述，当时，；当时，．
22．【答案】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，即，
∵把沿翻折得到，
∴，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于点，设，，
∵是的外接圆，是的直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把沿翻折得到，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
即的值为；
（3）解：如图，过点作于点，连接交于点，
由（2）知：∴，，
∵点与点重合，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；等积变换
【解析】【分析】（1）根据三角形外接圆性质可得，根据圆周角定理的推论可得，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，根据角之间的关系可得，根据折叠性质可得，即，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，设，，根据勾股定可得AB，根据三角形面积可得CH，再根据折叠性质可得，，，，根据三角形面积求出CF，根据勾股定理可得EF，再根据三角形面积可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点作于点，连接交于点，根据边之间的关系可得，根据折叠性质可得，，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，，根据三角形面积可得BG，再根据勾股定理可得OG，根据三角形中位线定理即可求出答案.
（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，即，
∵把沿翻折得到，
∴，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于点，设，，
∵是的外接圆，是的直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把沿翻折得到，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
即的值为；
（3）如图，过点作于点，连接交于点，
由（2）知：∴，，
∵点与点重合，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
23．【答案】（1）
（2）解：，，理由如下：
如图，作交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交于，作于，于，
，
∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，S的值最大，为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，，则，根据角之间的关系可得∠AOE，∠OEB，∠EOB，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）作交于，根据正方形性质可得，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，再根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，即，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）作交于，作于，于，根据正方形性质可得，，，，则，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DK，根据边之间的关系可得OK，再根据全等三角形性质可得，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，作交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交于，作于，于，
，
∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，S的值最大，为．
1 / 1广东省佛山市三水区2024-2025学年下学期中考二模数学试卷　
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025九下·三水期中）实数的倒数是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数的倒数是3，
故选：C．
【分析】根据倒数的定义即可求出答案.
2．（2025九下·三水期中）截至2025年2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元．数据“120亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120亿，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2025九下·三水期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故A错误.
B、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D、绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各项图形进行判断，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，即可得答案.
4．（2025九下·三水期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除单项式、积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025九下·三水期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的．当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面与玻璃杯的底面互相平行．，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：在水中平行的光线是平行的，，
，
水面与玻璃杯的底面互相平行，
，
，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025九下·三水期中）三水西甲广场举办首届“唱响西甲”歌唱比赛，九个评委对同一个参赛选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量一定不受影响的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：A．
【分析】根据中位数的意义即可求出答案.
7．（2025九下·三水期中）一元一次不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
即不等式组的解集为，
故选：D．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
8．（2025九下·三水期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为，
此时它恰好在轴的正半轴上，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】根据点的平移，结合x轴上点的坐标特征即可求出答案.
9．（2025九下·三水期中）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线与交于点O，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
10．（2025九下·三水期中）已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：，，在反比例函数的图象上，
，
解得：，
反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，
，都在反比例函数的图象上，且，
，
故选：C．
【分析】将点A，B坐标代入解析式，建立方程，解方程可得m值，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025九下·三水期中）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】式子中含有x公因式，所以提取公因式法分解因式可得 。
【分析】直接提取公因式x即可进行因式分解.
12．（2025九下·三水期中）若点在直线上，则代数式的值是　 　．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】将点代入直线解析式可得，再整体代入代数式即可求出答案.
13．（2025九下·三水期中）一元二次方程有一个根是，则这个方程的另一个根是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，
∴，
解得：，即另一根为，
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．（2025九下·三水期中）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
由表可知，共有4种结果， 第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果占1种，
故.
故答案为：.
【分析】根据列表或树状图得出所有等可能的结果，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果数，所需结果数与总结果数的比即为所求概率.
15．（2025九下·三水期中）如图，点O是正六边形对角线上一点，，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；多边形内角与外角；矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，
六边形是正六边形，
内角度数，，
，
，
，
，
同理可证，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，过点作于点，根据正六边形性质可得内角度数，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据含30°的直角三角形性质可得FM，AM，根据垂直平分线性质可得AE，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
三、解答题（一）本大题共3小题，第16题6分，第17、18题各7分，共20分．
16．（2025九下·三水期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025九下·三水期中）如图，是的对角线．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F，垂足为点O．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）解：，垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质，垂直平分线性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：如图，直线即为所求作；
（2）解：，垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
18．（2025九下·三水期中）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】解：设甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，
根据题意列方程，得：，
解得：x=100，
经检验：x=100是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为：x=100，
∴x-20=80（个）
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】甲组平均每小时包个粽子，则乙组平均每小时包（x-20）个粽子，根据“ 甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同 ”列出方程求解并检验即可得出答案.
四、解答题（二）本大题共3小题，第19题8分，第20、21题各10分，共28分．
19．（2025九下·三水期中）DeepSeek的横空出世，引爆了国人对的关注，越来越多的AI软件不断涌现．某校十分重视信息技术与教学的融合，呼吁学生多利用软件辅助学习．宣传一个月后，该校对八年级学生就宣传前后软件辅助学习使用情况进行了一次随机问卷调查．现把一班和二班收集到的数据进行整理，分别得到了统计表和统计图．
宣传前后AI软件辅助学习使用情况统计表（一班）
不同软件使用个数（单位：个） 0 1 2 3 4 合计
宣传前 18 12 10 6 4 m
宣传后 0 5 12 n 13 m
（1）______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）汇总宣传前后两个班软件辅助学习使用个数的数据，回答下列问题：
①本次调查中，宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是______个，宣传后软件辅助学习使用个数的众数是______个；
②请对宣传前后该校学生使用软件辅助学习的情况作出对比分析．
【答案】（1）50，30；
（2）解：由条形统计图可知，二班总人数为人，
即宣传后软件使用个数为个的人数为人，
补全条形统计图如下：
（3）①，；②从宣传前后学生软件使用个数的变化情况来看，使用软件的学生以及使用软件的数量都明显增加，宣传活动效果显著．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：50，30；
（3）解：①由题意可知，两班总人数为人，
中位数为第50和51个数据的平均数，
宣传前，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，且，
宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是1个，
宣传后，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，
宣传后软件辅助学习使用个数的众数是个，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意，结合有理数的加减即可求出答案.
（2）根据（1）中数据，补全图象即可.
（3）①根据中位数，众数的定义即可求出答案.
②根据统计图的信息进行分析即可求出答案.
（1）解：，
，
故答案为：50，30；
（2）解：由条形统计图可知，二班总人数为人，
即宣传后软件使用个数为个的人数为人，
补全条形统计图如下：
（3）解：①由题意可知，两班总人数为人，
中位数为第50和51个数据的平均数，
宣传前，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，且，
宣传前软件辅助学习使用个数的中位数是1个，
宣传后，两班软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，软件使用个数为个的人数为人，
宣传后软件辅助学习使用个数的众数是个，
故答案为：，；
②从宣传前后学生软件使用个数的变化情况来看，使用软件的学生以及使用软件的数量都明显增加，宣传活动效果显著．
20．（2025九下·三水期中）综合与实践
【教材重现】北师大版九年级下册教科书第9页例2：如图1，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到），图2是该情境建模后的图形．（本题不用解答）
实际上，当秋千向两边摆动时，由于受摩擦力等其他因素的影响，两边摆动的角度一定不相同．某兴趣小组去到公园进行实地探究，测量了若干数据．请解答下列问题：
（1）如图3，秋千没摆动时，秋千的踏板离地面是，将它往左拉，此时踏板离地面，求秋千链子的长度；
（2）如图4，在（1）的条件下，释放踏板，测得秋千摆动到右侧时与竖直方向的夹角为，求秋千踏板在B、D处的高度差．（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】（1）解：如图，过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设秋千链子的长度为，
则，，
在中，，
，
解得：，
即秋千链子的长度为，
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，，
在中，，
，
点离地面高度为，
秋千踏板在B、D处的高度差为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据边之间的关系可得AE，设秋千链子的长度为，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于点，由（1）可知，，解直角三角形即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设秋千链子的长度为，
则，，
在中，，
，
解得：，
即秋千链子的长度为，
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可知，，
在中，，
，
点离地面高度为，
秋千踏板在B、D处的高度差为．
21．（2025九下·三水期中）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．请用代数推理的方法解决以下问题：
已知二次函数，且．
（1）若该二次函数图象的对称轴是直线，求a与b的数量关系；
（2）在（1）的条件下，若点，在该函数图象上，判断m，n的大小关系并加以证明．
【答案】（1）解：∵该二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：当时，；当时，，证明如下：
由（1）可得，
∴，
∵点，在该函数图象上，
∴，，
∴，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；整式的大小比较
【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，将点M，N坐标代入解析式可得m，n，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
（1）解：∵该二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：当时，；当时，，证明如下：
由（1）可得，
∴，
∵点，在该函数图象上，
∴，，
∴，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
综上所述，当时，；当时，．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025九下·三水期中）如图，是的外接圆，是的直径，，，是半径上一点（不与点重合），连接．把沿翻折得到，与交于点，连接．
（1）如图，当与相切时，求证：是等腰三角形；
（2）如图，当时，求的值；
（3）如图，当点与点重合时，连接，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，即，
∵把沿翻折得到，
∴，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于点，设，，
∵是的外接圆，是的直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把沿翻折得到，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
即的值为；
（3）解：如图，过点作于点，连接交于点，
由（2）知：∴，，
∵点与点重合，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；等积变换
【解析】【分析】（1）根据三角形外接圆性质可得，根据圆周角定理的推论可得，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，根据角之间的关系可得，根据折叠性质可得，即，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，设，，根据勾股定可得AB，根据三角形面积可得CH，再根据折叠性质可得，，，，根据三角形面积求出CF，根据勾股定理可得EF，再根据三角形面积可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点作于点，连接交于点，根据边之间的关系可得，根据折叠性质可得，，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，，根据三角形面积可得BG，再根据勾股定理可得OG，根据三角形中位线定理即可求出答案.
（1）证明：∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，即，
∵把沿翻折得到，
∴，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于点，设，，
∵是的外接圆，是的直径，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把沿翻折得到，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
即的值为；
（3）如图，过点作于点，连接交于点，
由（2）知：∴，，
∵点与点重合，
∴，
∵把沿翻折得到，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
23．（2025九下·三水期中）如图，点O是边长为12的正方形对角线的交点，点E是线段上一动点且，把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，，其中与交于点G，与交于点H．
（1）若时， ______；
（2）探究与的关系，并说明理由；
（3）连接，设，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值．
【答案】（1）
（2）解：，，理由如下：
如图，作交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交于，作于，于，
，
∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，S的值最大，为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，，则，根据角之间的关系可得∠AOE，∠OEB，∠EOB，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）作交于，根据正方形性质可得，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，再根据旋转性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，即，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）作交于，作于，于，根据正方形性质可得，，，，则，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DK，根据边之间的关系可得OK，再根据全等三角形性质可得，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，作交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交于，作于，于，
，
∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，S的值最大，为．
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