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辽西重点高中 2025~2026 学年度下学期高一开学考试 数学试题
考生注意:
1. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
3. 函数 的零点所在区间为 ,则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 若向量 ，且 ，则实数 的值为( )
A. -2 B. C. 1 D. -2 或 1
5. 已知函数 的定义域为 ,且对 ,则 ( )
A. 3 B. 2
C. D.
6. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、 100 米跑和 200 米跑这四个项目中选择两个项目参加. 设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”,事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”,事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”,事件 “甲、 乙两人均未选择 100 米跑项目”，则( )
A. 与 是对立事件 B. 与 相互独立
C. 与 相互独立 D. 与 不互斥
7. 已知函数 为幂函数,若函数 ,则 的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列关于向量说法,正确的是( )
A. 若 ,则
B. 在 中,若 ,则 与 的面积之比为
C. 两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向
D. 若 ,则存在唯一实数 使得
10. 已知函数 则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 在 上单调递增,则 的值可以为
C. 存在 ,使得 在 上单调递减
D. 若 的值域为 ,则 的取值范围为
11. 为了解某地农村经济情况, 对该地农户家庭年收入进行抽样调查, 将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图, 下面结论中正确的是 ( )
A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比例估计为 6%
B. 估计该地农户家庭年收入的 85% 分位数为 10 万元
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. _____.
13. 若 ，则 的最大值是_____.
14. 若函数 满足在定义域内的某个集合 上， 是一个常数， 则称 在 上具有 性质. 设 为 上具有 性质的偶函数. 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.
15. 已知函数 (其中 为常数) 是定义域为 的偶函数.
(1)求 的解析式，并直接写出 的单调区间和最小值；
(2)解不等式 .
16. 如图，在 中， . 设 .
(1) 用 表示 ；
(2)若 为 内部一点，且 . 求证: 三点共线.
17. 已知华为公司生产 mate 系列的某款手机的年固定成本为 200 万元，每生产 1 只还需另投入 80 元. 设华为公司一年内共生产该款手机 万只并全部销售完,每万只的销售收入为
(x) 万元,且
(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万只)的函数解析式；
( 2 )当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
18. 已知函数 ,函数 .
(1)求 的定义域；
(2)判断 在 上的单调性，并用定义证明；
(3)若 ，使得 成立，求 的取值范围.
19. 定义 .
( 1 )用解析式表示 ，并写出 的定义域:
(2)证明: ;
(3) 设 . 若对任意 ,都存在 ,使得 ,求实数 的取值范围.
1. D
易知集合 ,
则 .
故选: D
2. A
由题意得 ,
所以 ,
故选: A.
3. A
由于 的定义域为 ,且 都为增函数, 故 也为增函数,
且 ,即
因此零点在区间 上,即 .
故选: A
4. D
因为向量 ,且 ,
所以 ,解得 或 1 . 故 错误.
故选: D.
5. A
分别令 和 得到: ,解得: . 故选: A.
6. C
设跳高、跳远、100 米跑和 200 米跑分别为1,2,3,4,则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100 米跑和 200 米跑中选择两个项目参加的情况有:
(1212), (1312), (1412), (2312), (2412), (3412), (1213),
(1313), (1413), (2313), (2413), (3413), (1214), (1314), (1414), (2314),
(2414), (3414), (1223), (1323), (1423), (2323), (2423), (3423), (1224),
(1324), (1424), (2324), (2424), (3424), (1234), (1334), (1434), (2334), (2434),
(3434), 共 36 种,
其中 有 24 种情况, 有 6 种情况, 有 6 种情况, 有 9 种情况,则 ,
由 可得 与 不是对立事件,选项 错误.
与 不相互独立,选项 错误.
与 相互独立,选项 正确.
由 与 不可能同时发生可知 与 互斥,选项 错误.
故选: C.
7. B
因为函数 为幂函数,
所以 ,解得 ,所以 .
因为 ,
由解析式可知 在 上单调递增,
所以 在 上有唯一零点.
故选: B.
8. A
根据题意,函数
设 ,则有 ,解可得 ,
即函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ,即函数 为奇函数, 设 ,则 ,
,在 上为增函数,而 在 上为增函数,
故 在区间 上为增函数,
又 为增函数,所以 在区间 上为增函数,
不等式 即为 ,
也即 ,
所以 ,解得 .
故选: A.
9.
对于 ,当 时,因为零向量与任意向量都平行,所以 成立,而此时 不一定平行,所以 错误,
对于 ,因为 ,所以 ,设 为 的中点,连接 , 则 ,所以 ,所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 3 倍, 所以 与 的面积之比为 ，所以 正确，
对于 ,由 ,得 ,化简得 ,
所以 ,所以 与 的夹角为 ,所以 与 共线且反向,所以 正确,
对于 ,当 时,不存在唯一实数 使得 ,所以 错误.
故选: BC
10. ABD
由题意得 ,得 ,得 , A 正确;
若 在 上单调递增,则 ,得 , B 正确;
若 在 上单调递减,则 ,不等式组无解, 错误;
若 的值域为 ,则 ,得 在 上单调递增.
当 时, 在 上单调递增,则 ,得 ,即 . 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,则 ,得 恒成立,即 .
综上, 的取值范围为 , D 正确.
故选: ABD.
11. ABD
对于 A，由频率分布直方图低于 4.5 万元的农户比例约为 0.02 + ，A 正确;
对于 ,由频率分布直方图知收入超过 10.5 万元的有 ,收入在 9.5~10.5之间的有 0.1=10%. 低于 9.5 万元有 80%，
而因此 85% 分位数 正确;
对于 ,平均值约为 , C 错;
对于 D,家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的有 , D 正确.
故选: ABD.
12.
易知 . 故答案为:
13.
由题设 ,则
当且仅当 ,即 时取等号,故 的最大值是 .
故答案为:
14.
设 ,
则 ,
由题意知, 为偶函数,所以
即 ,所以 ,
则 ,
令 ,因为 ,所以 ,
函数 在 单调递减,在 单调递增,
当 ,当 ,当 ,
所以当 时,函数 的值域为 ,
则当 时,函数 的值域为 ,
令 ,
则关于 的不等式 在 上恒成立,可化为 在
上恒成立,
不等式 可化为 ,
即 在 上恒成立,
函数 和函数 在 上均单调递减,
故函数 在 上单调递减,
则 ,
则 ,即实数 的取值范围是 .
故答案为: .
15. (1) ， 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，最小值是
(2)(1,3).
(1) 因为 是偶函数,所以对 ,都有
即 ,
整理得 ,所以 ,
令 ,则 ,
由 可得 ,所以 ,
则 ,
所以函数 在 上单调递增,
结合奇偶性可得 的单调减区间是 ,单调增区间是 ,
的最小值是 .
(2)因为 是偶函数，且在 是增函数，
所以 等价于 ,
解得: ,
所以不等式的解集是 .
16. (1) ，
(2) ，
又 ,故 ,
故 三点共线.
17. (1)
(2)当年产量为 32 万只时，利润最大，最大利润为 30520 万元
(1)利用利润等于收入减去成本，可得
当 时， ；
当 时, ,
.
(2)当 时， 当 时， ， 当 时， , 当且仅当 ,即 时,“=”成立,此时 取最大值 28800 ,
, 当年产量为 32 万只时,利润最大,最大利润为 30520 万元.
18.(1) 由题意知 ,整理得 , 所以 ,解得 ,即 的定义域为 ;
(2) 在 上单调递增，证明如下:
任取 ,且 ,
则
又 ,所以 ,所以 ,
即 ,所以 在 上单调递增;
(3)若 ，使得 成立，则 .
由(2)知 在 上单调递增，所以 ，
记 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
当 时, ,
则 ,所以 ,所以 或 ,又 ,所以 ;
当 时， ，
则 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ;
综上, 的取值范围为 .
19.(1) 设 .
令 得: ,
,
,解得 或 ,
由于 是开口向上的二次函数 (二次项系数为正),
当 或 时, ,故 ;
当 时, ,故 .
因此, 定义域为 .
(2)证明:情况一:当 时，
等式右边 ;
情况二: 当 时, ,
等式右边 . 综上,等式成立.
(3)依题意知: 在 上的值域是 在 上的值域的子集，
由于 在 上单调递增,值域为 .
因此,只需满足对任意 ,有 .
令 ,
由 (2) 知: ,
要使 对任意 恒成立,
又 对任意 恒成立,
所以只需 对任意 恒成立,
易知: 当 时,不成立;
当 时, ,
故 .

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