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【培优版】湘教版数学八下1.6菱形 同步练习
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它裁剪成一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连结AC，作AC的中垂线，交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
乙：作与的平分线AE，BF，分别交BC于点，交AD于点，则四边形ABEF的菱形.
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
3．（2025八下·临平月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
4．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
5． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
6．图，在菱形ABCD中，∠C=80°，则∠ABD 的度数为 (　　)
A．80° B．70° C．60° D．50°
7．如图，在□ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F 是对角线BD 上的动点，且 BE=DF，M，N 分别是边AD，BC上的动点.
有下列说法：
①存在无数个□MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形 MENF.
其中正确的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2025八下·杭州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点E在线段BO上，连接AE，若，，则菱形ABCD的面积为　 　．
9．（2025八下·白云期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是　 　．
10．（2024八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为　 　．
11．（2025八下·韶关期中）如图，将矩形纸片沿对折，使点落在上点处，再次沿对折，对折后点恰好与点重合．若四边形是菱形，，则　 　．
12．（2023八下·光山期末）如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是　 　．
13．（2024八下·封开期末）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　．
三、解答题
14．（2025八下·玉环期末） 如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点上，请在所给的网格中按下列要求画出图形．
（1）在图1中画一条长为的线段AP，且点P在格点上；（只需画出一条符合条件的线段）
（2）在图2中画一个顶点都在格点上的菱形ABCD，使其边长为，则该菱形ABCD ▲ 正方形．（填“是”或“不是”）
15．（2025八下·义乌月考） 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
16．（2025八下·义乌月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，
（1）求证：△BOE=△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是菱形；
（3）设AD∥EF，AD+AB=12，BD=4，求AF的长.
17．（2025八下·珠海期中）阅读材料：
中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；
在单枚邮票票面上的平行四边形中，邻边与的长度比非常接近黄金分割数．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的中边上的高为．
根据以上信息解决问题：
（1）【相关计算】①单枚邮票的面积为：________，周长为：________．
②计算的长为：________（结果用最简二次根式表示）；
（2）【特例证明】图1中，求证：四边形是平行四边形．
（3）【数形结合】现在将图1中的设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在中，两邻边、满足，现又在上取点，且满足，过点作交边于点．求证：四边形是菱形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 甲的作法如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥CF，∠EAO=∠FCO
又∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，AE=CE，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形，
所以甲的作法正确．
乙的作法如图所示
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BA=BE，
同理可得 AB=AF，
∴AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形．
所以乙的作法正确．
故答案为：C．
【分析】 由甲乙的做法，根据菱形的判定方法可知正误．
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCD=2∠BCA=52°，
∴∠ADC=180°-∠BCD=128°.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对边平行得AD∥BC，根据菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BCD=2∠BCA=52°，进而根据二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠BCD，从而代值计算可得答案.
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
CB=CD，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得∠ABD=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角解答即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结AC，与BD交于点O，过点O作线段MN，交AD于点M，交BC于点N，连结EM，EN，NF，FM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠MAO=∠NCO.
又∵OA=OC，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON.
∵OB=OD，BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴只要MN过点O，四边形MENF就是平行四边形，
故存在无数个 MENF，故①正确；
只要MN过点O且MN=EF，四边形MENF就是矩形.
∵E，F是对角线BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN过点O且MN⊥BD，四边形MENF就是菱形.
∵E，F是对角线BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
当MN过点O且MN⊥BD时，点M，N的位置就是唯一确定的，
此时当EF=MN时，四边形MENF是正方形.
而当EF=MN时，点E，F的位置也就确定了，
故不存在无数个正方形MENF，故④错误.
故选C.
【分析】连结AC，与BD交于点O，过点O作线段MN，交AD于点M，交BC于点N，连结EM，EN，NF，FM，根据平行四边形的性质证明△AOM≌△CON，即可得到四边形MENF是平行四边形，然后根据题意逐项判断解答即可.
8．【答案】24
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：24.
【分析】根据题意设结合菱形的性质得到进而根据线段间的数量关系得到方程，则最然后根据勾股定理求出AO的长度，最后根据菱形面积计算公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，连接、交于点，
四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
顺次连接菱形各边中点，可得四边形，
，，，，，
四边形为矩形，
四边形的面积为，
则四边形的面积是，
故答案为：．
【分析】连接、交于点，先求出，再利用中位线的性质可得，，，，，求出四边形的面积为，最后求出四边形的面积是即可.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
11．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图：
四边形为矩形，
，，
，
由翻折的性质得：
，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
为等边三角形，
，，
，
，
设，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换可得，再利用角的运算求出，设，则BE=2a，利用勾股定理求出，再结合AB的长求出a的值，最后求出即可.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴DO＝CO，EO＝FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，
∴CO=DO=5，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝5，
∴OC＝BM＝5，
∴四边形BCOM是平行四边形，
∵OC＝BC＝5，
∴四边形BCOM是菱形，
∴OB⊥CM，，
∴，
∵，
∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，
∴EF的最小值为：．
故答案为：．
【分析】设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，根据平行四边形性质可得DO＝CO，EO＝FO，BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，则CO=DO=5，根据线段中点可得AM＝BM＝5，则OC＝BM＝5，再根据菱形判定定理可得四边形BCOM是菱形，则OB⊥CM，，再根据勾股定理可得OH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，
∴∠AEM=90°，
∵菱形ABCD中∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，AB=AD，AC⊥BD，BM=DM，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAM=30°，
∴AM=2ME，
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2(ME+DM)，
∵ME+MD≥DE，
根据垂线段最短，DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，
∵△ABD是等边三角形，
∴DE的最小值为，
∴2DE=，即MA+MB+MD最小值为.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，由菱形的性质及有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=2ME，由菱形的轴对称性推出MA+MB+MD=2(ME+DM)，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，进而利用勾股定理算出DE的长，此题得解.
14．【答案】（1）解：如图1，线段AP即为所求(答案不唯一).
（2）是
【知识点】菱形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)如图2，菱形ABCD即为所求，
由图可知，∠ABC=90°，
∴该菱形ABCD是正方形，
故答案为：是.
【分析】(1)利用勾股定理在网格中确定线段长度；
(2)根据菱形性质画出菱形，并依据角度判断菱形是否为正方形.
15．【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ 点是对角线的中点 ，
∴OD=OB，
在△OFD和△OEB中，∠FDO=∠EBO，∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△OFD≌△OEB（ASA）
∴DF=BE，
∴ 四边形是平行四边形 。
（2）解：∵， ，
∴BD=，OD=5，
∵四边形是平行四边形，且 ，
∴四边形是菱形，且EF垂直平分BD，
设AE=a，则BE=DE=8-a，
在Rt△AED中，，即
解得a=1.75，即AE=1.75，DE=BE=6.25，
S菱形 DEBF=S△DEF，即，
∴，
解得 =。
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行的性质、全等三角形的判断及性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定和性质、菱形的面积和三角形面积等相关知识。
（1）通过矩形的性质，可以首先得到DF∥BE，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠FDO=∠EBO，接着利用ASA证明出△OFD≌△OEB，得出DF=BE，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）首先根据勾股定理求出BD的长度，即可得出OD的长度；然后根据“临边相等的平行四边形是菱形”得出四边形是菱形，并根据“菱形的对角线互相垂直平分”从而得出EF垂直平分BD；然后再次利用勾股定理求出AE、DE、BE的长度，利用面积相等列出等式，即可求出EF的长度。
16．【答案】（1）证明：，
四边形ABCD是平行四边形
，
在和中

（2）证明：
四边形DEBF是平行四边形
∵FO⊥BD，OB=OD
∴△BFD是等腰三角形，BF=DF
∴四边形DEBF是菱形
（3）解：
设，则
解得，
，
，
，
是等边三角形
，
∴四边形ADFE是平行四边形
如图，作于H
，
，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，则，再根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形判定定理可得△BFD是等腰三角形，则BF=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据平行四边形判定定可得四边形ADFE是平行四边形，则，作于H，再根据边之间的关系可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）①1400；164；②
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积计算公式即可求解；
（2）首先根据四边形和四边形都是平行四边形，可得出，，，，进而即可得出四边形是平行四边形；
（3）首先根据四边形ABCD为平行四边形，可得出，，进而得出四边形是平行四边形，进而通过计算可得出，即可得出平行四边形是菱形．
（1）解：由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
1 / 1【培优版】湘教版数学八下1.6菱形 同步练习
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它裁剪成一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连结AC，作AC的中垂线，交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
乙：作与的平分线AE，BF，分别交BC于点，交AD于点，则四边形ABEF的菱形.
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 甲的作法如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥CF，∠EAO=∠FCO
又∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，AE=CE，
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AFCE为菱形，
所以甲的作法正确．
乙的作法如图所示
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BA=BE，
同理可得 AB=AF，
∴AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形．
所以乙的作法正确．
故答案为：C．
【分析】 由甲乙的做法，根据菱形的判定方法可知正误．
3．（2025八下·临平月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCD=2∠BCA=52°，
∴∠ADC=180°-∠BCD=128°.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对边平行得AD∥BC，根据菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BCD=2∠BCA=52°，进而根据二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠BCD，从而代值计算可得答案.
4．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
5． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
6．图，在菱形ABCD中，∠C=80°，则∠ABD 的度数为 (　　)
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】菱形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
CB=CD，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得∠ABD=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角解答即可.
7．如图，在□ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F 是对角线BD 上的动点，且 BE=DF，M，N 分别是边AD，BC上的动点.
有下列说法：
①存在无数个□MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形 MENF.
其中正确的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结AC，与BD交于点O，过点O作线段MN，交AD于点M，交BC于点N，连结EM，EN，NF，FM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠MAO=∠NCO.
又∵OA=OC，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴OM=ON.
∵OB=OD，BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴只要MN过点O，四边形MENF就是平行四边形，
故存在无数个 MENF，故①正确；
只要MN过点O且MN=EF，四边形MENF就是矩形.
∵E，F是对角线BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN过点O且MN⊥BD，四边形MENF就是菱形.
∵E，F是对角线BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
当MN过点O且MN⊥BD时，点M，N的位置就是唯一确定的，
此时当EF=MN时，四边形MENF是正方形.
而当EF=MN时，点E，F的位置也就确定了，
故不存在无数个正方形MENF，故④错误.
故选C.
【分析】连结AC，与BD交于点O，过点O作线段MN，交AD于点M，交BC于点N，连结EM，EN，NF，FM，根据平行四边形的性质证明△AOM≌△CON，即可得到四边形MENF是平行四边形，然后根据题意逐项判断解答即可.
二、填空题
8．（2025八下·杭州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点E在线段BO上，连接AE，若，，则菱形ABCD的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：24.
【分析】根据题意设结合菱形的性质得到进而根据线段间的数量关系得到方程，则最然后根据勾股定理求出AO的长度，最后根据菱形面积计算公式计算即可.
9．（2025八下·白云期中）如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，连接、交于点，
四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
顺次连接菱形各边中点，可得四边形，
，，，，，
四边形为矩形，
四边形的面积为，
则四边形的面积是，
故答案为：．
【分析】连接、交于点，先求出，再利用中位线的性质可得，，，，，求出四边形的面积为，最后求出四边形的面积是即可.
10．（2024八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
11．（2025八下·韶关期中）如图，将矩形纸片沿对折，使点落在上点处，再次沿对折，对折后点恰好与点重合．若四边形是菱形，，则　 　．
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图：
四边形为矩形，
，，
，
由翻折的性质得：
，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
又，
为等边三角形，
，，
，
，
设，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质及等量代换可得，再利用角的运算求出，设，则BE=2a，利用勾股定理求出，再结合AB的长求出a的值，最后求出即可.
12．（2023八下·光山期末）如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴DO＝CO，EO＝FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，
∴CO=DO=5，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝5，
∴OC＝BM＝5，
∴四边形BCOM是平行四边形，
∵OC＝BC＝5，
∴四边形BCOM是菱形，
∴OB⊥CM，，
∴，
∵，
∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，
∴EF的最小值为：．
故答案为：．
【分析】设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，根据平行四边形性质可得DO＝CO，EO＝FO，BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，则CO=DO=5，根据线段中点可得AM＝BM＝5，则OC＝BM＝5，再根据菱形判定定理可得四边形BCOM是菱形，则OB⊥CM，，再根据勾股定理可得OH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024八下·封开期末）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，
∴∠AEM=90°，
∵菱形ABCD中∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，AB=AD，AC⊥BD，BM=DM，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAM=30°，
∴AM=2ME，
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2(ME+DM)，
∵ME+MD≥DE，
根据垂线段最短，DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，
∵△ABD是等边三角形，
∴DE的最小值为，
∴2DE=，即MA+MB+MD最小值为.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，由菱形的性质及有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=2ME，由菱形的轴对称性推出MA+MB+MD=2(ME+DM)，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，进而利用勾股定理算出DE的长，此题得解.
三、解答题
14．（2025八下·玉环期末） 如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点上，请在所给的网格中按下列要求画出图形．
（1）在图1中画一条长为的线段AP，且点P在格点上；（只需画出一条符合条件的线段）
（2）在图2中画一个顶点都在格点上的菱形ABCD，使其边长为，则该菱形ABCD ▲ 正方形．（填“是”或“不是”）
【答案】（1）解：如图1，线段AP即为所求(答案不唯一).
（2）是
【知识点】菱形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：(2)如图2，菱形ABCD即为所求，
由图可知，∠ABC=90°，
∴该菱形ABCD是正方形，
故答案为：是.
【分析】(1)利用勾股定理在网格中确定线段长度；
(2)根据菱形性质画出菱形，并依据角度判断菱形是否为正方形.
15．（2025八下·义乌月考） 如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形中，
∴DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，
∵ 点是对角线的中点 ，
∴OD=OB，
在△OFD和△OEB中，∠FDO=∠EBO，∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴△OFD≌△OEB（ASA）
∴DF=BE，
∴ 四边形是平行四边形 。
（2）解：∵， ，
∴BD=，OD=5，
∵四边形是平行四边形，且 ，
∴四边形是菱形，且EF垂直平分BD，
设AE=a，则BE=DE=8-a，
在Rt△AED中，，即
解得a=1.75，即AE=1.75，DE=BE=6.25，
S菱形 DEBF=S△DEF，即，
∴，
解得 =。
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、平行的性质、全等三角形的判断及性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定和性质、菱形的面积和三角形面积等相关知识。
（1）通过矩形的性质，可以首先得到DF∥BE，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠FDO=∠EBO，接着利用ASA证明出△OFD≌△OEB，得出DF=BE，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果；
（2）首先根据勾股定理求出BD的长度，即可得出OD的长度；然后根据“临边相等的平行四边形是菱形”得出四边形是菱形，并根据“菱形的对角线互相垂直平分”从而得出EF垂直平分BD；然后再次利用勾股定理求出AE、DE、BE的长度，利用面积相等列出等式，即可求出EF的长度。
16．（2025八下·义乌月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，
（1）求证：△BOE=△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是菱形；
（3）设AD∥EF，AD+AB=12，BD=4，求AF的长.
【答案】（1）证明：，
四边形ABCD是平行四边形
，
在和中

（2）证明：
四边形DEBF是平行四边形
∵FO⊥BD，OB=OD
∴△BFD是等腰三角形，BF=DF
∴四边形DEBF是菱形
（3）解：
设，则
解得，
，
，
，
是等边三角形
，
∴四边形ADFE是平行四边形
如图，作于H
，
，
由勾股定理得，
由勾股定理得，
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，则，再根据直线平行性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形判定定理可得△BFD是等腰三角形，则BF=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据平行四边形判定定可得四边形ADFE是平行四边形，则，作于H，再根据边之间的关系可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2025八下·珠海期中）阅读材料：
中国-西班牙联合发行《中欧班列（义乌-马德里）》特种邮票1套2枚，两枚邮票的大小、形状相同（如图1）．邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，凸显中欧班列的和谐美；
在单枚邮票票面上的平行四边形中，邻边与的长度比非常接近黄金分割数．单枚邮票的规格（平行四边形：长边50毫米，短边32毫米，高28毫米）见图2所示．设图1的中边上的高为．
根据以上信息解决问题：
（1）【相关计算】①单枚邮票的面积为：________，周长为：________．
②计算的长为：________（结果用最简二次根式表示）；
（2）【特例证明】图1中，求证：四边形是平行四边形．
（3）【数形结合】现在将图1中的设计成标准的黄金平行四边形，也就是满足相邻两边的比为黄金分割数的平行四边形．如图3所示，即在中，两邻边、满足，现又在上取点，且满足，过点作交边于点．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）①1400；164；②
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积计算公式即可求解；
（2）首先根据四边形和四边形都是平行四边形，可得出，，，，进而即可得出四边形是平行四边形；
（3）首先根据四边形ABCD为平行四边形，可得出，，进而得出四边形是平行四边形，进而通过计算可得出，即可得出平行四边形是菱形．
（1）解：由阅读材料可知：毫米，毫米，毫米，
①单枚邮票的面积为：，
周长为：．
故答案为：1400；164；
②解：在中，毫米，毫米，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
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