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第四章三角形综合测试卷
时间：100分钟　满分：120分　得分：__________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，则∠A＝（　　）
A．68° B．58°
C．48° D．38°
2．（2025海南）已知三角形三条边的长分别为3，5，x，则x的值可能是（　　）
A．2 B．5
C．8 D．11
3．用一块含45°角的透明直角三角尺画出△ABC在边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　）
4．如图1，已知△ABE≌△DCE，AE＝5 cm，BE＝2 cm，则DE的长为（　　）
图1
A．2 cm B．3 cm
C．7 cm D．5 cm
5．在△ABC中，若三个内角的度数之比为∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
6．（2025青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　　）
图2
A．AAS B．SAS
C．SSS D．ASA
7．如图3，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE⊥AC于点E.若S△ABC＝12 cm2，AC＝3 cm，则DE的长为（　　）
图3
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
8．丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图4所示的四块，现要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以带上碎片（　　）
图4
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9．如图5，已知AD，BC相交于点O，∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，下列结论错误的是（　　）
图5
A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．OC＝OD D．∠1＝∠CAO
10．如图6，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AE＝CF.若∠FCD＝30°，∠A＝80°，则∠DBE的度数是（　　）
图6
A．100° B．110° C．120° D．130°
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图7，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是___________________．
图7
12．如图8，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF成立，则可添加的条件是__________________．（写出一个即可）
图8
13．如图9，在△ABC中，E是边BC的中点，AB＝7 cm，AC＝10 cm，△ACE的周长是25 cm，则△ABE的周长是__________cm.
图9
14．如图10，∠B＝∠D，DE＝BC.若AB＝5 cm，AC＝2 cm，则CD的长是__________cm.
图10
15．如图11，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，得到△A′ED，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为__________．
图11
三、解答题：本大题共8小题，共75分．
16．（7分）（RJ八上P59 T3）如图12，AB＝AC，AD＝BD＝AE＝CE.求证：∠D＝∠E.
图12
17．（7分）（RJ八上P16 T3改编）在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，求△ABC的各内角的度数．
18．（7分）（RJ八上P59 T9）如图13，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地．C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等吗？请说明理由．
图13
19．（9分）如图14，已知线段a和∠α.用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形ABC，使其腰长AB＝AC＝a，顶角∠A＝∠α.（保留作图痕迹，不写作法）
图14
20．（9分）八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆的高度AB的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量体育馆的高度AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案 示意图 图15
测量步骤 如图15，①在体育馆外，选定一点C； ②测量在C处观察体育馆顶点A的视线AC与地面的夹角∠ACB； ③测量BC的长度； ④放置一根与BC长度相同的标杆DE，DE垂直于地面； ⑤测量在C处观察标杆顶部E的视线CE与地面的夹角∠ECD； ⑥测量CD的长度．
测量数据 ∠ACB＝72.2°，∠ECD＝17.8°，BC＝DE＝2.5 m，CD＝8 m．
请你根据兴趣小组的测量方案及数据，求出体育馆的高度AB.
21．（9分）（RJ八上P46 T17改编）如图16，在△ABC中，D为边AB上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF.
（1）求证：AB∥CF；
（2）若∠B＝50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数．
图16
22．（13分）【问题解决】如图17①，在△ABC（∠C＞∠B）中，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为线段AE上一点，且FD⊥BC于点D.
（1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数．
【问题初探】（2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）中的计算猜想∠EFD，∠B，∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由．（用含有α，β的式子表示∠EFD）
【拓展探究】（3）如图17②，若点F在AE的延长线上，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
图17
23．（14分）如图18，在△ABC中，∠A＝∠B，AC＝BC＝20 cm，AB＝16 cm，D为AC的中点．在线段AB上有一点P，以6 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，在线段BC上有一点Q，由点B向点C匀速运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，两点运动1 s后，△APD与△BPQ是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△APD与△BPQ全等？
　　
图18　　　　　　　　 备用图
1．B　2．B　3．C　4．D　5．B　6．C　7．C　8．A　9．D　10．B
11．三角形的稳定性　12．∠A＝∠D(答案不唯一)　13．22　14．3　15．120°　
16．证明：在△ADB和△AEC中，
所以△ADB≌△AEC(SSS)．所以∠D＝∠E．
17．解：因为∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，
所以∠C＝∠A＋10°＋10°＝∠A＋20°．
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＋∠A＋10°＋∠A＋20°＝180°．解得∠A＝50°．
所以∠B＝∠A＋10°＝60°，∠C＝∠A＋20°＝70°．
18．解：C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等．
理由：由题意可知，AC＝BD，AC∥BD，CE⊥AB，DF⊥AB．
所以∠AEC＝∠BFD＝90°，∠A＝∠B．
在△AEC和△BFD中，
所以△AEC≌△BFD(AAS)．
所以CE＝DF，即C，D两地到路段AB的距离CE，DF相等．
19．解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
20．解：由题意可知，∠ECD＝17.8°，∠ABC＝∠CDE＝90°．
所以∠CED＝90°－∠ECD＝72.2°＝∠ACB．
在△ABC和△CDE中，
所以△ABC≌△CDE(ASA)．所以AB＝CD＝8 m．
答：体育馆的高度AB为8 m．
21．(1)证明：因为E为AC的中点，所以AE＝CE．
在△AED和△CEF中，
所以△AED≌△CEF(SAS)．
所以∠A＝∠ECF．所以AB∥CF．
(2)解：因为AC平分∠BCF，所以∠BCA＝∠ECF．
由(1)知，∠A＝∠ECF．所以∠A＝∠BCA．
因为∠B＝50°，所以∠A＝×(180°－∠B)＝65°．
22．解：(1)因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(35°＋75°)＝70°．
因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝∠BAC＝35°．
所以∠FED＝180°－(∠CAE＋∠C)＝180°－(35°＋75°)＝70°．
因为FD⊥BC，所以∠EDF＝90°．
所以∠EFD＝90°－∠FED＝90°－70°＝20°．
(2)∠EFD＝(β－α)．
(3)成立．理由如下：
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(α＋β)．
因为AE平分∠BAC，
所以∠CAE＝∠BAC＝90°－(α＋β)．
所以∠FED＝∠AEC＝180°－(∠CAE＋∠C)＝180°－＝180°－＝90°＋α－β．
因为FD⊥BC，所以∠EDF＝90°．
所以∠EFD＝90°－∠FED＝90°－＝(β－α)．
23．解：(1)△APD与△BPQ全等．理由如下：
因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
所以当两点运动1 s后，AP＝BQ＝6．
因为AC＝20，D为AC的中点，所以AD＝AC＝10．
因为AB＝16，所以BP＝AB－AP＝16－6＝10．所以AD＝BP．
在△ADP和△BPQ中，
所以△ADP≌△BPQ(SAS)．
(2)因为点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以AP≠BQ．
因为∠A＝∠B，所以要使△APD与△BPQ全等，则△ADP≌△BQP．
此时，AP＝BP＝8，AD＝BQ＝10．
所以点P的运动时间为8÷6＝(s)．
所以点Q的运动速度为10÷＝(cm/s)．
所以当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△APD与△BPQ全等．

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