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【培优版】湘教版数学八下1.5矩形 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （　　）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
2．（2025八下·嘉兴期末） 如图，在矩形 ABCD 中，，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 O 作 交 BC 于点 E，OF 平分 交 BC 于点 F.若矩形 ABCD 的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）.
A．CF B．BF C．CE D．OF
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 如图，作OM⊥BC，垂足为M，
∵O是BD的中点，
∴OM=CD，MC=BC，
设∠OBC=∠OCB=α，
∴∠BOE=90°-2α，
由角平分线知，
∠BOF=45°-α，
∴∠OFE=∠OBC+∠BOF=45°，
∴OM=FM，
∴CF=FM+MC=CD+BC=矩形周长.
故答案为：A .
【分析】 作OM⊥BC，垂足为M，由矩形性质可知OM=CD，MC=BC，接着证明∠OFM=45°，从而OM=FM，得到FC的长度为矩形周长的四分之一.
3．（2024八下·朝阳期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
4．（2024八下·荆州期末）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
H为AB中点，连接OH、OD，DH、
∵∠MON=90°，AB=4，
∴OH=AB=×4=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，
∵点H是AB的中点，
∴AH=AB=×4=2，
在Rt△DAH中，DH===2，
在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD，
∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。
5．（2024八下·江岸期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴∠BHF=∠AHF=90°，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40-8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB-BH=5-4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH===3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===，
∴PQ=AF=，
故答案为：A.
【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长.
6．（2024八下·新宁期中） 如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=3， AC=4， P为边BC上一动点， PE⊥AB于E， PF⊥AC于F， M为EF的中点， 则PM的最小值为 (　　)
A．2.5 B．2.4 C．1.3 D．1.2
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解： 连结AP，如图
在△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴MP在AP上，
∴EF=AP，
∵M是EF的中点，
当AP⊥BC时，AP最短，
∴PM最短，
∴S△ABC，
∴当AP最短时，AP=2.4，
∴PM的最小值，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求得BC的长，再判定四边形AFPE是矩形，根据矩形性质说明EF=AP，从而可知MP与AP在同一直线上，再利用垂线段最短说明AP⊥BC时AP最短，也就是PM最短，并求出AP最短求MP的长.
7．（2024八下·来宾期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（　　）
A．23 B．16 C．22 D．15
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接．
，四边形是矩形，
，
∴四边形是平行四边形，
．
分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小，
在中，，
四边形的周长的最小值．
故答案为：B.
【分析】延长到点，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，进而得到当三点共线时，的值最小，勾股定理求出的长，进一步求出四边形的周长的最小值即可．
8．（2024八下·陇县期中）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ △AOE≌△COF（AAS），
∴ EO=FO，
∵ BE=BF，
∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°，
∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴ ∠BAC=∠AOE，
∴ AE=EO，
∴ OF=FC，
∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠FBO=∠CBF，
∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°，
∴ ∠EBO=30°，
∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=，
∴ AB=AE+BE=.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得.
二、填空题
9．（2025八下·鄞州期末）如图，矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E在AD上，且AE=5，点P在对角线AC上，作点A关于PE的对称点F，当点F恰好落在矩形ABCD的边上时，AF的长为　 　.
【答案】2或4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：如图，
作EG⊥BC，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=8，CD=AB=4，
∵ 点A和F关于PE对称，
∴ AE=EF=5，
∵ EG=CD=4，
∴ FG==3，
∴ BF=2，
∴ AF==2；
第二种情况：如图，
当P为AC中点是，点A和C关于PE对称，
∴ AF==4，
综上，AF=2或4.
故答案为：2或4.
【分析】分情况讨论，根据矩形的性质可得 AD=BC=8，CD=AB=4，根据轴对称的性质可得 AE=EF=5，根据勾股定理即可求得.
10．（2025八下·深圳期末） 如图， 在等腰△ABC中， 将 沿直线BC平移至 将点B绕点A逆时针旋转 得到点D，连接DA'、DC'，在平移过程中， |的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，
∵AB=AC，AG⊥BC于点G，
∴BG=，
∴AG=，
由旋转性质，可得：∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，AB=AD，
又∠BAG+∠B=90°，
∴∠B=∠EAD，
在和中：∵∠B=∠EAD，∠AGB=∠AED=90°，AB=AD，
∴≌，
∴BG=AE=3，
∴EG=AG-AE=4-3=1，
∵AG⊥BC，A'H⊥B'C'，
∴AE∥A'F，
∵DE⊥AG，
∴四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，
∴AF=AE=3，FH=EG=1，
又FK=AF，
∴FK=3，
∴HK=2，
∵A'B'=A'C'，A'H⊥B'C'于点H，
∴C'H=，
∴C'K=，
又FK=AF，DF⊥AK，
∴DF垂直平分AK，
∴A'D=DK，
∴≤C'K=，
∴当D，K，C'三点共线时，的值最大，最大值为。
故答案为： .
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可求得BG=3，AG=4，进而通过证明≌，可得出AE=3，进而得出EG=1，再证明四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，得出AF=AE=3，FH=EG=1，进而HK=2，再根据勾股定理可得出C'K=，最后根据三角形三边之间的关系，可得出≤C'K=，再根据中垂线的性质得出≤C'K=，即可得出答案。
11．（2025八下·长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为　 　．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意，为直角三角形有以下两种可能：
①当点B'落在矩形内部时，
连接AC，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC=10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E＝∠B＝90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C＝90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，如图1所示，
∴EB＝EB'，AB＝AB'＝6，
∴CB'＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB'＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2＝CE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴BE＝3；
②当点B'落在AD边上时，如图2所示，此时∠B'EC＝∠B'EB=90°，符合题意；
∵∠B=∠BAD=∠B'EB=90°，
∴四边形ABEB'为矩形，
又∵AB＝AB'
∴四边形ABEB'为正方形，
∴BE＝AB＝6．
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【分析】根据折叠分析点B'的位置，在矩形ABCD内部和外部两种情况，再根据为直角三角形，分析得到∠EB'C＝90°和∠B'EC-90°，画出图形，利用勾股定理和正方形的判定即可求解.
12．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
13．（2025八下·瑞安期中） 如图1.在矩形ABCD中，AB=，点E.F是BC上的点，连接DE，点G是DE上的一点，连接GF、DF，且LBE=EG=FG，将矩形按图1所示分成4块，将其无缝隙拼成图2所示的Rt△PMN，则S△PMN=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，
∴∠IQJ=∠HOI=90°，
根据题意，得BE=MH=HI=GE=GF，JN=AD，MI=EF，PJ=CF，∠PMH=∠DGF，∠ADE=∠N，∠HJP=∠C，∠IHJ=∠B，∠PMN=∠PMH+∠HMI=90°，，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM，
∵∠DGF=∠GEF+∠GFE，
∴∠GEF+∠GFE+∠HMI=90°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，
∴∠HJQ=90°，
∴∠HJQ=∠IQJ=∠IHJ=90°，
∴四边形HIJQ是矩形，
∴HI=JQ，，AD=BC=JN，
又∵∠IQJ=90°，
∴∠IQN=90°，
∵∠N=30°，
∴，
∴，
∵HO⊥MN，MH=HI，
∴MI=2OI，
设BE=MH=HI=JQ=x，
∵∠HOI=90°，∠HIM=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠PMN=90°，∠N=30°，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
∵矩形分成4块，将其无缝隙拼成，
∴，
故答案为：.
【分析】根据分割和拼接方式可知矩形ABCD的面积等于的面积，矩形的一边AB已知，接下来只需求矩形的另一边BC的长即可，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，先求出∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，根据矩形的性质、平行线的性质得∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，从而证出四边形HIJQ是矩形，进而得HI=JQ，IQ=HJ，AD=BC=JN，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得IN，QN的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得MI=2OI，接下来设BE=MH=HI=JQ=x，继续利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得OH，OI的值，于是得MI=EF的值，于是进一步求出MN，JN=BC，CF，PN，最后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理出MN与PN的关系，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值可得BC的值，于是求出面积，据此即可得到答案.
14．（2025八下·珠海期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是　 　．（只需填序号）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
平分，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又∵，
∴，故①正确；
，
，
∴，，
，
，故②错误；
∴，
，
，
，故③正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等每个结论逐一判断求解即可。
三、解答题
15．（2024八下·澄海期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=AC，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
平分平分，
，
在和中，
．
（2）解：四边形AECF是矩形，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，
由（1）可知：，
四边形AECF是平行四边形，
平分，
平行四边形AECF是矩形．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定等基础知识，属于中档题型.
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得：进而得到：再根据已知条件AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． 得到再根据三角形全等的判定定理可得到：；
（2）根据（1）的结论可得：可得到：四边形AECF是平行四边形，又平分，可证得：，进而即可证明结论.
16．（2024八下·百色期末）【操作与思考】
已知：矩形.
【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程.
第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F；
第2步：作直线；
第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接，.
【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题：
（1）填空：　 　.
（2）过点D作，交直线于点H.
求证：四边形是平行四边形；
（3）【数学思考】在(2)的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由.
【答案】（1）30
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：，理由如下：
如图，设与交于M，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知：EF垂直平分线段AB，
∴GB=GA，
∵AB=AG，
∴AB=AG=GB，
∴△ABG是等边三角形，则∠BAG=60°，
∴∠AGE=90°-60°=30°.
故答案为：30°.
【分析】（1）由作图易证△ABG是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠BAG=60°，然后由直角三角形两锐角互余可求解；
（2）由矩形的性质可得AB⊥AD，由线段的垂直平分线的性质可得EF⊥AB，于是可得GH∥AD，结合已知，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（3）设与交于M，根据矩形的性质和平行四边形的性质可求解.
17．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
1 / 1【培优版】湘教版数学八下1.5矩形 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，有下列条件：①AC=BD.②∠1+∠3=90°.③OB= AC.④∠1=∠2.其中能判定 ABCD是矩形的有 （　　）
A．① B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．（2025八下·嘉兴期末） 如图，在矩形 ABCD 中，，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 O 作 交 BC 于点 E，OF 平分 交 BC 于点 F.若矩形 ABCD 的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）.
A．CF B．BF C．CE D．OF
3．（2024八下·朝阳期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
4．（2024八下·荆州期末）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·江岸期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，，.然后向左扭动框架，得到新的四边形（点E在的上方）.若在扭动后四边形面积减少了8，点P和Q分别为四边形和四边形对角线的交点，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
6．（2024八下·新宁期中） 如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=3， AC=4， P为边BC上一动点， PE⊥AB于E， PF⊥AC于F， M为EF的中点， 则PM的最小值为 (　　)
A．2.5 B．2.4 C．1.3 D．1.2
7．（2024八下·来宾期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（　　）
A．23 B．16 C．22 D．15
8．（2024八下·陇县期中）如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，与对角线交于点，且，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．6
二、填空题
9．（2025八下·鄞州期末）如图，矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E在AD上，且AE=5，点P在对角线AC上，作点A关于PE的对称点F，当点F恰好落在矩形ABCD的边上时，AF的长为　 　.
10．（2025八下·深圳期末） 如图， 在等腰△ABC中， 将 沿直线BC平移至 将点B绕点A逆时针旋转 得到点D，连接DA'、DC'，在平移过程中， |的最大值为　 　.
11．（2025八下·长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为　 　．
12．（2024八下·北京市期中）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为　 　．
13．（2025八下·瑞安期中） 如图1.在矩形ABCD中，AB=，点E.F是BC上的点，连接DE，点G是DE上的一点，连接GF、DF，且LBE=EG=FG，将矩形按图1所示分成4块，将其无缝隙拼成图2所示的Rt△PMN，则S△PMN=　 　.
14．（2025八下·珠海期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是　 　．（只需填序号）
三、解答题
15．（2024八下·澄海期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=AC，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
16．（2024八下·百色期末）【操作与思考】
已知：矩形.
【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程.
第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F；
第2步：作直线；
第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接，.
【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题：
（1）填空：　 　.
（2）过点D作，交直线于点H.
求证：四边形是平行四边形；
（3）【数学思考】在(2)的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由.
17．（2025八下·临海期中）图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，．
（1）求证：；
（2）当篮筐离地高度时．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②此时伸缩杆的长度为 ▲ cm；
（3）受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
②∵∠1+∠3＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝ODBD，
∵OBAC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AB∥CD，
∴∠1＝∠OCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠OCD＝∠2，
∴OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
综上所述，能判断 ABCD是矩形的有4个，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答．
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 如图，作OM⊥BC，垂足为M，
∵O是BD的中点，
∴OM=CD，MC=BC，
设∠OBC=∠OCB=α，
∴∠BOE=90°-2α，
由角平分线知，
∠BOF=45°-α，
∴∠OFE=∠OBC+∠BOF=45°，
∴OM=FM，
∴CF=FM+MC=CD+BC=矩形周长.
故答案为：A .
【分析】 作OM⊥BC，垂足为M，由矩形性质可知OM=CD，MC=BC，接着证明∠OFM=45°，从而OM=FM，得到FC的长度为矩形周长的四分之一.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
H为AB中点，连接OH、OD，DH、
∵∠MON=90°，AB=4，
∴OH=AB=×4=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，
∵点H是AB的中点，
∴AH=AB=×4=2，
在Rt△DAH中，DH===2，
在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD，
∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2.
故答案为：A．
【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CF、CA、AF，
∵点P和Q分别为四边形ABCD和四边形BCEF对角线的交点，
∴CF过点Q，CA过点P，
∴点Q是CF的中点，点P是CA的中点，
∴PQ是△CAF的中位线，
∴PQ=AF，
在矩形框架ABCD中，AB=5，AD=8，
∴矩形ABCD的面积为5×8=40，BC=AD=8，∠ABC=90°，
由题意得，BC=EF，CE=BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴∠BHF=∠AHF=90°，
∵扭动后四边形面积减少了8，
∴四边形BCEF的面积为40-8=32，
∴8BH=32，
∴BH=4，
∴AH=AB-BH=5-4=1，
∵BF=CE=AB=5，
∴由勾股定理得，FH===3，
在Rt△AHF中，由勾股定理得，AF===，
∴PQ=AF=，
故答案为：A.
【分析】连接CF、CA、AF，先证PQ是△CAF的中位线，得出PQ=AF，再证四边形BCEF是平行四边形，根据矩形的面积得出平行四边形BCEF的面积，即可求出BH的长，进一步求出AH、FH的长，根据勾股定理即可求出AF的长，从而求出PQ的长.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解： 连结AP，如图
在△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴MP在AP上，
∴EF=AP，
∵M是EF的中点，
当AP⊥BC时，AP最短，
∴PM最短，
∴S△ABC，
∴当AP最短时，AP=2.4，
∴PM的最小值，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求得BC的长，再判定四边形AFPE是矩形，根据矩形性质说明EF=AP，从而可知MP与AP在同一直线上，再利用垂线段最短说明AP⊥BC时AP最短，也就是PM最短，并求出AP最短求MP的长.
7．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接．
，四边形是矩形，
，
∴四边形是平行四边形，
．
分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小，
在中，，
四边形的周长的最小值．
故答案为：B.
【分析】延长到点，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，，进而得到当三点共线时，的值最小，勾股定理求出的长，进一步求出四边形的周长的最小值即可．
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠EAO=∠FCO，
∵ ∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴ △AOE≌△COF（AAS），
∴ EO=FO，
∵ BE=BF，
∴ ∠EBO=∠FBO，∠BOF=90°，
∵ ∠BEF=2∠BAC，∠BEF=∠BAC+∠AOE，
∴ ∠BAC=∠AOE，
∴ AE=EO，
∴ OF=FC，
∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL），
∴ ∠FBO=∠CBF，
∵ ∠FBO+∠CBF+∠EBO=90°，
∴ ∠EBO=30°，
∴ 2EO=BE，即2AE=2FC=BE=，
∴ AB=AE+BE=.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS判定△AOE≌△COF推出EO=FO，根据等腰三角形的性质可得∠BOF=90°，∠EBO=∠FBO，依据外角的性质可推出∠BAC=∠AOE得到OF=FC，根据HL判定Rt△BOF≌Rt△BCF推出 ∠EBO=30°，计算出BE=2FC，即可求得.
9．【答案】2或4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：如图，
作EG⊥BC，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=8，CD=AB=4，
∵ 点A和F关于PE对称，
∴ AE=EF=5，
∵ EG=CD=4，
∴ FG==3，
∴ BF=2，
∴ AF==2；
第二种情况：如图，
当P为AC中点是，点A和C关于PE对称，
∴ AF==4，
综上，AF=2或4.
故答案为：2或4.
【分析】分情况讨论，根据矩形的性质可得 AD=BC=8，CD=AB=4，根据轴对称的性质可得 AE=EF=5，根据勾股定理即可求得.
10．【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，
∵AB=AC，AG⊥BC于点G，
∴BG=，
∴AG=，
由旋转性质，可得：∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，AB=AD，
又∠BAG+∠B=90°，
∴∠B=∠EAD，
在和中：∵∠B=∠EAD，∠AGB=∠AED=90°，AB=AD，
∴≌，
∴BG=AE=3，
∴EG=AG-AE=4-3=1，
∵AG⊥BC，A'H⊥B'C'，
∴AE∥A'F，
∵DE⊥AG，
∴四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，
∴AF=AE=3，FH=EG=1，
又FK=AF，
∴FK=3，
∴HK=2，
∵A'B'=A'C'，A'H⊥B'C'于点H，
∴C'H=，
∴C'K=，
又FK=AF，DF⊥AK，
∴DF垂直平分AK，
∴A'D=DK，
∴≤C'K=，
∴当D，K，C'三点共线时，的值最大，最大值为。
故答案为： .
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点A'作A'H⊥B'C'于点H，过点D作DE⊥AG于点E，交A'H于点F，延长A'H至点K，使FK=AF，连接DK，C'K，根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可求得BG=3，AG=4，进而通过证明≌，可得出AE=3，进而得出EG=1，再证明四边形AEFA'是矩形，四边形EGHF是矩形，得出AF=AE=3，FH=EG=1，进而HK=2，再根据勾股定理可得出C'K=，最后根据三角形三边之间的关系，可得出≤C'K=，再根据中垂线的性质得出≤C'K=，即可得出答案。
11．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意，为直角三角形有以下两种可能：
①当点B'落在矩形内部时，
连接AC，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC=10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，
∴∠AB'E＝∠B＝90°，
当△CEB'为直角三角形时，只能得到∠EB'C＝90°，
∴点A、B'、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B'处，如图1所示，
∴EB＝EB'，AB＝AB'＝6，
∴CB'＝10﹣6＝4，
设BE＝x，则EB'＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEB'中，
∵EB'2+CB'2＝CE2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴BE＝3；
②当点B'落在AD边上时，如图2所示，此时∠B'EC＝∠B'EB=90°，符合题意；
∵∠B=∠BAD=∠B'EB=90°，
∴四边形ABEB'为矩形，
又∵AB＝AB'
∴四边形ABEB'为正方形，
∴BE＝AB＝6．
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【分析】根据折叠分析点B'的位置，在矩形ABCD内部和外部两种情况，再根据为直角三角形，分析得到∠EB'C＝90°和∠B'EC-90°，画出图形，利用勾股定理和正方形的判定即可求解.
12．【答案】3或6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当∠CED'＝90°时，如图（1），
∵∠CED'＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，△CD'E为直角三角形，
即∠CD'E＝90°，
∴∠AD'E＋∠CD'E＝180°，
∴A、D'、C在同一直线上，
根据勾股定理得，
∴CD'＝10 6＝4，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋16＝(8 x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
综上所述：DE的长为3或6；
故答案为：3或6．
【分析】分两种情况：（1）当∠CED'＝90°时，得到DE＝AD＝6；（2）当∠ED'A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得到得A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理求出AC＝10，设DE＝D'E＝x，则EC＝CD DE＝8 x，根据勾股定理求出x值即可．
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，
∴∠IQJ=∠HOI=90°，
根据题意，得BE=MH=HI=GE=GF，JN=AD，MI=EF，PJ=CF，∠PMH=∠DGF，∠ADE=∠N，∠HJP=∠C，∠IHJ=∠B，∠PMN=∠PMH+∠HMI=90°，，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM，
∵∠DGF=∠GEF+∠GFE，
∴∠GEF+∠GFE+∠HMI=90°，
∴∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，
∴∠HJQ=90°，
∴∠HJQ=∠IQJ=∠IHJ=90°，
∴四边形HIJQ是矩形，
∴HI=JQ，，AD=BC=JN，
又∵∠IQJ=90°，
∴∠IQN=90°，
∵∠N=30°，
∴，
∴，
∵HO⊥MN，MH=HI，
∴MI=2OI，
设BE=MH=HI=JQ=x，
∵∠HOI=90°，∠HIM=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠PMN=90°，∠N=30°，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴矩形ABCD的面积为，
∵矩形分成4块，将其无缝隙拼成，
∴，
故答案为：.
【分析】根据分割和拼接方式可知矩形ABCD的面积等于的面积，矩形的一边AB已知，接下来只需求矩形的另一边BC的长即可，过点I作IQ⊥PN于Q，过点H作HO⊥MN于O，先求出∠GEF=∠GFE=∠HMI=∠HIM=30°，根据矩形的性质、平行线的性质得∠ADE=∠GEF=∠N=30°，∠C=∠HJP=∠IHJ=∠B=90°，从而证出四边形HIJQ是矩形，进而得HI=JQ，IQ=HJ，AD=BC=JN，然后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得IN，QN的值，根据等腰三角形“三线合一”性质得MI=2OI，接下来设BE=MH=HI=JQ=x，继续利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得OH，OI的值，于是得MI=EF的值，于是进一步求出MN，JN=BC，CF，PN，最后利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理出MN与PN的关系，即可列出关于x的方程，解方程求出x的值可得BC的值，于是求出面积，据此即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
平分，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又∵，
∴，故①正确；
，
，
∴，，
，
，故②错误；
∴，
，
，
，故③正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等每个结论逐一判断求解即可。
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
平分平分，
，
在和中，
．
（2）解：四边形AECF是矩形，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，
由（1）可知：，
四边形AECF是平行四边形，
平分，
平行四边形AECF是矩形．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定等基础知识，属于中档题型.
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得：进而得到：再根据已知条件AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． 得到再根据三角形全等的判定定理可得到：；
（2）根据（1）的结论可得：可得到：四边形AECF是平行四边形，又平分，可证得：，进而即可证明结论.
16．【答案】（1）30
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：，理由如下：
如图，设与交于M，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知：EF垂直平分线段AB，
∴GB=GA，
∵AB=AG，
∴AB=AG=GB，
∴△ABG是等边三角形，则∠BAG=60°，
∴∠AGE=90°-60°=30°.
故答案为：30°.
【分析】（1）由作图易证△ABG是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠BAG=60°，然后由直角三角形两锐角互余可求解；
（2）由矩形的性质可得AB⊥AD，由线段的垂直平分线的性质可得EF⊥AB，于是可得GH∥AD，结合已知，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（3）设与交于M，根据矩形的性质和平行四边形的性质可求解.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．
（2）解：①∵，，，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
②；
（3）解：当时，过点M作ME⊥OP于点E，则OE=EM=50，
∴，
当时，过点M作ME⊥OP于点E，则∠EMO=30°，
∴CE=50cm，
．
∴
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】（2）②过点Q作QD⊥OC于点D，
则ODQP是矩形，
∴DQ=OP=120cm，OD=PQ=40cm，
∴CD=OC-OD=50-40=10cm，
∴CQ=cm，
故答案为：；
【分析】（1）先得到是平行四边形，即可得到对边平行，即可得到垂直；
（2）①先得到是矩形， 即可根据有一个角是直角得到是平行四边形；
②过点Q作QD⊥OC于点D，则ODQP是矩形，根据勾股定理求出CQ长即可；
（3）分别计算当和是的MH的值，即可得到取值范围.
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