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(共28张PPT)
第21章 二次四边形
21.1.1四边形及其内角和
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
类比三角形，理解四边形的定义、相关概念及符号表示；
探索并证明四边形的内角、外角的性质，发展推理能力，
02
新知导入
现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂.
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形. 本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形.
03
新知讲解
观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形.
什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
问题1：
问题2：
03
新知讲解
【思考】 比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名四边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.
四边形用表示它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
03
新知讲解
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，
每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”.
A
B
C
D
03
新知讲解
A
A
B
C
D
B
C
D
如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
凸四边形
这两个四边形有什么不同？
四边形 ABCD 都在
直线 CD 的同一侧，
也都在直线 AB，
BC，AD 的同一侧.
四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧.
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
03
新知讲解
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形.
A
D
C
B
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
03
新知讲解
A
B
C
D
内角
请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 A，C 处的内角和外角.
03
新知讲解
思考
我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°．那么， 任意一个四边形的内角和是多少度？
180°
360°
03
新知讲解
思考
四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________
A
B
C
D
1
2
3
4
如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
四边形
三角形
转化
△ABC 的内角：
△ACD 的内角：
∠1、∠B、∠3
∠2、∠D、∠4
△ABC 的内角和
△ACD 的内角和
03
新知讲解
A
B
C
D
1
2
3
4
在△ABC 中，由三角形内角和定理，得
∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°.
∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180° = 360°.
证 明
由此可得
四边形的内角和等于 360°
03
新知讲解
例1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和.
03
新知讲解
例1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
解：如图.
∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB+∠1=180°.
同理∠ABC+∠2=180°，
∠BCD+∠3=180°，
∠CDA+∠4=180°.
03
新知讲解
例1
如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和．四边形的外角和等于多少？
A
C
B
D
2
1
3
4
∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°.
而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
四边形的外角和等于 360°
03
新知讲解
探究
如图（１），在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（２），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它， 这时木架的形状还会改变吗？为什么？
图 （1） 图（2）
不会
会
03
新知讲解
探究
可以发现，四边形木架的形状会改变．因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性．而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变．
图 （1） 图（2）
03
新知讲解
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等.
04
课堂练习
基础题
1.下列图形中是四边形的是(　　)
B
2.在四边形ABCD中，已知∠A＝85°，∠B＝95°，∠C＝75°，则∠D的度数是(　　)
A．85° B．95° C．105° D．115°
C
04
课堂练习
基础题
3.如图，BD是四边形ABCD的对角线，且四边形ABCD的内角和为α，△ABD与△BCD的内角和相加为β，则(　　)
A．α＞β　　　　B．α＝β
C．α＜β　　　　D．无法比较α，β的大小关系
B
4.如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝240°，那么∠4的度数为(　　)
A．120° B．130°
C．140° D．150°
A
04
课堂练习
提升题
1.下列图形中具有不稳定性的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
2.如图，一个顶角为40°的三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝(　　)
A．140° B．180°
C．220° D．240°
C
04
课堂练习
拓展题
（新考法·新定义题）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”.
（1） 如图①，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝60°，∠D＝80°，则∠C的度数为 　140°　；
140°　
04
课堂练习
拓展题
（2） 如图②，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，D，E分别是AB，AC边上的点，∠ADE＝50°，试判断四边形DBCE是否是“等对角四边形”，并说明理由.
解：四边形DBCE是“等对角四边形”　理由：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，∴ ∠C＝180°－∠A－∠B＝50°.∵ ∠ADE＝50°，∴ ∠AED＝90°，∠BDE＝130°.∴ ∠DEC＝∠AED＝90°.∴ ∠DEC＝∠B，且∠BDE≠∠C.
∴ 四边形DBCE是“等对角四边形”.
05
课堂小结
四边形
定义
前提条件是在一个平面内
内角和定理
不稳定性
应用
四边形的内角和等于360°
外角和定理
四边形的外角和等于360°
06
板书设计
21.1.1四边形及其内角和
1.四边形的定义及相关概念：
2.四边形的内角和：
3.四边形的外角和：
4.四边形的不稳定性：
Thanks!
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