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瓜豆原理
定义
瓜豆原理若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理
是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直
线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊
位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。
一、
点在直线上运动
知识点睛
类型一：点在直线上运动
1.线段+直线
己知：线段AB上A为直线！上的动点。C为线段AB中点，B为定点，A为动点。
结论：①点C的轨迹为A轨迹的一半；②C的轨迹与A的轨迹平行，
N
2.角+直线
己知：A为定点，B为主动点（在直线1上运动），C为从动点，并且A与B,C的连
线的夹角为定值为，且AB不等于AC
己知：A为定点，B为主动点（在直线1上运用），C为从动点，并且A与B,C的连
线的夹角为定值，且AB=AC
结论：
①C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是直线：
②B运动的直线和C运动的直线之间的夹角等于∠A:
③4B为一个定值k:④C运动的长度和B运动长度之比等于k:
AC
⑤若AB不等于AC,则有△ABM∽△AM'C,相似比为k;
⑥若AB=AC,则有△ABM≌△AM'C。
例1：当∠BAC=90°，AB=3AC,其中A为定点，点B在线段N上运动：
例题1
1
如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点D在AB边上（不与点A、B)重合，将△ACD绕点C
逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE,则△BDE周长的最小值是一cm
D
答案
(4+2V)
解析
.将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,
的
∴AD=BE,∠DCE=60°，CD=CE,
'.△CDE是等边三角形，
..CD=DE,
,△BDE周长=BD+BE+DE
=BD+AD+CD
=AB十CD
=4+CD,
'当CD有最小值时，△BDE周长有最小值，
.当CD⊥AB时，CD有最小值为2√，
'.△BDE周长的最小值为4+2√，
故答案为：(4+2W③)·
2
如图，在边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM,将线段BM绕
点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN,则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值
为
M
H
B
答案
解析
如图，取BC的中点G,连接MG,
N
M
H
.旋转角是60°，
'.∠MBH+∠HBN=60°
又.'∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
'.∠HBN=∠GBM
.CH是等边△ABC的对称轴，
HB=号AB,
∴HB=BG,
又BM旋转到BN,
∴BM=BN,
在△MBG和△NBH中，
BG=BH
∠MBG=∠NBH,
MB-NB
'△MBG≌△NBH(SAS),
∴MG=NH,
∵根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=号×060=30°，CG=号4AB=号×2a=a,
MG-0G-1
1
a=
2
:HN=2
3
如图PB=4,点A为动点，PA=√2，以AB一边作正方形ABCD,则PD的最大值是N
瓜豆原理
定义
瓜豆原理若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理
是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直
线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊
位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。
一、
点在直线上运动
知识点睛
类型一：点在直线上运动
1.线段+直线
己知：线段AB上A为直线1上的动点。C为线段AB中点，B为定点，A为动点。
结论：①点C的轨迹为A轨迹的一半；②C的轨迹与A的轨迹平行，
N
2.角+直线
己知：A为定点，B为主动点（在直线1上运动），C为从动点，并且A与B,C的连
线的夹角为定值为，且AB不等于AC
己知：A为定点，B为主动点（在直线1上运用），C为从动点，并且A与B,C的连
线的夹角为定值，且AB=AC
结论：
①C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是直线：
②B运动的直线和C运动的直线之间的夹角等于∠A:
③4B为一个定值k:④C运动的长度和B运动长度之比等于k:
AC
⑤若AB不等于AC,则有△ABM∽△AM'C,相似比为k;
⑥若AB=AC,则有△ABM≌△AM'C。
例1：当∠BAC=90°，AB=V3AC,其中A为定点，点B在线段MN上运动：
例题1
1
如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点D在AB边上（不与点A、B)重合，将△ACD绕点C
逆时针方向旋转6O°得到△BCE,连接DE,则△BDE周长的最小值是一cm
D
N
2
如图，在边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM,将线段BM绕
点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN,则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值
为
M
H
B
3
如图PB=4,点A为动点，PA=√2，以AB一边作正方形ABCD,则PD的最大值是
D
B
在平面直角坐标系中，A(1,0),B(O,√)，过点B作直线BC/x轴，点P是直线BC上的一个动
点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ.使∠APQ=90°，且AP:PQ=1:√3，连结AB、BQ,则
△ABQ周长的最小值为一·
N
5
如图，在△ABC中，AC=BC=12,∠BCA=60°，ADLBC,E是线段AD上的一个动点，连接
EC,将线段EC绕点C按逆时针方向旋转30°得到FC,若以D为坐标原点，BC为x轴（向有为
正)，DA为轴（向上为正），则F点所在直线线解析式是一，BF的最小值是
C
F
6
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BC=5,点D是线段BC上一动点，连接AD,以
AD为边作△ADE,使△ADE∽△ABC,则△ADE的最小面积与最大面积之比等于
B D
7
如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A,四边形ABCD为正方形，P为射线
BM上一动点，连结CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE,连结BE,若AB=√，则B的
最小值为一·
B
D

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