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广东省清远市清新区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·清新期末）计算：（　　）
A． B．6 C． D．5
2．（2026九上·清新期末）下列是一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·清新期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
4．（2026九上·清新期末）如图所示几何体的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026九上·清新期末）如图，直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026九上·清新期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
7．（2026九上·清新期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如下，符合这一试验结果的可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
C．从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数
8．（2026九上·清新期末）为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026九上·清新期末）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·清新期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
11．（2026九上·清新期末）计算：　 　．
12．（2026九上·清新期末）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为　 　
13．（2026九上·清新期末）若，则　 　．
14．（2026九上·清新期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长　 　．
15．（2026九上·清新期末）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为　 　．
16．（2026九上·清新期末）解方程： ．
17．（2026九上·清新期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求的度数．
18．（2026九上·清新期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2026九上·清新期末）每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有_______人，并补全条形统计图．
（2）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数．
（3）测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
20．（2026九上·清新期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数以及反比例函数的表达式．
（2）直接写出：不等式的解集．
（3）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，求五边形的面积．
21．（2026九上·清新期末）综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
22．（2026九上·清新期末）关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边长分别为，则，其中，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中和的角平分线交于点，试利用阅读材料中的信息，求的面积．
23．（2026九上·清新期末）如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．（提示：作于）
（3）在解决问题（2）时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决以下问题：
如图3，在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘法运算法则（①同号两数相乘结果为正；②异号两数相乘结果为负；③任何数与0相乘都为0）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或，
∴方程的解为．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心投影的定义求解即可。
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示几何体的左视图为
，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A选项正确，符合题意；
不相等，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补的性质分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据图示，频率在之间，稳定在左右，
A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合题意；
B、抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意；
C、从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意；
D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】结合频率折线统计图中的数据可得频率在之间，稳定在左右，再利用频率估算概率的计算方法分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程得，
故答案为：D．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，利用“ 第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩 ”列出方程即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，
，
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）可得，再求解即可.
10．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；正切的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
设，，
由折叠的性质得，，，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交轴于点G，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵在第四象限，则，，
∴，即
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴过点的反比例函数关系式为，
故答案为：A．
【分析】设，，利用勾股定理可得，求出x的值，再求出，
过点D作轴交轴于点G，设，则，可得，即，再利用勾股定理求出m的值，最后求出，从而得解.
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案为：3．
【分析】根据0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为.
故答案为：．
【分析】根据相似多边形的性质结合题意得到两个相似多边形的相似比为，从而即可得到周长比。
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解∶，
故答案为∶．
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
14．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接，如下图：
由反比例函数系数的几何意义，
，
∵轴，
∴，
∴与等底等高，面积相等，
，
故答案为：．
【分析】连接AO，利用反比例函数几何意义可得，再结合与等底等高，面积相等，最后求出即可.
16．【答案】解： ，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法解一元二次方程，一般先考虑分解因式法和直接开平方法。
17．【答案】（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点，
（2）解：由（1）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出图形即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，再求出，最后利用内角和求出∠BAD的度数即可.
（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点，
（2）解：由（1）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将m的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：200，
∵总人数为200，
∴D类的人数为：（人），
补全图形如下，
（2）解：（人），
∴该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人.
（3）解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
女 男1 男2 男3
女
（女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （男1，女）
（男1，男2） （男1，男3）
男2 （男2，女） （男2，男1）
（男2，男3）
男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2）
∴共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以3000可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：（人），
∴D类的人数为：（人），
补全图形如下，
（2）解：（人），
∴该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人；
（3）解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
女 男1 男2 男3
女
（女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （男1，女）
（男1，男2） （男1，男3）
男2 （男2，女） （男2，男1）
（男2，男3）
男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2）
∴共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
20．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
∴把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
即，
把，代入，
得，
解得，
∴，
（2）或
（3）解：由（1）得，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
则五边形的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由（1）得，，，，
∵与反比例函数的图象交于两点．
观察函数图象，得当不等式时，则或，
故答案为：或.
【分析】（1）将点C的坐标代入求出k的值，再求出点D的坐标，最后将点C、D的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，可得再利用割补法求出五边形的面积即可.
（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
∴把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
即，
把，代入，
得，
解得，
∴，
（2）解：由（1）得，，，，
∵与反比例函数的图象交于两点．
观察函数图象，得当不等式时，则或；
（3）解：由（1）得，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
则五边形的面积
．
21．【答案】解：（1），
（2）符合要求，理由如下，
，
整理得，，
解得，，，
∵道路宽度不超过14米，且不小于7米，
∴，即道路设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，
∴，
整理得，，
解得，，，
∵让客户得到实惠，
∴每平方米草莓的月利润应该下调48元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形利用线段的和差求出长和宽即可；
（2）利用长方形的面积列出方程求解即可；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，利用“总利润=总售价-总进价”列出方程求解即可.
22．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，.
（2）解：∵是等腰三角形，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得，，
∴关于x的一元二次方程为，
解得，，
∴这个三角形的周长为.
（3）解：根据题意，结合（2）得到，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴如图所示，过点作，垂足分别为，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）求出m的值，可得方程，求出x的值，最后求出三角形的周长即可；
（3）过点作，垂足分别为，利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出IE的长，最后求出的面积即可.
（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，；
（2）解：∵是等腰三角形，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得，，
∴关于x的一元二次方程为，
解得，，
∴这个三角形的周长为；
（3）解：根据题意，结合（2）得到，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴如图所示，过点作，垂足分别为，
∴，
∴，
解得，，
∴．
23．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
理由如下：∵，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形.
（2）解：，
理由如下：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：如图， 过点作，使，连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点三点共线时，取得最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）先证出四边形是矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（2）过点作于点，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再结合，可得，最后利用等量代换可得；
（3） 过点作，使，连接，，先证出，利用相似三角形的性质的，，再证出，利用相似三角形的性质可得，求出，再证出当点三点共线时，取得最大值为，最后求出的最大值为即可．
（1）解：∵四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图， 过点作，使，连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点三点共线时，取得最大值为，
∴的最大值为．
1 / 1广东省清远市清新区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·清新期末）计算：（　　）
A． B．6 C． D．5
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘法运算法则（①同号两数相乘结果为正；②异号两数相乘结果为负；③任何数与0相乘都为0）分析求解即可.
2．（2026九上·清新期末）下列是一元二次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
即或，
∴方程的解为．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
3．（2026九上·清新期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　）
A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心投影的定义求解即可。
4．（2026九上·清新期末）如图所示几何体的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示几何体的左视图为
，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
5．（2026九上·清新期末）如图，直线，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，故A选项正确，符合题意；
不相等，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行，同位角相等、内错角相等和同旁内角互补的性质分析求解即可.
6．（2026九上·清新期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②拥有矩形所有的性质；③拥有菱形所有的性质）和矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
7．（2026九上·清新期末）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如下，符合这一试验结果的可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
C．从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据图示，频率在之间，稳定在左右，
A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，不符合题意；
B、抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意；
C、从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，符合题意；
D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】结合频率折线统计图中的数据可得频率在之间，稳定在左右，再利用频率估算概率的计算方法分析求解即可.
8．（2026九上·清新期末）为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程得，
故答案为：D．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，利用“ 第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩 ”列出方程即可.
9．（2026九上·清新期末）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，
，
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）可得，再求解即可.
10．（2026九上·清新期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边与轴重合，边与轴重合，点的坐标为，将矩形折叠，使点恰好落在原点处，点落在点处，折痕为，则图象过点的反比例函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；正切的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
设，，
由折叠的性质得，，，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交轴于点G，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵在第四象限，则，，
∴，即
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴过点的反比例函数关系式为，
故答案为：A．
【分析】设，，利用勾股定理可得，求出x的值，再求出，
过点D作轴交轴于点G，设，则，可得，即，再利用勾股定理求出m的值，最后求出，从而得解.
11．（2026九上·清新期末）计算：　 　．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式＝，
故答案为：3．
【分析】根据0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．（2026九上·清新期末）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为　 　
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积比为，
∴两个相似多边形的相似比为，
∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为.
故答案为：．
【分析】根据相似多边形的性质结合题意得到两个相似多边形的相似比为，从而即可得到周长比。
13．（2026九上·清新期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解∶，
故答案为∶．
【分析】先求出，再将其代入计算即可.
14．（2026九上·清新期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长　 　．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
15．（2026九上·清新期末）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接，如下图：
由反比例函数系数的几何意义，
，
∵轴，
∴，
∴与等底等高，面积相等，
，
故答案为：．
【分析】连接AO，利用反比例函数几何意义可得，再结合与等底等高，面积相等，最后求出即可.
16．（2026九上·清新期末）解方程： ．
【答案】解： ，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法解一元二次方程，一般先考虑分解因式法和直接开平方法。
17．（2026九上·清新期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点，
（2）解：由（1）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出图形即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角的性质可得，再求出，最后利用内角和求出∠BAD的度数即可.
（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点，
（2）解：由（1）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（2026九上·清新期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将m的值代入计算即可.
19．（2026九上·清新期末）每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
（1）接受测评的学生共有_______人，并补全条形统计图．
（2）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数．
（3）测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）解：200，
∵总人数为200，
∴D类的人数为：（人），
补全图形如下，
（2）解：（人），
∴该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人.
（3）解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
女 男1 男2 男3
女
（女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （男1，女）
（男1，男2） （男1，男3）
男2 （男2，女） （男2，男1）
（男2，男3）
男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2）
∴共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
故答案为：200.
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以3000可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：（人），
∴D类的人数为：（人），
补全图形如下，
（2）解：（人），
∴该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人；
（3）解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
女 男1 男2 男3
女
（女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （男1，女）
（男1，男2） （男1，男3）
男2 （男2，女） （男2，男1）
（男2，男3）
男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2）
∴共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
20．（2026九上·清新期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数以及反比例函数的表达式．
（2）直接写出：不等式的解集．
（3）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，求五边形的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
∴把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
即，
把，代入，
得，
解得，
∴，
（2）或
（3）解：由（1）得，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
则五边形的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：由（1）得，，，，
∵与反比例函数的图象交于两点．
观察函数图象，得当不等式时，则或，
故答案为：或.
【分析】（1）将点C的坐标代入求出k的值，再求出点D的坐标，最后将点C、D的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，可得再利用割补法求出五边形的面积即可.
（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点．
∴把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
即，
把，代入，
得，
解得，
∴，
（2）解：由（1）得，，，，
∵与反比例函数的图象交于两点．
观察函数图象，得当不等式时，则或；
（3）解：由（1）得，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
则五边形的面积
．
21．（2026九上·清新期末）综合与实践：
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．
素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．
问题解决
问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）
问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．
问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）
【答案】解：（1），
（2）符合要求，理由如下，
，
整理得，，
解得，，，
∵道路宽度不超过14米，且不小于7米，
∴，即道路设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，
∴，
整理得，，
解得，，，
∵让客户得到实惠，
∴每平方米草莓的月利润应该下调48元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形利用线段的和差求出长和宽即可；
（2）利用长方形的面积列出方程求解即可；
（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，利用“总利润=总售价-总进价”列出方程求解即可.
22．（2026九上·清新期末）关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若三边长分别为，则，其中，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中和的角平分线交于点，试利用阅读材料中的信息，求的面积．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，.
（2）解：∵是等腰三角形，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得，，
∴关于x的一元二次方程为，
解得，，
∴这个三角形的周长为.
（3）解：根据题意，结合（2）得到，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴如图所示，过点作，垂足分别为，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）先利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）求出m的值，可得方程，求出x的值，最后求出三角形的周长即可；
（3）过点作，垂足分别为，利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出IE的长，最后求出的面积即可.
（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，；
（2）解：∵是等腰三角形，恰好是另外两边的边长，
∴，
∴，
解得，，
∴关于x的一元二次方程为，
解得，，
∴这个三角形的周长为；
（3）解：根据题意，结合（2）得到，
∴，
∵和的角平分线交于点，
∴如图所示，过点作，垂足分别为，
∴，
∴，
解得，，
∴．
23．（2026九上·清新期末）如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．（提示：作于）
（3）在解决问题（2）时，我们是通过构造全等三角形解决了问题，请你类比以上解法，通过构造三角形相似，解决以下问题：
如图3，在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
理由如下：∵，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形.
（2）解：，
理由如下：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：如图， 过点作，使，连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点三点共线时，取得最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）先证出四边形是矩形，再结合，即可证出四边形是正方形；
（2）过点作于点，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再结合，可得，最后利用等量代换可得；
（3） 过点作，使，连接，，先证出，利用相似三角形的性质的，，再证出，利用相似三角形的性质可得，求出，再证出当点三点共线时，取得最大值为，最后求出的最大值为即可．
（1）解：∵四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图， 过点作，使，连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点三点共线时，取得最大值为，
∴的最大值为．
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