资源简介

【提升版】湘教版数学八下1.4三角形的中位线定理 同步练习
一、选择题
1．（2025八下·天台期末） 如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，若的周长为6，则的周长为（　　）
A．3 B．12 C．18 D．24
2．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
3．（2025八下·舟山期末） 如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
4．（2024八下·昆明期中）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
5．（2025八下·深圳期末） 如图， 在平行四边形ABCD中， 点P是BC边上的动点， 连接AP， DP， E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点的运动的过程中，EF的长度(　　)
A．保持不变 B．逐渐增大
C．先增大再减小 D．先减小再增大
6．（2025八下·茂名期末）如图，在□ABCD中，AD=6，E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025八下·嵊州期末） 如图，平行四边形中，，，是对角线的中点，点在边上，连结，若的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算的长度，只需要知道（　　）
A．平行四边形的周长 B．边的长
C．边的长 D．边的长
8．（2024八下·南明月考）如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（　　）
A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米
9．（2025七下·深圳期末） 如图，的各边中点分别为D，E，F，AD与EF相交于点O，将三角形分为四个部分，面积分别为，，，，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法确定
二、填空题
10．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
11．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是　 　．
12．（2024八下·海原期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于　 　米．
13．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
14．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为　 　.
15．（2025八下·东阳期末） 如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E，已知AB＝8，AC＝14，则DE的长为　 　 ．
三、解答题
16．（2025八下·杭州期中）如图，在△ABC中，点是边BC的中点，点F，G在边AB上，交CG于E，．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若，求BF的长．
17．（2024八下·东兴期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点M、N、P分别是CD、AB及BD的中点
（1）求证：
（2）如图，分别将延长，与的延长线交于点与的延长线交于点，求证：
18． 如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3个命题：
Ⅰ.若D是AB 的中点， 则E 是AC 的中点；
Ⅱ.若 则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB 的中点，DE∥BC，则E是AC 的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图②中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点 E，从而直观判断E不一定是AC 的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图②中，作边 BC的垂直平分线，交 BC 于点M；
②在图②中，以点 D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC 交于点E 和点.E'.
请你在图②中完成以上作图.
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图①进行证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E是AB、BC的中点
∴AC=2DE
同理可得BC=2DF，AB=2EF
∵
∴
故答案为： B.
【分析】直接根据中位线的性质知AB、AC、BC与EF、DE、DF的数量关系，可得△ABC的周长.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，点F是BD的中点，，
则BD=2AF=5，
由勾股定理得：，
∴DC=AC-AD=4-3=1，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC，
∵点F是BD的中点，BE=EC，
∴EF是△BDC的中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，进而求出DC，根据三角形中位线定理计算即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：B．
【分析】
本题考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得：DF＝AB=2.5，再利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得：，最后根据线段的和差运算可知：EF=DE-DF=1.5，由此可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E是AD的中点，F是PD的中点，
∴EF=，
∵ 点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，
∴ EF的长度先减小再增大。
故答案为：D .
【分析】首先根据三角形中位线定理得出EF=，然后得出点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，故而得出EF的长度先减小再增大。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：'.'四边形ABCD是平行四边形， AD=6 ，
∴BC=AD=6，
'.'点E，F分别是BD， CD的中点，
∴EF=BC=3，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质得BC长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，解答即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠D=135°，
设AD=BC=a，CD=b，
则四边形ABCD的周长=2(a+b)，，
∵CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的
∴，
∴，
∵O是对角线AC的中点，F是CD的中点，
∴OF//AD，，
∴∠OFD=180°-∠D=45°，
∵OG⊥CD，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在Rt△OEG中，，
故只需要知道边BC的长，即可求出OE的长；
故答案为：C.
【分析】取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，易得OF//AD，，推出△OFG为等腰直角三角形，设AD=BC=α，CD=b，得到，进而得到，勾股定理求出OG，FG的长，进而求出EG的长，再利用勾股定理求出OE的长，进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，是的中位线，
∵米，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴篱笆的长为：，
故答案为：D
【分析】先根据中点结合中位线的性质结合题意得到，，，进而根据等边三角形的性质得到，从而得到，再根据篱笆的长为，即可求解。
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵E是AB的中点，
∴S1＝S△BOE，
同理可得：S2＝S△COF，
∵E，F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴D是BC的中点，
∴S△BOD＝S△COD，
∴S1+S3＝S1+S△COF+S△COD＝S△BOE+S2+S△BOD＝S2+S4，
故答案为：B
【分析】连接OB、OC，先根据三角形的中线得到S1＝S△BOE，同理可得：S2＝S△COF，再根据三角形中位线定理结合题意即可得到EF∥BC，又因为D是BC的中点，则S△BOD＝S△COD，进而等量代换即可求解。
10．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
11．【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
12．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
15．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△FAE(ASA)，
∴AF=AB=8，BE=EF，
∴FC=AC-AF=14-8=6，
∵BE=EF，BD=DC，
∴DE是△BFC的中位线
∴，
故答案为：3.
【分析】先利用角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定定理(ASA)证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得到对应边相等，进而求出线段长度，最后利用三角形中位线定理求解.
16．【答案】（1）证明：∵
∴
∵点是边BC的中点，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∵
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵四边形BDEF为平行四边形，
∴
∵点D和点E分别为BC、GC的中点，
∴
∵
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）感觉等腰三角形的三线合一得到然后根据三角形中位线定理得到进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到然后根据中位线定理得到进而即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴，，
∴AD=BC，
∴MP=PN，
即△MNP为等腰三角形，
∴ ∠PMN=∠PNM.
（2）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，
∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得，，结合题意可得MP=PN，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等即可证明；
（2）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得PN∥BC，PM∥AD，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，结合（1）中结论即可证明.
18．【答案】（1）解：如图①.

（2）解：选择命题Ⅱ.
证明：如图②，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM.
又∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM.
又∵DE=BC，∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∴DM=CE，DM∥CE，∴DM∥AE.
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点.
选择命题Ⅲ.
证明：如图③，延长ED至点F，使DF=DE，连结BF.
∵D是AB的中点，∴AD=BD.
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠F，∴AC∥BF.
又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，∴CE=AE，∴E是AC的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据作图的描述尺规作图即可；
（2）选择命题Ⅱ：过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM，则EDBM是平行四边形，即可得到DE=BM=CM，进而证明DECM、ADME是平行四边形，证明结论即可；选择命题Ⅲ：延长ED至点F，使DF=DE，连结BF，即可得到△ADE≌△BDF，进而证明BCEF是平行四边形，得到结论.
1 / 1【提升版】湘教版数学八下1.4三角形的中位线定理 同步练习
一、选择题
1．（2025八下·天台期末） 如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，若的周长为6，则的周长为（　　）
A．3 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E是AB、BC的中点
∴AC=2DE
同理可得BC=2DF，AB=2EF
∵
∴
故答案为： B.
【分析】直接根据中位线的性质知AB、AC、BC与EF、DE、DF的数量关系，可得△ABC的周长.
2．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
3．（2025八下·舟山期末） 如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，点F是BD的中点，，
则BD=2AF=5，
由勾股定理得：，
∴DC=AC-AD=4-3=1，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC，
∵点F是BD的中点，BE=EC，
∴EF是△BDC的中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，进而求出DC，根据三角形中位线定理计算即可.
4．（2024八下·昆明期中）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：B．
【分析】
本题考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得：DF＝AB=2.5，再利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得：，最后根据线段的和差运算可知：EF=DE-DF=1.5，由此可得出答案．
5．（2025八下·深圳期末） 如图， 在平行四边形ABCD中， 点P是BC边上的动点， 连接AP， DP， E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点的运动的过程中，EF的长度(　　)
A．保持不变 B．逐渐增大
C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E是AD的中点，F是PD的中点，
∴EF=，
∵ 点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，
∴ EF的长度先减小再增大。
故答案为：D .
【分析】首先根据三角形中位线定理得出EF=，然后得出点P从B点向C点的运动的过程中， AP的长度是先减小再增大，故而得出EF的长度先减小再增大。
6．（2025八下·茂名期末）如图，在□ABCD中，AD=6，E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：'.'四边形ABCD是平行四边形， AD=6 ，
∴BC=AD=6，
'.'点E，F分别是BD， CD的中点，
∴EF=BC=3，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质得BC长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，解答即可.
7．（2025八下·嵊州期末） 如图，平行四边形中，，，是对角线的中点，点在边上，连结，若的长度恰好是平行四边形周长的，则要计算的长度，只需要知道（　　）
A．平行四边形的周长 B．边的长
C．边的长 D．边的长
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC，AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠D=135°，
设AD=BC=a，CD=b，
则四边形ABCD的周长=2(a+b)，，
∵CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的
∴，
∴，
∵O是对角线AC的中点，F是CD的中点，
∴OF//AD，，
∴∠OFD=180°-∠D=45°，
∵OG⊥CD，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在Rt△OEG中，，
故只需要知道边BC的长，即可求出OE的长；
故答案为：C.
【分析】取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD，易得OF//AD，，推出△OFG为等腰直角三角形，设AD=BC=α，CD=b，得到，进而得到，勾股定理求出OG，FG的长，进而求出EG的长，再利用勾股定理求出OE的长，进行判断即可.
8．（2024八下·南明月考）如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（　　）
A．16 米 B．22 米 C．27 米 D．30 米
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，是的中位线，
∵米，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴篱笆的长为：，
故答案为：D
【分析】先根据中点结合中位线的性质结合题意得到，，，进而根据等边三角形的性质得到，从而得到，再根据篱笆的长为，即可求解。
9．（2025七下·深圳期末） 如图，的各边中点分别为D，E，F，AD与EF相交于点O，将三角形分为四个部分，面积分别为，，，，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵E是AB的中点，
∴S1＝S△BOE，
同理可得：S2＝S△COF，
∵E，F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴D是BC的中点，
∴S△BOD＝S△COD，
∴S1+S3＝S1+S△COF+S△COD＝S△BOE+S2+S△BOD＝S2+S4，
故答案为：B
【分析】连接OB、OC，先根据三角形的中线得到S1＝S△BOE，同理可得：S2＝S△COF，再根据三角形中位线定理结合题意即可得到EF∥BC，又因为D是BC的中点，则S△BOD＝S△COD，进而等量代换即可求解。
二、填空题
10．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
11．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是　 　．
【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
12．（2024八下·海原期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于　 　米．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
13．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
14．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为　 　.
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
15．（2025八下·东阳期末） 如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E，已知AB＝8，AC＝14，则DE的长为　 　 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△FAE(ASA)，
∴AF=AB=8，BE=EF，
∴FC=AC-AF=14-8=6，
∵BE=EF，BD=DC，
∴DE是△BFC的中位线
∴，
故答案为：3.
【分析】先利用角平分线的性质、垂直的定义以及全等三角形的判定定理(ASA)证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得到对应边相等，进而求出线段长度，最后利用三角形中位线定理求解.
三、解答题
16．（2025八下·杭州期中）如图，在△ABC中，点是边BC的中点，点F，G在边AB上，交CG于E，．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵点是边BC的中点，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∵
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵四边形BDEF为平行四边形，
∴
∵点D和点E分别为BC、GC的中点，
∴
∵
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）感觉等腰三角形的三线合一得到然后根据三角形中位线定理得到进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到然后根据中位线定理得到进而即可求解.
17．（2024八下·东兴期中）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点M、N、P分别是CD、AB及BD的中点
（1）求证：
（2）如图，分别将延长，与的延长线交于点与的延长线交于点，求证：
【答案】（1）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴，，
∴AD=BC，
∴MP=PN，
即△MNP为等腰三角形，
∴ ∠PMN=∠PNM.
（2）证明：∵M、N、P分别是CD、AB、BD的中点，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，
∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半可得，，结合题意可得MP=PN，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等即可证明；
（2）根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边可得PN∥BC，PM∥AD，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠PMN=∠F，∠PNM=∠AEM，结合（1）中结论即可证明.
18． 如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3个命题：
Ⅰ.若D是AB 的中点， 则E 是AC 的中点；
Ⅱ.若 则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ.若D是AB 的中点，DE∥BC，则E是AC 的中点.
（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图②中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点 E，从而直观判断E不一定是AC 的中点.
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图②中，作边 BC的垂直平分线，交 BC 于点M；
②在图②中，以点 D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC 交于点E 和点.E'.
请你在图②中完成以上作图.
（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图①进行证明.
【答案】（1）解：如图①.

（2）解：选择命题Ⅱ.
证明：如图②，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM.
又∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形，
∴BD=EM，DE=BM.
又∵DE=BC，∴DE=BM=CM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∴DM=CE，DM∥CE，∴DM∥AE.
又∵EM∥AD，
∴四边形ADME是平行四边形，
∴AD=EM，DM=AE，∴AD=BD，AE=CE，
∴D，E分别是AB，AC的中点.
选择命题Ⅲ.
证明：如图③，延长ED至点F，使DF=DE，连结BF.
∵D是AB的中点，∴AD=BD.
又∵∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠F，∴AC∥BF.
又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BF=CE，∴CE=AE，∴E是AC的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据作图的描述尺规作图即可；
（2）选择命题Ⅱ：过点E作EM∥AB交BC边于点M，连结DM，则EDBM是平行四边形，即可得到DE=BM=CM，进而证明DECM、ADME是平行四边形，证明结论即可；选择命题Ⅲ：延长ED至点F，使DF=DE，连结BF，即可得到△ADE≌△BDF，进而证明BCEF是平行四边形，得到结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑