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【基础版】湘教版数学八下1.7正方形 同步练习
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
3． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
4． 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 (　　)
A．AB⊥AD B．BC=CD C．AD=BC D．AB=CD
5．（2024八下·卢龙期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　）
A．5 B． C．7 D．
6．（2025八下·德惠期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　）
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为 2cm 的正方形ABCD沿对角线 BD 方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为 (　　)
A．1 cm B．2cm C． D．
8．（2025八下·白云期中）如图，正方形的边长为，过线段上的两点分别作和的垂线，则阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题
9． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点 A落在BC上的点F 处，折痕为 BE.若沿EF 剪下，则四边形ABFE 是一个正方形，其数学原理是　 　.
10．（2024八下·邹平期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
11．（2025八下·衢州期末） 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
12．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
13．（2025八下·秦淮月考）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为　 　．
14．（2024八下·覃塘期中）圆形餐桌的桌面直径为，桌子高度为，一张正方形桌布铺满桌面后，四个角正好触碰到地面，则这个正方形桌布的面积为　 　．
三、解答题
15．（2025八下·诸暨期末）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段AB的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，利用无刻度直尽作图，请完成下列各小题。
（1）在图①中，以AB为边作一个菱形ABCD（不是正方形），其中点C，D为格点；
（2）在图②中，以AB为边作正方形ABEF，其中点E，F为格点.
16．（2024八下·凤山期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，交 AB 于点 D，过点 D 分别作 DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 DECF 为正方形；
（2）若 AC=6 cm，BC=8 cm，则四边形DECF 的边长为　 　.
18．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、AB⊥AD，矩形本身就满足 “四个角都是直角”，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，A错误；
B、BC=CD，BC与CD是矩形的邻边，邻边相等的矩形是正方形，符合条件，B正确；
C、AD=BC，矩形的对边本身相等，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，C错误；
D、AB=CD，矩形的对边本身相等，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，D错误.
故答案为：B.
【分析】正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，
故选D．
【分析】根据旋转性质可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，则AD=DC=5，再根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得∠ADC＝90°，AD＝DC，再根据等边三角形性质可得DE＝DC，∠EDC＝60°，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，
∴BD==2(cm).
由平移的性质可知，BB'=1 cm，
∴B'D=(2-1)cm.
故选：D.
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB'，计算即可.
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为，
根据正方形的轴对称性得：
，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质及轴对称的性质和三角形的面积公式列出算式求解即可.
9．【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由矩形 ABCD 可知，∠A=∠B=90°.
折叠后点 A 落在 BC 上的点 E 处，故 AB=BE.
沿 EF 剪下后，四边形 ABFE 有三个角是直角（∠A=∠B=∠EFB=90°），因此它是矩形.
又因为 AB=BE，根据 “有一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定四边形 ABFE 是正方形.
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形.
【分析】先判定四边形 ABFE 是矩形；再利用 “邻边相等” 的条件，依据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形），即可得出结论.
10．【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
12．【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：菱形的对角线分别为和，
菱形的面积，
正方形的边长是
故答案为：。
【分析】根据菱形的基本性质：对角线互相垂直平分，然后再根据菱形的面积公式：，代入数据求出菱形的面积，然后再根据菱形的面积和正方形的面积相等，再根据正方形的面积公式：，代入数据，即可求出正方形的边长。
14．【答案】8
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即(米)，
设正方形边长是米，
则，
解得：，
所以正方形桌布的边长是米．
则这个正方形桌布的面积为，
故答案为：8．
【分析】
首先根据题意可知，正方形桌布的对角线长度等于圆形餐桌的直径加上两个高，即米，然后利用勾股定理求出正方形边长是米，最后根据正方形的面积公式即可求面积．
15．【答案】（1）解：如图①答案不唯一（只需要画出一种情况即可）
（2）解：如图②
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【作法】（1）①观察格点，确定AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得；
②在格点中寻找与AB长度相等的线段，连接格点，使得，确定点C；
③再连接格点，使得，，且四边形ABCD邻边不垂直（不是正方形），确定点D.
故菱形ABCD作出为所作的图形.
（2）①计算AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得；
②过点B作与AB垂直且长度为的线段BE：通过观察格点，找到满足垂直且长度要求的格点，确定点E；
③过点A作与AB垂直且长度为的线段AF，使得AF∥BE，EF∥AB，确定点F.
故正方形ABEF为所作的图形.
【分析】（1）根据菱形的定义（四边相等的平行四边形是菱形），通过勾股定理计算AB的长度，从而确定BC、CD、DA的位置，利用尺规即可作出所需菱形；
（2）根据正方形的定义（四边相等且四个角都是直角的四边形是正方形），通过勾股定理计算AB的长度，并分别作出BE、AF，确定E、F点， 利用尺规即可作出所需正方形.
16．【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
17．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形.
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴四边形DECF为正方形.
（2） cm
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解： (2) ∵四边形DECF为正方形，
∴DF=FC=CE=DE.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===10(cm).
∵==，
∴==，解得AD=(cm)，
则BD=AB-AD=10-=(cm).
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2=AD2-AF2；
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2=BD2-BE2.
设DF=FC=CE=DE=x cm，
则x2=()2-(6-x)2，x2=()2-(8-x)2，
∴()2-(6-x)2=()2-(8-x)2，
解得x=，
则四边形DECF的边长为 cm.
【分析】 (1) 先通过“三个角是直角”判定矩形；再结合“角平分线的性质”得到邻边相等，依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可得出结论；
(2) 利用“三角形面积的和差关系”建立方程，结合正方形的边长相等这一性质，即可求出边长.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB， ∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°， ∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得AB=CB， ∠ABD=∠CBD，据此可利用SAS证明结论；
(2)由正方形的性质可得∠BAD=90°， ∠ADB=45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAE的度数即可得到答案.
1 / 1【基础版】湘教版数学八下1.7正方形 同步练习
一、选择题
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是 (　　)
A．一般的平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、一般的平行四边形，其对角线仅互相平分，不满足 “垂直且相等” 的条件，A不符合题意；
B、矩形，其对角线互相平分且相等，但不满足 “垂直” 的条件，B不符合题意；
C、菱形，其对角线互相平分且垂直，但不满足 “相等” 的条件，C不符合题意；
D、正方形，其对角线同时具备互相垂直、平分且相等的性质，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】四边形的对角线性质：平行四边形对角线互相平分，矩形对角线互相平分且相等，菱形对角线互相平分且垂直，正方形对角线同时满足互相垂直、平分、相等.
2．已知四边形 ABCD 是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD 是正方形，则需要添加条件 (　　)
A．AB=BC B．∠ABC=90° C．∠ADB=30° D．AC=AB
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD中AC⊥BD，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得ABCD是菱形；菱形判定为正方形的条件是 “有一个内角是直角” 或 “对角线相等”.
A、AB=BC，菱形本身邻边相等，此条件是菱形的固有性质，无法判定为正方形，A不符合题意；
B、∠ABC=90°，菱形中一个内角为直角，则所有内角均为直角，符合正方形的判定条件，B符合题意；
C、∠ADB=30°，仅说明菱形内的一个锐角，无法推出内角为直角或对角线相等，不能判定为正方形，C不符合题意；
D、AC=AB，仅说明对角线与边长相等，无法判定为正方形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定ABCD为菱形；再结合 “有一个内角是直角的菱形是正方形” 这一判定定理，逐一分析选项是否满足条件，从而得出结论.
3． 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：(1)有一个内角是直角，(2)对角线相等，
所以可添加条件∠ABC=90°或AC=BD.
故答案为：C.
【分析】菱形判定为正方形的两个核心条件（有一个内角是直角、对角线相等），逐一分析选项是否满足该条件即可得出结论.
4． 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 (　　)
A．AB⊥AD B．BC=CD C．AD=BC D．AB=CD
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、AB⊥AD，矩形本身就满足 “四个角都是直角”，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，A错误；
B、BC=CD，BC与CD是矩形的邻边，邻边相等的矩形是正方形，符合条件，B正确；
C、AD=BC，矩形的对边本身相等，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，C错误；
D、AB=CD，矩形的对边本身相等，此条件是矩形的固有性质，无法判定为正方形，D错误.
故答案为：B.
【分析】正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形.
5．（2024八下·卢龙期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　）
A．5 B． C．7 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，
故选D．
【分析】根据旋转性质可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，则AD=DC=5，再根据勾股定理即可求出答案.
6．（2025八下·德惠期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　　）
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得∠ADC＝90°，AD＝DC，再根据等边三角形性质可得DE＝DC，∠EDC＝60°，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为 2cm 的正方形ABCD沿对角线 BD 方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为 (　　)
A．1 cm B．2cm C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，
∴BD==2(cm).
由平移的性质可知，BB'=1 cm，
∴B'D=(2-1)cm.
故选：D.
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB'，计算即可.
8．（2025八下·白云期中）如图，正方形的边长为，过线段上的两点分别作和的垂线，则阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为，
根据正方形的轴对称性得：
，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质及轴对称的性质和三角形的面积公式列出算式求解即可.
二、填空题
9． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点 A落在BC上的点F 处，折痕为 BE.若沿EF 剪下，则四边形ABFE 是一个正方形，其数学原理是　 　.
【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由矩形 ABCD 可知，∠A=∠B=90°.
折叠后点 A 落在 BC 上的点 E 处，故 AB=BE.
沿 EF 剪下后，四边形 ABFE 有三个角是直角（∠A=∠B=∠EFB=90°），因此它是矩形.
又因为 AB=BE，根据 “有一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定四边形 ABFE 是正方形.
故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形.
【分析】先判定四边形 ABFE 是矩形；再利用 “邻边相等” 的条件，依据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形），即可得出结论.
10．（2024八下·邹平期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
11．（2025八下·衢州期末） 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
12．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
13．（2025八下·秦淮月考）将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：菱形的对角线分别为和，
菱形的面积，
正方形的边长是
故答案为：。
【分析】根据菱形的基本性质：对角线互相垂直平分，然后再根据菱形的面积公式：，代入数据求出菱形的面积，然后再根据菱形的面积和正方形的面积相等，再根据正方形的面积公式：，代入数据，即可求出正方形的边长。
14．（2024八下·覃塘期中）圆形餐桌的桌面直径为，桌子高度为，一张正方形桌布铺满桌面后，四个角正好触碰到地面，则这个正方形桌布的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即(米)，
设正方形边长是米，
则，
解得：，
所以正方形桌布的边长是米．
则这个正方形桌布的面积为，
故答案为：8．
【分析】
首先根据题意可知，正方形桌布的对角线长度等于圆形餐桌的直径加上两个高，即米，然后利用勾股定理求出正方形边长是米，最后根据正方形的面积公式即可求面积．
三、解答题
15．（2025八下·诸暨期末）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段AB的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，利用无刻度直尽作图，请完成下列各小题。
（1）在图①中，以AB为边作一个菱形ABCD（不是正方形），其中点C，D为格点；
（2）在图②中，以AB为边作正方形ABEF，其中点E，F为格点.
【答案】（1）解：如图①答案不唯一（只需要画出一种情况即可）
（2）解：如图②
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【作法】（1）①观察格点，确定AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得；
②在格点中寻找与AB长度相等的线段，连接格点，使得，确定点C；
③再连接格点，使得，，且四边形ABCD邻边不垂直（不是正方形），确定点D.
故菱形ABCD作出为所作的图形.
（2）①计算AB的长度：A到B横向距离为1，纵向距离为2，由勾股定理得；
②过点B作与AB垂直且长度为的线段BE：通过观察格点，找到满足垂直且长度要求的格点，确定点E；
③过点A作与AB垂直且长度为的线段AF，使得AF∥BE，EF∥AB，确定点F.
故正方形ABEF为所作的图形.
【分析】（1）根据菱形的定义（四边相等的平行四边形是菱形），通过勾股定理计算AB的长度，从而确定BC、CD、DA的位置，利用尺规即可作出所需菱形；
（2）根据正方形的定义（四边相等且四个角都是直角的四边形是正方形），通过勾股定理计算AB的长度，并分别作出BE、AF，确定E、F点， 利用尺规即可作出所需正方形.
16．（2024八下·凤山期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．
（1）用含有的式子表示图2中正方形的边长；
（2）当时，小正方形的面积是多少？
【答案】（1）解：图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是.

（2）解：由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形并利用线段的和差求出正方形的边长即可；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的面积公式求解即可.
（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，，
图2中正方形的边长是；
（2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边，
由勾股定理可知，当，时，，
小正方形的面积等于5．
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，交 AB 于点 D，过点 D 分别作 DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 DECF 为正方形；
（2）若 AC=6 cm，BC=8 cm，则四边形DECF 的边长为　 　.
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF为矩形.
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴四边形DECF为正方形.
（2） cm
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解： (2) ∵四边形DECF为正方形，
∴DF=FC=CE=DE.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===10(cm).
∵==，
∴==，解得AD=(cm)，
则BD=AB-AD=10-=(cm).
在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2=AD2-AF2；
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2=BD2-BE2.
设DF=FC=CE=DE=x cm，
则x2=()2-(6-x)2，x2=()2-(8-x)2，
∴()2-(6-x)2=()2-(8-x)2，
解得x=，
则四边形DECF的边长为 cm.
【分析】 (1) 先通过“三个角是直角”判定矩形；再结合“角平分线的性质”得到邻边相等，依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可得出结论；
(2) 利用“三角形面积的和差关系”建立方程，结合正方形的边长相等这一性质，即可求出边长.
18．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB， ∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°， ∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得AB=CB， ∠ABD=∠CBD，据此可利用SAS证明结论；
(2)由正方形的性质可得∠BAD=90°， ∠ADB=45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAE的度数即可得到答案.
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