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北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·坪山期末） 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往.下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·长沙开学考）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
3．（2025八下·龙岗期中）如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·宁波期中）为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作关于的对称点，得到.如图，则下列结论不成立的是(　　)
A．点与点是对称点 B．
C． D．
5．（2024八下·三元期中）如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·惠阳期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七上·宣化期中）如图，教室的地面上，有个倾斜的畚箕（běnjī），箕面与地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·台儿庄期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2026八上·桂林期末）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上.若AC=6，则CE=　 　.
10．（2026八上·南湖期末）把点A(-a，a-1)先向右平移3个单位长度得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，若点C在第二象限，则整数a的值为　 　．
11．（2025八下·顺德期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为　 　．
12．（2025八下·龙岗期中）如图，利用两个含的全等直角三角板做旋转运动，绕着直角顶点将其中一块三角板逆时针旋转，使得点恰好在上．若，则　 　．
13．（2024八下·金华期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·顺德期中）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
（1）将向左平移4格，画出平移后的对应；
（2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
（3）第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________．
15．在 的网格内摆放着一个阴影三角形如图①． 请在网格内通过平移或对折或旋转的方式将此三角形摆放到图⑥的位置， 最多不超过 4 次摆放， 并在图②至图 ⑤ 中画出你的摆放过程．
16．（2024八下·赣榆月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
17．（2025八下·通川月考）如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
18．（2025八上·宁波开学考）如图，在中，，，D，E是斜边BC上两点，且，若，，，求与的面积之和.
19．（2024八下·南昌期末）南昌市在2024年对部分旧城区地下管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．
（1）求改造前原有管道的长度是多少？
（2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？
20．（2024八下·深圳期中）阅读材料，并解决问题：
（1）方法指引
如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______°；
（2）知识迁移
已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B.
∴将点B(3，1)先向上移动6个格子，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为(5，7)
综上所述，只有选项C正确，符合题意；
故选：C.
【分析】上下平移只改变点的纵坐标，上加下减：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可.
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
∵图1中点P的坐标为，
∴图2中点的坐标为，
故答案为：D．
【分析】本题考查坐标与图形平移的规律，首先需明确图形的平移方式。观察图象可知，图②是由图①向右平移个单位，再向下平移个单位得到，平移规律为“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。已知图①中点的坐标为，按照平移规律计算，横坐标加得，纵坐标减得，因此对应点的坐标为。
4．【答案】D
【知识点】中心对称图形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与点A'是对称点，BO=B'O，∠AOB=∠A'OB，
∴A，B，C结论成立，D结论不成立，
故答案为：D.
【分析】理解中心对称的定义和性质，即图形绕某一点旋转180度后与原图形重合，对称点到对称中心的距离相等，且对称点的连线被对称中心平分.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知，∠BAD=150°，AB=AD，∠E=∠ACB，
∴∠B=∠ADC，
∴∠ADC=(180°-∠BAD)÷2=15°，
∵∠BAC=100°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°，
∴∠ACB=∠E=∠CAD+∠ADC=65°，
故答案为：C.
【分析】由图象旋转的性质可得∠BAD=150°，AB=AD，∠E=∠ACB，可求得∠ADC=15°，由∠BAC=100°可得∠CAD=50°，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠E=∠CAD+∠ADC，即可得出结论.
6．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，
米，米，
长方形的面积平方米．
∴绿化的面积为．
故答案为：D．
【分析】利用平移的性质将原图变形为新的长方形为长方形，再求出CF和CG的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用旋转的定义及角的运算求出即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据旋转性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，。
在中，且，
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
故答案为：6
【分析】本题考查旋转变换的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出和，结合等边三角形的判定条件（有一个角是的等腰三角形是等边三角形），可判定为等边三角形，再依据等边三角形三边相等的性质，得出，进而求出CE的长度。
10．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，向右平移个单位后点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为．
点在第二象限，则，
解得，
由于为整数，因此，
验证：当时，点的坐标为，满足第二象限条件．
故答案为：．
【分析】点向右平移个单位得到点，再作点关于轴的对称点，根据点在第二象限的条件列出不等式组，求解的取值范围，结合整数条件确定的值.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由旋转可知，，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，首先连接，由绕点C顺时针旋转得，根据旋转性质得，，据此判定为等边三角形；再由是等边三角形，得，，推出，通过SAS证明，得到；结合求出，在中利用勾股定理求出的长，即可得到的长。
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵含的全等直角三角板，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查旋转的性质、含角直角三角形的性质以及勾股定理。由全等直角三角板可知，，旋转后对应边相等，故；在含角的直角三角形中，斜边是角对边的2倍，因此；在中，根据勾股定理，代入、，可得。
13．【答案】60；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作延长线交于点P，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点H，
∵，
∴，
∴
∴
由勾股定理得，
∴，
∴；
设，则；，，
∵，
由勾股定理得：，
即：，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：60，．
【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，由勾股定理得，根据，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
14．【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转；扇形的面积
【解析】【解答】（3）根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
【分析】本题考查平面直角坐标系中的平移变换、旋转变换和扇形面积的计算。
（1）进行平移变换时，将的三个顶点分别向左平移4格，得到对应点、、，依次连接各点即可得到平移后的三角形；
（2）进行旋转变换时，将点、分别绕点顺时针旋转，作出对应点、，依次连接、、即可得到旋转后的三角形；
（3）边旋转扫过的图形是以为圆心、为半径的圆心角为的扇形，先利用勾股定理求出，再根据扇形面积公式（），代入计算即可得到扫过的面积。
（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
15．【答案】解：如图
【知识点】利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【分析】利用平移和旋转，按要求摆放图形即可.
16．【答案】解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转度后得到，
，
∵在中，，，
，
是等边三角形，
，则n的值为60；
（2），
，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；余角
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AC=CD，再利用角度的和差运算得到，即可证明△DAC是等边三角形，从而求得旋转角n的度数，解答即可；
（2）利用角度的和差运算得到，从而得到△DFC是含30°角的直角三角形，即可求得DF，解答即可.
17．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出，，再根据旋转的性质求出，，最后根据勾股定理计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
（2）解：过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
18．【答案】解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠ABC =∠ACB=45°， ∠DAE=45°，
如图， 将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB， 过点A作AH⊥BC于H，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠ABF =∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE， AE= AF，
∴∠FBE =45°+45°= 90°， BF =CE，
∵∠DAE = 45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△DAE和△DAF中，
∴△DAE≌△DAF(SAS)，
∴DE=DF，
∵BD=3， CE=4，
∴DE=5，
∴BC =BD+DE+CE=12，
∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AH⊥BC，
∴△ABD与△AEC的面积之和
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 顺时针方向旋转 得到过点A作 于H，得出 ，由“SAS”可证 由全等三角形的判定与性质得出DE=DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案.
19．【答案】（1）解：由图可知，改造前原有管道的长度．
答：改造前原有管道的长度是；
（2）解：过点B作于点C，
解：根据图形可知，，
，
根据勾股定理得：，
改造后A、B之间的管道长度减少了：
，
答：改造后A、B之间的管道长度减少．
【知识点】勾股定理的应用；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）过点B作于点C，根据勾股定理求出，然后用改造前的长度减去改造后的长度即可得到答案．
20．【答案】解：（1）等边；
（2）如图，把绕点逆时针旋转得到：
∵，，
∴，
由旋转的性质得：，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：在Rt△E'CF中，，
∵CE'=BE
∴．
（3）如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
如图所示：
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，
∴，
∵，，，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴、、、四点共线，
在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ABP绕顶点A旋转到△ACP'
∴∠PAP'=∠BAC；AP=AP'
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠PAP'=60°
∵AP=AP'
∴△PAP'是等边三角形
∴∠AP'P=60°
∵，
∴、、，
∵PC=5且
∴
∴∠PP'C=90°
∵∠AP'P=60°
∴
∴∠APB=150°
故答案为：等边；；
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质：旋转前后对应线段相等，对应角相等，由题意△ABP绕顶点A旋转到△ACP'可知：且旋转角∠PAP'=∠BAC；AP=AP'，再由等边三角形的性质：三边相等，三个角相等都是60°，可知：∠BAC=60°，等量代换得：∠PAP'=60°，结合AP=AP'和等边三角形判定可知：△PAP'是等边三角形，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：、，PC=5，由勾股定理逆定理： 如果三角形的一条边的平方和等于其他两条边的平方和，那么这个三角形就是直角三角形可知：△PP'C是直角三角形，即∠PP'C=90°，再由∠AP'P=60°，结合角的和差运算可知：，根据全等三角形对应角相等可知：∠AP'C=∠APB等量代换可得：∠APB=150°，即可得出答案；
（2）由等腰直角三角形的性质：等边对等角可知：∠B=∠ACB=45°，把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质：旋转前后对应角相等，对应边相等可知：，，，，，再根据角的和差运算求出，从而得到，根据全等三角形的判定定理“边角边”可证明和全等，再根据全等三角形性质：对应边相等可得，再利用勾股定理：在Rt△E'CF中，，再结合CE'=BE，等量代换即可证得结论．
（3）将绕点顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是，求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
1 / 1北师大版数学八年级下册第三单元图形的平移与旋转单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·坪山期末） 中国纹样是中华文化瑰宝之一，它种类繁多，寓意着人们对美好生活的祝福和向往.下列四幅纹样，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八上·长沙开学考）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B.
∴将点B(3，1)先向上移动6个格子，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为(5，7)
综上所述，只有选项C正确，符合题意；
故选：C.
【分析】上下平移只改变点的纵坐标，上加下减：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可.
3．（2025八下·龙岗期中）如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
∵图1中点P的坐标为，
∴图2中点的坐标为，
故答案为：D．
【分析】本题考查坐标与图形平移的规律，首先需明确图形的平移方式。观察图象可知，图②是由图①向右平移个单位，再向下平移个单位得到，平移规律为“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”。已知图①中点的坐标为，按照平移规律计算，横坐标加得，纵坐标减得，因此对应点的坐标为。
4．（2025八下·宁波期中）为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作关于的对称点，得到.如图，则下列结论不成立的是(　　)
A．点与点是对称点 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，
∴点A与点A'是对称点，BO=B'O，∠AOB=∠A'OB，
∴A，B，C结论成立，D结论不成立，
故答案为：D.
【分析】理解中心对称的定义和性质，即图形绕某一点旋转180度后与原图形重合，对称点到对称中心的距离相等，且对称点的连线被对称中心平分.
5．（2024八下·三元期中）如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知，∠BAD=150°，AB=AD，∠E=∠ACB，
∴∠B=∠ADC，
∴∠ADC=(180°-∠BAD)÷2=15°，
∵∠BAC=100°，
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=50°，
∴∠ACB=∠E=∠CAD+∠ADC=65°，
故答案为：C.
【分析】由图象旋转的性质可得∠BAD=150°，AB=AD，∠E=∠ACB，可求得∠ADC=15°，由∠BAC=100°可得∠CAD=50°，由三角形外角的性质可得∠ACB=∠E=∠CAD+∠ADC，即可得出结论.
6．（2025七下·惠阳期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，
米，米，
长方形的面积平方米．
∴绿化的面积为．
故答案为：D．
【分析】利用平移的性质将原图变形为新的长方形为长方形，再求出CF和CG的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
7．（2025七上·宣化期中）如图，教室的地面上，有个倾斜的畚箕（běnjī），箕面与地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用旋转的定义及角的运算求出即可．
8．（2023八下·台儿庄期末）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据旋转性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2026八上·桂林期末）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上.若AC=6，则CE=　 　.
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，。
在中，且，
∴是等边三角形，
∴
又∵，
∴
故答案为：6
【分析】本题考查旋转变换的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出和，结合等边三角形的判定条件（有一个角是的等腰三角形是等边三角形），可判定为等边三角形，再依据等边三角形三边相等的性质，得出，进而求出CE的长度。
10．（2026八上·南湖期末）把点A(-a，a-1)先向右平移3个单位长度得到点B，再作点B关于y轴的对称点C，若点C在第二象限，则整数a的值为　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，向右平移个单位后点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为．
点在第二象限，则，
解得，
由于为整数，因此，
验证：当时，点的坐标为，满足第二象限条件．
故答案为：．
【分析】点向右平移个单位得到点，再作点关于轴的对称点，根据点在第二象限的条件列出不等式组，求解的取值范围，结合整数条件确定的值.
11．（2025八下·顺德期中）如图，四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由旋转可知，，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，首先连接，由绕点C顺时针旋转得，根据旋转性质得，，据此判定为等边三角形；再由是等边三角形，得，，推出，通过SAS证明，得到；结合求出，在中利用勾股定理求出的长，即可得到的长。
12．（2025八下·龙岗期中）如图，利用两个含的全等直角三角板做旋转运动，绕着直角顶点将其中一块三角板逆时针旋转，使得点恰好在上．若，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵含的全等直角三角板，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题考查旋转的性质、含角直角三角形的性质以及勾股定理。由全等直角三角板可知，，旋转后对应边相等，故；在含角的直角三角形中，斜边是角对边的2倍，因此；在中，根据勾股定理，代入、，可得。
13．（2024八下·金华期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），AC=BD，AF∥BE，∠BAF=60°，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长到CD'．已知直线BE⊥B'E'，垂足为K，CD'=5CD，BK=28+ ，那么AB的长为　 　cm，的长为　 　cm.
【答案】60；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作延长线交于点P，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点H，
∵，
∴，
∴
∴
由勾股定理得，
∴，
∴；
设，则；，，
∵，
由勾股定理得：，
即：，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：60，．
【分析】过A作延长线交于点P，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点H，由勾股定理得，根据，即可得出的长，设，则，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·顺德期中）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
（1）将向左平移4格，画出平移后的对应；
（2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
（3）第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________．
【答案】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转；扇形的面积
【解析】【解答】（3）根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
【分析】本题考查平面直角坐标系中的平移变换、旋转变换和扇形面积的计算。
（1）进行平移变换时，将的三个顶点分别向左平移4格，得到对应点、、，依次连接各点即可得到平移后的三角形；
（2）进行旋转变换时，将点、分别绕点顺时针旋转，作出对应点、，依次连接、、即可得到旋转后的三角形；
（3）边旋转扫过的图形是以为圆心、为半径的圆心角为的扇形，先利用勾股定理求出，再根据扇形面积公式（），代入计算即可得到扫过的面积。
（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）根据题意得，
∵绕点顺时针旋转得到
∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆
∴旋转过程中边“扫过”的面积为．
15．在 的网格内摆放着一个阴影三角形如图①． 请在网格内通过平移或对折或旋转的方式将此三角形摆放到图⑥的位置， 最多不超过 4 次摆放， 并在图②至图 ⑤ 中画出你的摆放过程．
【答案】解：如图
【知识点】利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【分析】利用平移和旋转，按要求摆放图形即可.
16．（2024八下·赣榆月考）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
【答案】解：（1）∵将绕点按逆时针方向旋转度后得到，
，
∵在中，，，
，
是等边三角形，
，则n的值为60；
（2），
，
，
，
，
，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；余角
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到AC=CD，再利用角度的和差运算得到，即可证明△DAC是等边三角形，从而求得旋转角n的度数，解答即可；
（2）利用角度的和差运算得到，从而得到△DFC是含30°角的直角三角形，即可求得DF，解答即可.
17．（2025八下·通川月考）如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出，，再根据旋转的性质求出，，最后根据勾股定理计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
（2）解：过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
18．（2025八上·宁波开学考）如图，在中，，，D，E是斜边BC上两点，且，若，，，求与的面积之和.
【答案】解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠ABC =∠ACB=45°， ∠DAE=45°，
如图， 将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB， 过点A作AH⊥BC于H，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠ABF =∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE， AE= AF，
∴∠FBE =45°+45°= 90°， BF =CE，
∵∠DAE = 45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△DAE和△DAF中，
∴△DAE≌△DAF(SAS)，
∴DE=DF，
∵BD=3， CE=4，
∴DE=5，
∴BC =BD+DE+CE=12，
∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AH⊥BC，
∴△ABD与△AEC的面积之和
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 顺时针方向旋转 得到过点A作 于H，得出 ，由“SAS”可证 由全等三角形的判定与性质得出DE=DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案.
19．（2024八下·南昌期末）南昌市在2024年对部分旧城区地下管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）．
（1）求改造前原有管道的长度是多少？
（2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？
【答案】（1）解：由图可知，改造前原有管道的长度．
答：改造前原有管道的长度是；
（2）解：过点B作于点C，
解：根据图形可知，，
，
根据勾股定理得：，
改造后A、B之间的管道长度减少了：
，
答：改造后A、B之间的管道长度减少．
【知识点】勾股定理的应用；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）过点B作于点C，根据勾股定理求出，然后用改造前的长度减去改造后的长度即可得到答案．
20．（2024八下·深圳期中）阅读材料，并解决问题：
（1）方法指引
如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为，，，求的度数．
解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______°；
（2）知识迁移
已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：；
（3）能力提升
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求出的值．
【答案】解：（1）等边；
（2）如图，把绕点逆时针旋转得到：
∵，，
∴，
由旋转的性质得：，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：在Rt△E'CF中，，
∵CE'=BE
∴．
（3）如图，将绕点顺时针旋转至处，连接，
如图所示：
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，
∴，
∵，，，
∴，
∵绕点顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴、、、四点共线，
在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ABP绕顶点A旋转到△ACP'
∴∠PAP'=∠BAC；AP=AP'
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∴∠PAP'=60°
∵AP=AP'
∴△PAP'是等边三角形
∴∠AP'P=60°
∵，
∴、、，
∵PC=5且
∴
∴∠PP'C=90°
∵∠AP'P=60°
∴
∴∠APB=150°
故答案为：等边；；
【分析】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
（1）根据旋转的性质：旋转前后对应线段相等，对应角相等，由题意△ABP绕顶点A旋转到△ACP'可知：且旋转角∠PAP'=∠BAC；AP=AP'，再由等边三角形的性质：三边相等，三个角相等都是60°，可知：∠BAC=60°，等量代换得：∠PAP'=60°，结合AP=AP'和等边三角形判定可知：△PAP'是等边三角形，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：、，PC=5，由勾股定理逆定理： 如果三角形的一条边的平方和等于其他两条边的平方和，那么这个三角形就是直角三角形可知：△PP'C是直角三角形，即∠PP'C=90°，再由∠AP'P=60°，结合角的和差运算可知：，根据全等三角形对应角相等可知：∠AP'C=∠APB等量代换可得：∠APB=150°，即可得出答案；
（2）由等腰直角三角形的性质：等边对等角可知：∠B=∠ACB=45°，把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质：旋转前后对应角相等，对应边相等可知：，，，，，再根据角的和差运算求出，从而得到，根据全等三角形的判定定理“边角边”可证明和全等，再根据全等三角形性质：对应边相等可得，再利用勾股定理：在Rt△E'CF中，，再结合CE'=BE，等量代换即可证得结论．
（3）将绕点顺时针旋转至处，连接，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，等边三角形三个角都是，求出，然后求出、、、四点共线，再利用勾股定理列式求出，从而得到．
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