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【培优版】湘教版数学八下1.2平行四边形 同步练习
一、选择题
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
2．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
3．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
4．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点 C关于AB，AD 的对称点 G，H，连接 CG，CH，AG，AH，GH.如果AB=30，∠EAF=30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（　　）
A． B．∠GAH=60°
C．GH【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
□ABCD的面积为 ，
，
，
，D不符合题意，
由轴对称的性质可得，
，，，
，，
，
，A符合题意，
，，
，B不符合题意，
，
，C不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由四边形的内角和可得，利用平行四边形的面积公式求得AF，AE的长度即BC、BE的长度，进而得到 CE=，D正确； 由轴对称的性质可得是等边三角形，CG=AD，进而通过SAS判定得到 ∠GAH=60° ，，故A不正确，B正确；利用三角形的三边关系可得，进而判定 GH5．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
6．（2023八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
7．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
8．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（　　）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
二、填空题
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG∥EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠GEB，
∴GB=GE，
∵DE=DF，BG∥EF，
∴DG=DB，GE=BF=GB，
∵∠ABC=60°，AB=3，
∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°.
∴AH=AB=，
∴BH=，
∴DH=AD+AH=5+，
∴RtABDH中， BD==7，
∴GH=DG-DH=7-=，
∴在RtABGH中，.GB=，
∴BF=，
∴DF=BD-BF=7-，
∴ DE=7-，
故答案为：7-.
【分析】通过角平分线和平分线得到等腰三角形GBE，再根据平行四边形的性质，得到∠GAB=60°，借助勾股定理求得AH，BHHD，BD，再求GH，GB，最后根据线段的和差倍关系求得DF的长即DE的长.
10．（2025八下·武侯月考）如图，在平分交于点D，则的长为　 　，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为　 　．
【答案】4；
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1，过C作于O，过D作于H，
在中，
在中，
∵平分
，
在中，
∴可设
，
如图2，过Q作于G，连接交于M，
∵四边形为平行四边形，
在与中，
，
故Q到直线的距离始终为2，
∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3，
最小值为：
故答案为：6，
【分析】利用勾股定理求出CO的值，再根据平行四边形的性质求出，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可.
11．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
12．（2025八下·瑞安期中）如图，在中，AC，BD相交于点，过点作于点．已知BE，EC，CD的长分别为a，b，c。设的对角线AC的长为x，BD的长为。有如下四个条件：①；②；③；④。从中选取两个条件，能确定的值的条件是　 　（填序号），此时的值是　 　。
【答案】①④；122
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴，
∴
∴
则
∴，
选择条件①④，
则，
故答案为：①④，122.
【分析】根据平行四边形的性质得到结合勾股定理得到则，进而选择①和④代入计算即可．
13．（2024八下·白云期末）如图，四边形边上的一动点，以为边作平行四边形，则对角线的长的最小值是　 　．
【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=CQ，PD∥CQ，
∴∠PDC=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∴∠ADC-∠PDC=∠DCH-∠QCD，
即∠ADP=∠HCQ，
∵AD∥BC，AB⊥BC，QH⊥BC，
∴∠A=∠QHC=90°，AB∥QH，
∴△APD≌△HQC（AAS）
∴CH=AD=1，
∴BH=BC+CH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
故答案为：4.
【分析】过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，由平行四边形的性质得PD=CQ，PD∥CQ，由二直线平行，内错角相等及等式性质可推出∠ADP=∠HCQ，从而由AAS判断出△APD≌△HQC，由全等三角形的对应边相等得CH=AD=1，则BH=BC+CH=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥QH，由平行线间的距离定义及垂线段最短可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
14． 如图， 在 中， 是四边形上的一个动点， 则当 为直角三角形时， 的长为　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当∠BPC＝90°时，
①点P在AB边上时，如图1所示：
∵∠B＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝2；
②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，
∴DP＝CD，
∴△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，
∴；
（2）当∠BCP＝90°时，如图3所示：
则∠CPD＝90°，
∵CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠PCD＝30°，
∴PD＝CD＝1，CP＝PD＝，
∴BP＝；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或或．
故答案为：2或或．
【分析】分类讨论：当∠BPC＝90°时，①点P在AB边上时，如图1所示：根据含30°角直角三角形的性质即可算出BP的长；②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：由平行四边形的性质可判断出△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，然后又勾股定理可算出BP的长；当∠BCP＝90°时，如图3所示：根据含30°角直角三角形的性质可得PD、CP，进而再根据勾股定理算出BP的长，综上即可得出答案.
三、解答题
15．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
16．问题：如图，在□ABCD中，点 E，F 在对角线AC上(不与点A，C重合)，连结DE，DF，BE，BF.若 ，求证：四边形DEBF 是平行四边形.
请在①AE=CF，②∠ADE=∠CBF，③DE=BF 中选择一个作为条件，把序号补充在问题的横线上，并完成问题的解答.
【答案】解：①(答案不唯一，也可填②)
若选择①，证明如下：
连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形.
若选择②，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，∴∠DAE=∠BCF.
又∵∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB，
∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①连结BD交AC于点O，根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，即可得到OE=OF，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；选择②根据平行四边形的性质，利用ASA证明△ADE≌△CBF，即可得到DE=BF，DE∥BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
17．（2024八下·海曙期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，线段AE、CF、 OE是否存在一定的数量关系，若存在请说明理由．
【答案】（1）OE＝OF
（2）解：补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图 2，延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点 O 为 AC 的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）解：OE = CF +AE
点 P 在线段 OA 的延长线上运动时，如图 3，延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝ EH＝OE，
∴OE＝CF+CH= CF +AE 即 OE = CF +AE
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF.
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（AAS），可得OE=OF；
（2）根据题意先补图，延长 EO 交 CF 于点 G，证明△AOE≌△COG（ASA）， 可得OE＝OG，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解；
（3）OE = CF +AE，理由：延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，同（2）可证△AOE≌△COH， 可得AE＝CH，OE＝OH， 再根据∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， 可得HF＝ EH＝OE， 再利用线段的和差即可求解.
1 / 1【培优版】湘教版数学八下1.2平行四边形 同步练习
一、选择题
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
2．（2025八下·柳州期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
3．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点 C关于AB，AD 的对称点 G，H，连接 CG，CH，AG，AH，GH.如果AB=30，∠EAF=30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（　　）
A． B．∠GAH=60°
C．GH5．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．（2023八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
7．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点P为BC边上任意一点，连接PA，将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（　　）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为　 　．
10．（2025八下·武侯月考）如图，在平分交于点D，则的长为　 　，若P为直线上一动点，以为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为　 　．
11．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
12．（2025八下·瑞安期中）如图，在中，AC，BD相交于点，过点作于点．已知BE，EC，CD的长分别为a，b，c。设的对角线AC的长为x，BD的长为。有如下四个条件：①；②；③；④。从中选取两个条件，能确定的值的条件是　 　（填序号），此时的值是　 　。
13．（2024八下·白云期末）如图，四边形边上的一动点，以为边作平行四边形，则对角线的长的最小值是　 　．
14． 如图， 在 中， 是四边形上的一个动点， 则当 为直角三角形时， 的长为　 　
三、解答题
15．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
16．问题：如图，在□ABCD中，点 E，F 在对角线AC上(不与点A，C重合)，连结DE，DF，BE，BF.若 ，求证：四边形DEBF 是平行四边形.
请在①AE=CF，②∠ADE=∠CBF，③DE=BF 中选择一个作为条件，把序号补充在问题的横线上，并完成问题的解答.
17．（2024八下·海曙期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是　 　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，线段AE、CF、 OE是否存在一定的数量关系，若存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DH，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
□ABCD的面积为 ，
，
，
，D不符合题意，
由轴对称的性质可得，
，，，
，，
，
，A符合题意，
，，
，B不符合题意，
，
，C不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由四边形的内角和可得，利用平行四边形的面积公式求得AF，AE的长度即BC、BE的长度，进而得到 CE=，D正确； 由轴对称的性质可得是等边三角形，CG=AD，进而通过SAS判定得到 ∠GAH=60° ，，故A不正确，B正确；利用三角形的三边关系可得，进而判定 GH5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，令AC与PQ的交点为O
∵PA沿BC方向平移至CQ
∴AP平行且等于CQ
∴四边形APQC为平行四边形
∴PO=OQ=PQ，AO=OC=AC
当PQ取得最小值时，PO也取最小值
∵P为BC上的动点
∴当OP⊥BC时，此时OP最短，即PQ最短
作OP1⊥BC于P1，OQ1⊥AQ于Q1
此时Q1P1即为Rt△ABC斜边BC上的高
在Rt△ABC中，AC==4
根据三角形面积公式
∴=
∴=
∵OC=AC=2
∴在Rt△OP1C中
P1C==
∴BP1=BC-P1C=
故答案为：C.
【分析】 首先需明确PA沿BC方向平移至CQ形成平行四边形，进而利用平行四边形对边平行且相等的性质，将PQ的最小值转化为点P到AQ的最短距离问题，再结合垂线段最短的几何原理确定点P的位置，最后通过勾股定理计算BP长度.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG∥EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠GEB，
∴GB=GE，
∵DE=DF，BG∥EF，
∴DG=DB，GE=BF=GB，
∵∠ABC=60°，AB=3，
∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°.
∴AH=AB=，
∴BH=，
∴DH=AD+AH=5+，
∴RtABDH中， BD==7，
∴GH=DG-DH=7-=，
∴在RtABGH中，.GB=，
∴BF=，
∴DF=BD-BF=7-，
∴ DE=7-，
故答案为：7-.
【分析】通过角平分线和平分线得到等腰三角形GBE，再根据平行四边形的性质，得到∠GAB=60°，借助勾股定理求得AH，BHHD，BD，再求GH，GB，最后根据线段的和差倍关系求得DF的长即DE的长.
10．【答案】4；
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1，过C作于O，过D作于H，
在中，
在中，
∵平分
，
在中，
∴可设
，
如图2，过Q作于G，连接交于M，
∵四边形为平行四边形，
在与中，
，
故Q到直线的距离始终为2，
∴Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，时，此时最小，如图3，
最小值为：
故答案为：6，
【分析】利用勾股定理求出CO的值，再根据平行四边形的性质求出，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
12．【答案】①④；122
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴，
∴
∴
则
∴，
选择条件①④，
则，
故答案为：①④，122.
【分析】根据平行四边形的性质得到结合勾股定理得到则，进而选择①和④代入计算即可．
13．【答案】4
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD=CQ，PD∥CQ，
∴∠PDC=∠QCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，
∴∠ADC-∠PDC=∠DCH-∠QCD，
即∠ADP=∠HCQ，
∵AD∥BC，AB⊥BC，QH⊥BC，
∴∠A=∠QHC=90°，AB∥QH，
∴△APD≌△HQC（AAS）
∴CH=AD=1，
∴BH=BC+CH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
故答案为：4.
【分析】过点Q作QH⊥BC的延长线于点H，由平行四边形的性质得PD=CQ，PD∥CQ，由二直线平行，内错角相等及等式性质可推出∠ADP=∠HCQ，从而由AAS判断出△APD≌△HQC，由全等三角形的对应边相等得CH=AD=1，则BH=BC+CH=4，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥QH，由平行线间的距离定义及垂线段最短可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小为4.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当∠BPC＝90°时，
①点P在AB边上时，如图1所示：
∵∠B＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝2；
②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，
∴DP＝CD，
∴△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，
∴；
（2）当∠BCP＝90°时，如图3所示：
则∠CPD＝90°，
∵CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠PCD＝30°，
∴PD＝CD＝1，CP＝PD＝，
∴BP＝；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或或．
故答案为：2或或．
【分析】分类讨论：当∠BPC＝90°时，①点P在AB边上时，如图1所示：根据含30°角直角三角形的性质即可算出BP的长；②点P在边AD上，AP＝DP＝2时，如图2所示：由平行四边形的性质可判断出△PCD是等边三角形，PC＝CD＝2，然后又勾股定理可算出BP的长；当∠BCP＝90°时，如图3所示：根据含30°角直角三角形的性质可得PD、CP，进而再根据勾股定理算出BP的长，综上即可得出答案.
15．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
16．【答案】解：①(答案不唯一，也可填②)
若选择①，证明如下：
连结BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形.
若选择②，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，∴∠DAE=∠BCF.
又∵∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB，
∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】选择①连结BD交AC于点O，根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，即可得到OE=OF，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；选择②根据平行四边形的性质，利用ASA证明△ADE≌△CBF，即可得到DE=BF，DE∥BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
17．【答案】（1）OE＝OF
（2）解：补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：
如图 2，延长 EO 交 CF 于点 G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点 O 为 AC 的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）解：OE = CF +AE
点 P 在线段 OA 的延长线上运动时，如图 3，延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝ EH＝OE，
∴OE＝CF+CH= CF +AE 即 OE = CF +AE
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
故答案为：OE=OF.
【分析】（1）证明△AOE≌△COF（AAS），可得OE=OF；
（2）根据题意先补图，延长 EO 交 CF 于点 G，证明△AOE≌△COG（ASA）， 可得OE＝OG，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解；
（3）OE = CF +AE，理由：延长 EO 交 FC 的延长线于点 H，同（2）可证△AOE≌△COH， 可得AE＝CH，OE＝OH， 再根据∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， 可得HF＝ EH＝OE， 再利用线段的和差即可求解.
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