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【提升版】湘教版数学八下1.6菱形 同步练习
一、选择题
1．（2025八下·温州期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O.若AO=3，BO=4，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且，，
∴∠BOC=90°，
∴
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质可知，对角线互相垂直且平分，可知AC⊥BD，且，，再根据勾股定理即可得出答案.
2．（2025八下·成都期末） 菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：选项 A：菱形对角线互相垂直，但矩形对角线不互相垂直，A错误；
选项 B：矩形对角线相等，但菱形对角线不相等，B错误；
选项 C：菱形对角线平分一组对角，但矩形对角线不平分一组对角，C错误；
选项 D：菱形和矩形都属于平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，因此菱形、矩形的对角线都互相平分；菱形和矩形的对称中心都是对角线交点，因此都是中心对称图形。
D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查菱形和矩形的性质，利用菱形和矩形的性质（基于平行四边形的共性与各自特性 ），可判断二者共有的性质是 “对角线互相平分且是中心对称图形”.
3．（2025八下·苍南期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　）
A．60° B．64° C．70° D．72°
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD并且互相平分，
∴∠ADO=∠CDO，
在Rt△AOD中，
∵ AE=DE ，
∴∠DAO=∠ADE，
∵ ∠ADE=2∠ODE ，
设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，
∴x+2x+2x=90°，
解得x=18°，
∴∠ADO=∠CDO=54°，
∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72°
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可知，AC⊥BD并且互相平分，∠ADO=∠CDO，根据已知条件，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，根据直角三角形两个锐角和为90°，建立一元一次方程，即可计算出 ∠CDE 的度数.
4．（2025八下·杭州期中）如图，菱形ABCD中，，垂足分别为B，D，若（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，如图，
则
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，则j结合菱形的性质证明为等边三角形，则然后利用含30°角的直角三角形的性质得到AO的长度，进而得到AC长度，然后再利用＂ASA＂证明则最后结合勾股定理求出AE的长度，结合线段间的数量关系即可求解．
5．（2025八下·玉环期末） 如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则四边形菱形
B．若，则四边形菱形
C．若，则四边形为菱形
D．若，则四边形为菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴，，，，
当AC=BD时，EF=GH=FG=HE，此时四边形EFGH为菱形，
故答案为：B.
【分析】先根据三角形中位线定理得出四边形BGH各边与对角线的关系，再依据菱形判定定理判断四边形的形状.
6．（2025八下·临海月考） 在菱形ABCD中，若，，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相平分，已知， ，
所以.
故答案为： D.
【分析】利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，得到直角三角形，再根据勾股定理求出边长.
7．（2025八下·乐山期末）如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作于E，于F，如图所示，
由题意得，，，∠DCB=60°.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴它们重叠部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】过点B作于E，于F，由题意得，，，∠DCB=60°，则可证明四边形是平行四边形，再由等面积法可得，于是有四边形是菱形，.求出，可得，由勾股定理求得DE长，继而可得，据此可得答案．
8．（2025八下·越城期末）如图1，在矩形中，要在边，上找点，，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙都是 B．只有甲才是
C．只有乙才是 D．甲、乙都不是
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：方案甲：根据作图可知EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，EF⊥BD，OB=OD，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠EDB=∠FBD，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EB=ED，
∴四边形EBFD是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴，，
在矩形ABCD中，AB//CD， AD//BC，
∴∠ABD=∠CDB
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE//DF
∵AD//BC
∴四边形BEDF是平行四边形
但是没有条件证明BE=DE.
∴四边形BEDF不是菱形，故方案乙不正确；
故答案为：B.
【分析】根据作图，利用矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定定理，分别证明方案甲和方案乙中四边形EBFD是否为菱形.
二、填空题
9．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作，垂足为E，连接OE，若，，则OE=　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
D，
故答案为：3.
【分析】由菱形的性质可得. BO 由勾股定理可求BO的长， 由直角三角形的性质可求解.
10．（2025八下·临海月考） 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，.线段 AD 与 AD'关于过点 O 的直线 EF 对称，点 A 的对应点 A' 在线段 AB 上，A'D'交 OB 垂足 G，则 与 的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是菱形，， ，
∴，.
∴，
∵ 线段 与 关于过点 O 的直线 EF 对称 ， 点 A 的对应点 A' 在线段 AB 上，
∴S△OD'A'=S△AOD=，，OA=OA'
设EF交AB于点H，
∵菱形ABCD，
∴S△AOB=S△AOD=24
∴
解之：OH=
∵OA=OA'，OH⊥AB，
∴，
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用菱形的性质可求出AO、BO的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用轴对称的性质可证得，，OA=OA'，同时可求出△OD'A'，△AOD的面积，设EF交AB于点H，可得到△AOB的面积，利用三角形的面积公式可求出OH的长，利用等腰三角形三线合一的性质可证得AH=A'H，再利用勾股定理求出A'H的长，可得到A'B的长，由此可求出△OBA'的面积，然后求出△OBA'和△OD'A'的面积之比.
11．（2025八下·奉化期末） 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则　 　
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°，
∴∠ABC=40°，∠CBD=20°，
∵AE⊥BC，
∴∠BFE=70°，
∴∠BFA=110°
故答案为：110°.
【分析】根据菱形性质求∠ABC和∠CBD的度数，再结合余角性质求出所求角度.
12．图1是艺术家将数学与绘画完美结合，在平面上创造出的立体效果．图2是一个菱形，将图2截去一个边长为原来一半的菱形得到图3，用图3镶嵌得到图4，将图4着色后，再次镶嵌便得到图1，则图4中的度数是　 　°
【答案】60
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由题意可知：==
++=180°
∴=120°
∵+=180°
∴=60°
故答案为：60°.
【分析】根据周角的性质先确定的度数，再利用菱形的对边平行，同旁内角互补求出的度数.
13．（2024八下·巴彦期末）如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质：对角线平分对角，对角线互相平分可得：，再根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可得：OE=OD=OB，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：∠CBD=∠OEB=70°，由此可得出答案．
14．（2025八下·深圳期末） 如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　.
【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，
∴BD=12，
∵于点E，
∴OE=
故答案为：6 .
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BD=12，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出OE的长。
三、解答题
15．（2025八下·温州期末）尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上．
小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结．
小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结．
请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分）
【答案】解：小明的作法错误，理由如下：
在矩形中，，
，
又，
，
四边形不是菱形，故小明的作法错误．
小刚的作法正确，理由如下：
记与交点为，
则，
在矩形中，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
是的中垂线，
为菱形，故小刚的作法正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题利用垂线段最短可判断，进而判断出，则可判断小明的作法错误；利用矩形的性质和已知条件得出，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论，则可判断小刚的作法正确．
16． 如图，在矩形 ABCD中，∠ABD，∠CDB 的平分线BE，DF 分别交边AD，BC于点E，F.
（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥DF.
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形.
理由：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，
∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED.
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，得到∠ABD=∠CDB，然后根据角平分线得出∠EBD=∠FDB，即可得到BE∥DF，证明结论；
(2)当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，然后根据角平分线的定义求出∠ABD=2∠ABE=60°，根据矩形的性质得到∠EDB=30°=∠EBD，即可得到EB=ED证明结论.
17．（2025八下·慈溪期末）如图，□ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E。
（1）求证：四边形AECF为矩形。
（2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AC=，BE=2，求矩形AECF的周长。
【答案】（1）证明：∵ABCD中，
∴CD//AB，AD//BC；
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
又∵CE⊥AB，
∴AF // CE，
∴四边形AECF是平行四边形。
∴四边形 AECF是矩形。
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去）。
∴，
∴矩形AECF的周长为2+10
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC，根据勾股定理即可得到结论．
18．（2025八下·诸暨期末）如图1，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，满足DE//BF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）如图2，连接EF，若AD=13，AE=14，DE=DF=15，求EF的长.
【答案】（1）证明：在□ABCD 中，DC//AB，即DF//BE，又因为DE//BF，所以四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：方法一：
过点D，点E分别作DG⊥AB，EH⊥CD，
在△DAG和△DGE中，有DG2=AD2-AG2=DE2-GE2，
已知AD=13，AE=14，DE=15，设AG=x，则GE=14-x，
可得方程132-x2=152-(14-x)2，解得x=5. 所以AG=5，则DG=，GE=14-5=9.
因为四边形BFDE是平行四边形且DE=DF，
所以四边形BFDE是菱形，则DF=DE=15，DC∥AB，
过点E作EH⊥CD于点H，则EH=DG=12，DH=GE=9，
所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理，得EF=.
方法二：
由（1）得，DE=DF=15，所以四边形BFDE是菱形.
过点D作DG⊥AB于点G，设AG=x，则GE=14-x.
在Rt△ADG中，由勾股定理得DG2=AD2-AG2=132-x2；在Rt△EDG中，DG2=DE2-GE2=152-(14 - x)2，
所以132-x2=152-(14 - x)2，解得x=5，则，
则.
连BD交EF于O，因为四边形BFDE是菱形，所以BD⊥EF，且BD与EF互相平分，
则.
过点E作EH⊥CD于点H，由于DC∥AB，所以EH=DG=12，DH=GE=14-5=9.
又因为DF=15，所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定定理 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形BFDE是平行四边形；再作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理来计算相关线段的长度，为后续求EF的长提供条件；接着利用勾股定理列方程求AG的长度；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形；最后求出HF的长，并利用勾股定理，即可得出EF的长.
（2）方法一：
先作辅助线，构造直角三角形△DAG、△DGE和△EHF，以便利用勾股定理计算线段长度；再利用勾股定理列方程求解AG；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形，从而计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
方法二：
先根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形BFDE为菱形；再作辅助线并利用勾股定理求DG等线段长度；然后计算菱形BFDE的面积；接着作辅助线并计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
1 / 1【提升版】湘教版数学八下1.6菱形 同步练习
一、选择题
1．（2025八下·温州期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O.若AO=3，BO=4，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．（2025八下·成都期末） 菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
3．（2025八下·苍南期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　）
A．60° B．64° C．70° D．72°
4．（2025八下·杭州期中）如图，菱形ABCD中，，垂足分别为B，D，若（　　）
A．4 B． C． D．5
5．（2025八下·玉环期末） 如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则四边形菱形
B．若，则四边形菱形
C．若，则四边形为菱形
D．若，则四边形为菱形
6．（2025八下·临海月考） 在菱形ABCD中，若，，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
7．（2025八下·乐山期末）如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·越城期末）如图1，在矩形中，要在边，上找点，，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲、乙都是 B．只有甲才是
C．只有乙才是 D．甲、乙都不是
二、填空题
9．（2025八下·椒江期末） 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作，垂足为E，连接OE，若，，则OE=　 　.
10．（2025八下·临海月考） 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，.线段 AD 与 AD'关于过点 O 的直线 EF 对称，点 A 的对应点 A' 在线段 AB 上，A'D'交 OB 垂足 G，则 与 的面积比为　 　.
11．（2025八下·奉化期末） 如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则　 　
12．图1是艺术家将数学与绘画完美结合，在平面上创造出的立体效果．图2是一个菱形，将图2截去一个边长为原来一半的菱形得到图3，用图3镶嵌得到图4，将图4着色后，再次镶嵌便得到图1，则图4中的度数是　 　°
13．（2024八下·巴彦期末）如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　．
14．（2025八下·深圳期末） 如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　.
三、解答题
15．（2025八下·温州期末）尺规作图：在矩形中，要求用直尺和圆规作菱形，使点分别在边上．
小明：如图1，作的中垂线分别交于点，连结．
小刚：如图2，连结，作的中垂线分别交于点，连结．
请选择一位同学的作法，判断是否正确，并说明理由．（注：若全选，按第一种作答评分）
16． 如图，在矩形 ABCD中，∠ABD，∠CDB 的平分线BE，DF 分别交边AD，BC于点E，F.
（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形 请说明理由.
17．（2025八下·慈溪期末）如图，□ABCD，过点A，C分别作AF⊥CD，CE⊥AB，交CD，AB的延长线于点F，E。
（1）求证：四边形AECF为矩形。
（2）连接AC，BD交于点O，若AC⊥BD，AC=，BE=2，求矩形AECF的周长。
18．（2025八下·诸暨期末）如图1，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，满足DE//BF.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）如图2，连接EF，若AD=13，AE=14，DE=DF=15，求EF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且，，
∴∠BOC=90°，
∴
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质可知，对角线互相垂直且平分，可知AC⊥BD，且，，再根据勾股定理即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：选项 A：菱形对角线互相垂直，但矩形对角线不互相垂直，A错误；
选项 B：矩形对角线相等，但菱形对角线不相等，B错误；
选项 C：菱形对角线平分一组对角，但矩形对角线不平分一组对角，C错误；
选项 D：菱形和矩形都属于平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，因此菱形、矩形的对角线都互相平分；菱形和矩形的对称中心都是对角线交点，因此都是中心对称图形。
D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查菱形和矩形的性质，利用菱形和矩形的性质（基于平行四边形的共性与各自特性 ），可判断二者共有的性质是 “对角线互相平分且是中心对称图形”.
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD并且互相平分，
∴∠ADO=∠CDO，
在Rt△AOD中，
∵ AE=DE ，
∴∠DAO=∠ADE，
∵ ∠ADE=2∠ODE ，
设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，
∴x+2x+2x=90°，
解得x=18°，
∴∠ADO=∠CDO=54°，
∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72°
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可知，AC⊥BD并且互相平分，∠ADO=∠CDO，根据已知条件，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，根据直角三角形两个锐角和为90°，建立一元一次方程，即可计算出 ∠CDE 的度数.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，如图，
则
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，则j结合菱形的性质证明为等边三角形，则然后利用含30°角的直角三角形的性质得到AO的长度，进而得到AC长度，然后再利用＂ASA＂证明则最后结合勾股定理求出AE的长度，结合线段间的数量关系即可求解．
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴，，，，
当AC=BD时，EF=GH=FG=HE，此时四边形EFGH为菱形，
故答案为：B.
【分析】先根据三角形中位线定理得出四边形BGH各边与对角线的关系，再依据菱形判定定理判断四边形的形状.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相平分，已知， ，
所以.
故答案为： D.
【分析】利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，得到直角三角形，再根据勾股定理求出边长.
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作于E，于F，如图所示，
由题意得，，，∠DCB=60°.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴它们重叠部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】过点B作于E，于F，由题意得，，，∠DCB=60°，则可证明四边形是平行四边形，再由等面积法可得，于是有四边形是菱形，.求出，可得，由勾股定理求得DE长，继而可得，据此可得答案．
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：方案甲：根据作图可知EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，EF⊥BD，OB=OD，
在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠EDB=∠FBD，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EB=ED，
∴四边形EBFD是菱形，故方案甲正确；
方案乙：根据作图可知BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴，，
在矩形ABCD中，AB//CD， AD//BC，
∴∠ABD=∠CDB
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE//DF
∵AD//BC
∴四边形BEDF是平行四边形
但是没有条件证明BE=DE.
∴四边形BEDF不是菱形，故方案乙不正确；
故答案为：B.
【分析】根据作图，利用矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定定理，分别证明方案甲和方案乙中四边形EBFD是否为菱形.
9．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
D，
故答案为：3.
【分析】由菱形的性质可得. BO 由勾股定理可求BO的长， 由直角三角形的性质可求解.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵是菱形，， ，
∴，.
∴，
∵ 线段 与 关于过点 O 的直线 EF 对称 ， 点 A 的对应点 A' 在线段 AB 上，
∴S△OD'A'=S△AOD=，，OA=OA'
设EF交AB于点H，
∵菱形ABCD，
∴S△AOB=S△AOD=24
∴
解之：OH=
∵OA=OA'，OH⊥AB，
∴，
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用菱形的性质可求出AO、BO的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用轴对称的性质可证得，，OA=OA'，同时可求出△OD'A'，△AOD的面积，设EF交AB于点H，可得到△AOB的面积，利用三角形的面积公式可求出OH的长，利用等腰三角形三线合一的性质可证得AH=A'H，再利用勾股定理求出A'H的长，可得到A'B的长，由此可求出△OBA'的面积，然后求出△OBA'和△OD'A'的面积之比.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=140°，
∴∠ABC=40°，∠CBD=20°，
∵AE⊥BC，
∴∠BFE=70°，
∴∠BFA=110°
故答案为：110°.
【分析】根据菱形性质求∠ABC和∠CBD的度数，再结合余角性质求出所求角度.
12．【答案】60
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：
由题意可知：==
++=180°
∴=120°
∵+=180°
∴=60°
故答案为：60°.
【分析】根据周角的性质先确定的度数，再利用菱形的对边平行，同旁内角互补求出的度数.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质：对角线平分对角，对角线互相平分可得：，再根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可得：OE=OD=OB，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可得：∠CBD=∠OEB=70°，由此可得出答案．
14．【答案】6
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，
∴BD=12，
∵于点E，
∴OE=
故答案为：6 .
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BD=12，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出OE的长。
15．【答案】解：小明的作法错误，理由如下：
在矩形中，，
，
又，
，
四边形不是菱形，故小明的作法错误．
小刚的作法正确，理由如下：
记与交点为，
则，
在矩形中，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
是的中垂线，
为菱形，故小刚的作法正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题利用垂线段最短可判断，进而判断出，则可判断小明的作法错误；利用矩形的性质和已知条件得出，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论，则可判断小刚的作法正确．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥DF.
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形.
理由：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，
∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED.
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，得到∠ABD=∠CDB，然后根据角平分线得出∠EBD=∠FDB，即可得到BE∥DF，证明结论；
(2)当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，然后根据角平分线的定义求出∠ABD=2∠ABE=60°，根据矩形的性质得到∠EDB=30°=∠EBD，即可得到EB=ED证明结论.
17．【答案】（1）证明：∵ABCD中，
∴CD//AB，AD//BC；
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
又∵CE⊥AB，
∴AF // CE，
∴四边形AECF是平行四边形。
∴四边形 AECF是矩形。
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边，，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去）。
∴，
∴矩形AECF的周长为2+10
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，得到AB＝BC，根据勾股定理即可得到结论．
18．【答案】（1）证明：在□ABCD 中，DC//AB，即DF//BE，又因为DE//BF，所以四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：方法一：
过点D，点E分别作DG⊥AB，EH⊥CD，
在△DAG和△DGE中，有DG2=AD2-AG2=DE2-GE2，
已知AD=13，AE=14，DE=15，设AG=x，则GE=14-x，
可得方程132-x2=152-(14-x)2，解得x=5. 所以AG=5，则DG=，GE=14-5=9.
因为四边形BFDE是平行四边形且DE=DF，
所以四边形BFDE是菱形，则DF=DE=15，DC∥AB，
过点E作EH⊥CD于点H，则EH=DG=12，DH=GE=9，
所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理，得EF=.
方法二：
由（1）得，DE=DF=15，所以四边形BFDE是菱形.
过点D作DG⊥AB于点G，设AG=x，则GE=14-x.
在Rt△ADG中，由勾股定理得DG2=AD2-AG2=132-x2；在Rt△EDG中，DG2=DE2-GE2=152-(14 - x)2，
所以132-x2=152-(14 - x)2，解得x=5，则，
则.
连BD交EF于O，因为四边形BFDE是菱形，所以BD⊥EF，且BD与EF互相平分，
则.
过点E作EH⊥CD于点H，由于DC∥AB，所以EH=DG=12，DH=GE=14-5=9.
又因为DF=15，所以HF=DF-DH=15-9=6.
在Rt△EHF中，根据勾股定理.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定定理 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形BFDE是平行四边形；再作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理来计算相关线段的长度，为后续求EF的长提供条件；接着利用勾股定理列方程求AG的长度；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形；最后求出HF的长，并利用勾股定理，即可得出EF的长.
（2）方法一：
先作辅助线，构造直角三角形△DAG、△DGE和△EHF，以便利用勾股定理计算线段长度；再利用勾股定理列方程求解AG；然后根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形BFDE是菱形，从而计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
方法二：
先根据 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形BFDE为菱形；再作辅助线并利用勾股定理求DG等线段长度；然后计算菱形BFDE的面积；接着作辅助线并计算EH、DH、HF的长度；最后利用勾股定理，即可得出EF的长.
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