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(共23张PPT)
第二十章　章末复习
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.如图1，正方形B，C的面积分别为36，64，则正方形A的面积为（　　）
A.25
B.49
C.81
D.100
图1
D
2.下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角三角形的是（　　）
A.6，9 B.9，15 C.10，16 D.15，18
B
3.（2025广州期末）如图2，已知长方形OABC的边OA在数轴的正半轴上，O为原点，BC=3，AB=1，连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则D点对应的数为（　　）
A.2 B. C. D.
图2
B
4.如图3，AC是电线杆的一根拉线，测得BC=4 m，∠ACB=60°，则AB的长为（　　）
A.8 m B.4m C.6 m D.2m
图3
B
5.一个门框的尺寸如图4所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板　　　　 （填“能”或“不能”）从门框内通过.
图4
能
6.如图5，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点
A，B，C都在格点上，则△ABC的边BC上的高为　　　　.
图5
7.如图6，∠B=90°，AB=16 cm，BC=12 cm，AD=21 cm，CD=29 cm，求四边形ABCD的面积.
图6
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=16，BC=12，
∴AC==20.
在△ACD中，AD=21，CD=29，AC=20，
∴212+202=841=292，即AD2+AC2=CD2.
∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·AC=
×16×12+×21×20=306（cm2）.
∴四边形ABCD的面积为306 cm2.
能力提升
8.（2025宁波模拟）如图7，在△ABC中，AB=10，AC=8.在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连接PB，PC，则PB2-PC2的值为（　　）
A.6 B.18 C.36 D.72
图7
C
9.如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　）
A. B. C.2 D.3
图8
C
10.如图9，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
图9
C
11.如图10，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为
　　　　 .
图10
4 dm
12.图11①是一座吊桥的结构原理图，图11②是它的示意图.把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴点B在竖直平面内转动，在点B正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB=BC.人竖直站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面BE的距离为1.5 m.（假设绳子始终拉直）
①　　　 　　　　　②
图11
解：如答图1，过点D作DF⊥BC于点F.
由题意知，∠ABC=90°，BC=AB=7.5，DE=BF=1.5.
∵AE=15.5，∴BE=AE-AB=8.
∴DF=BE=8.∴CF=BC-BF=6.
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得
CD==10（m）.
∴定滑轮C到点D的绳长为10 m.
答图1
（1）若AB=7.5 m，AE=15.5 m，求从定滑轮C到点D的绳长；
解：由题意知，DF=BE=12，DE=BF=1.5.
∴CF=BC-BF=AB-1.5.
∵CD比BC长6.5 m，
∴CD=BC+6.5=AB+6.5.
在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，
∴（AB-1.5）2+122=（AB+6.5）2.
解得AB=6.5.∴桥面的宽AB长为6.5 m.
（2）若BE的长为12 m，CD比BC长6.5 m，求桥面的宽AB.
思维拓展
13.如图12①，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高线，CD=1，AD=4.P是射线DA上的一点，作PE⊥BC于点E，连接DE.
（1）AB=　　　　，BD=　　　　，BC=　　　　 .
12①
5
3
解：分以下两种情况：
①如答图2，当DE=CD=1时，
则∠DEC=∠C.
∵PE⊥BC，∴∠DEC+∠PED=∠PEC=90°.
∴∠C+∠CPE=90°.
∴∠CPE=∠PED.∴DP=DE=1.
答图2
（2）当点P在线段AD上时，若△CDE是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的DP的长度.
②如答图3，当CE=CD=1时.
在△CPE和△CBD中，
∴△CPE≌△CBD（ASA）.
∴CP=CB=.∴DP=CP-CD=-1.
综上，DP=1或-1.
答图3
（3）如图12②，设PE交直线AB于点F，连接DF，BP，若S△DAF∶
S△DBA=3∶5，则BP的长为　　 　　.
12②
或
【提示】分以下两种情况：
①如答图4，当点P在线段AD上.
∵S△DAF∶S△DBA=3∶5，∴AF∶AB=3∶5.
∵AB=5，∴AF=3.
∵PE⊥BC∴∠EPC+∠C=90°∠BFE+∠FBE=90°.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∴∠EPC=∠BFE.
∵∠EPC=∠APF，∴∠APF=∠AFP.
∴△APF是等腰三角形.∴AP=AF=3，PD=4-3=1.
∴BP=.
②如答图5，当点P在射线DA上.
同理可得AP=AF=3.∴PD=3+4=7.
∴BP=.
综上，BP的长为.
答图5(共13张PPT)
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
微专题2　利用勾股定理解决最短路径问题
基础过关
1.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，BD=13，P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（　　）
A.6 B.5 C.13 D.12
图1
B
2.如图2，要为一段高5 m、斜长13 m的楼梯铺上红地毯，则至少需要红地毯的长度是（　　）
A.5 m B.12 m C.13 m D.17 m
图2
D
3.如图3，在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的值最小为　　　　.
图3
5
4.如图4，一只蚂蚁从圆柱的下底面点A沿着侧面爬到上底面点B，已知该圆柱的底面半径为2 cm，高为6 cm，则蚂蚁爬行的最短路径的长是　　　　（π取3）.
图4
6 cm
5.如图5，四边形ABCD是长方形地面，长AB=10 m，宽AD=5 m，中间竖有一堵砖墙，其高度MN=1 m.一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的最短路程是　　　　.
图5
13 m
能力提升
6.如图6，在学校工地上有一根空心钢管，其外表面距离左侧管口 2 cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5 cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18 cm，长为15 cm，则小蜘蛛需要爬行的最短路程是（　　）
A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.15 cm
图6
D
7.如图7，一长方体包装盒的长为12 cm，宽为8 cm，高为16 cm，点B到点C的距离为 4 cm，一只蚂蚁若要沿着包装盒的外表面以2 cm/s从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，则它需要爬行的最短时间是（　　）
A.10 s
B.2 s
C.14 s
D.2 s
图7
A
8.如图8，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，Q为BC的中点，P为边AC上一动点，则△PBQ周长的最小值为　　　.（结果保留根号）
图8
1+
思维拓展
9.图9是由3个棱长均为1的正方体堆积而成的几何体，一只蚂蚁沿几何体表面从底端的顶点A处爬行到顶端的顶点B处，则它爬行的最短路程为　　　　.
图9(共13张PPT)
第3课时　勾股定理的应用（二）——几何问题
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.在平面直面坐标系中，已知A（6，0），B（0，-8）两点，则线段AB的长为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.14
C
2.把一个边长为2的正方形按如图1所示的方式放置在数轴上，以数轴原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A对应的数为（　　）
A.-
B.--1
C.-2
D.-3
图1
C
3.如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为（　　）
A.-2
B.
C.+2
D.-+2
图2
A
4.如图3，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格的格点上，则边BC上的高为（　　）
A.
B.
C.2
D.2
图3
B
5.如图4，在数轴上作出表示实数的点.（不写作法，保留作图痕迹）
图4
解：如答图1，点E即为所求.
答图1
能力提升
6.如图5，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）
A.-1 B.3- C. D.
图5
B
7.“在△ABC中，AB，BC，AC的长分别为，求这个三角形的面积.”小明在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出△ABC（三个顶点都在格点处）如图6①所示.这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出△ABC面积的方法叫做构图法.
（1）图6①中△ABC的面积为　　　　 ；
图6①
3.5
（2）若△DEF中有两边的长分别为，且△DEF的面积为3，运用构图法在图6②的网格中（每个小正方形的边长均为1）画出一个符合题意的△DEF，此时它的第三条边长为　　　　.
图6②
2
答图2
解：（2）如答图2，
△DEF即为所求.
思维拓展
8.如图7，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰直角三角形ADE，……依此类推，则第2 026个等腰直角三角形的斜边长是　　　　.
图7
21 013(共11张PPT)
第5课时　勾股定理的逆定理的应用
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.如图1，OA=6，OB=8，AB=10，点A在点O的北偏西50°方向上，则点B在点O的（　　）
A.北偏东40°方向上
B.北偏东50°方向上
C.南偏东40°方向上
D.南偏东50°方向上 　　　　　　 　　　　 　
图1
A
2.下列四个三角形都在边长为1的小正方形组成的网格中，且每个三角形的顶点都在格点上，则其中是直角三角形的是（　　）
C
3.图2①是某品牌的婴儿车，图2②为其简化后的结构示意图.根据合格标准需满足BC⊥CD，现测得AB=8 dm，BC=9 dm，CD=12 dm，AD=17 dm，其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接（即∠ABD=90°），请通过计算说明该婴儿车是否符合合格标准.
图2
解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=8，AD=17，
根据勾股定理，得BD2=AD2-AB2=225.
在△BCD中，BC2+CD2=92+122=225=BD2.
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即BC⊥CD.
∴该婴儿车符合合格标准.
能力提升
4.如图3，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在不能通行，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得AC=750 m，CD=600 m，AD=450 m.
图3
（1）判断CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明.
（2）求原来的路BC的长.
解：CD是从村庄C到河边最近的路.
理由如下：
在△ACD中，AD2+CD2=4502+6002=7502=AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°，
即CD⊥AB.
根据垂线段最短，CD是从村庄C到河边最近的路.
（1）判断CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明.
图3
解：设AB=BC=x m，则BD=（x-450）m.
由（1）知，CD⊥AB.∴∠BDC=90°.
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2=BD2+CD2，
即x2=（x-450）2+6002.
解得x=625.
答：原来的路BC的长为625 m.
（2）求原来的路BC的长.
图3
思维拓展
5.如图4，在4×4的方格中，点A，B均在格点上，以AB为一边作Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）
A.2个 B.4个 C.6个 D.7个
图4
C(共11张PPT)
第1课时　勾股定理的证明及简单应用
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.若某直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（　　）
A.3 B.9 C.6 D.36
2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则AB的长为 　　 .

图1
C
2
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c.若∠A+ ∠C=90°，则下列等式成立的是（　　）
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2
C.a2+c2=b2 D.a+c=b
4.在△ABC中，∠C=45°，AB=AC=3，则BC的长为　　　　.
C
3
5.如图2，在△ABC中，CD⊥AB于点D.若AC=，CD=5，BC=13，求AB的长及△ABC的面积.
图2
解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
得AD==3.
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BD==12.
∴AB=AD+BD=3+12=15.
∴S△ABC=AB·CD=×15×5=.
能力提升
6.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出了如图3所示的两种方案，则方案正确的是　　　　.（填“甲”或“乙”）
图3
乙
7.（2025广州模拟）如图4，四边形A，B，C，D，E都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，D的面积依次为6，10，25，则正方形C的面积是　　　　.
图4
9
8.如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=20 cm，AC=16 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点C运动，连接PB，设点P的运动时间为t s（t>0）.
（1）BC=　　　　cm；
（2）当PA=PB时，求t的值.
图5
12
解：（2）由题意，得PA=PB=t.
所以PC=AC-AP=16-t.
在Rt△PBC中，由勾股定理，得PC2+BC2=PB2，
即（16-t）2+122=t2.解得t=.
思维拓展
9.如图6，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.若AD=2，BC=6，则AB2+CD2的值为　　　　.
图6
40(共14张PPT)
第2课时　勾股定理的应用（一）——实际问题
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.如图1，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条10 m长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是　　　　 m.
图1
8
2.如图2，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD使其不变形.若AF=1 m，AE=2 m，则木条EF=　　　　 m.
图2
3.如图3，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高 4 m，两树相距8 m.一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少需要飞行　　　　m.
图3
10
4.已知某消防车的云梯最大能伸长25 m，在一次救援中，消防车云梯DC伸到最长25 m，它的底部与建筑物之间的水平距离OD=24 m，云梯底部与地面MN的距离DE=2 m.
（1）求此时云梯顶端C离地面MN的高度.
图4
解：由题可知，OD=24，CD=25，AO⊥OD.
在Rt△OCD中，根据勾股定理，
得OC==7.
∵DE=2，∴OF=DE=2.∴CF=OC+OF=7+2=9（m）.
答：此时云梯顶端C离地面MN的高度为9 m.
解：∵云梯顶端需要伸到距离地面17 m的A处，
∴AF=17，OA=AF-OF=17-2=15.
在Rt△OAB中，根据勾股定理，
得OB==20.
∴BD=OD-OB=24-20=4（m）.
答：消防车需要向建筑物方向移动4 m到达B处.
（2）若云梯顶端需要伸到距离地面17 m的A处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达B处？
图4
能力提升
5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断（如图5），竹梢接触地面处离竹根 4尺，则折断处离地面的高度为　　　　尺.
图5
4.2
6.如图6，为测量湖对岸A，B两点间的距离，观测者在湖边找到一点C，测得∠BAC=30°，AC=1 200 m，BC=1 000 m，则A，B两点间的距离是　　　　　　　m.
图6
（600+800）
7.小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；③测得牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
（1）求风筝的垂直高度CE.
图7
解：在Rt△BCD中，根据勾股定理，
得CD==20.
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6 （m）.
答：风筝的垂直高度CE为21.6 m.
则DF=CD-CF=8 m，连接BF.
在Rt△BDF中，根据勾股定理，
得BF==17.
∴25-17=8 （m）.
答：他应该将风筝线往回收8 m.
解：如答图1，在CD上取点F，使CF=12 m，
（2）若小明想风筝沿CD方向下降12 m，则他应该将风筝线往回收多少米？
图7
答图1
思维拓展
8.如图8，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知A，C两岛间的距离为30 km，A，B两岛间的距离为70 km，B，C两岛间的距离为50 km.某月，超强台风“摩羯”登陆岛屿B，台风中心由B向A移动，风力影响半径为34 km.若台风影响岛屿C的时长是1.6 h，则台风中心的移动速度为　　　　km/h.
图8
20(共7张PPT)
微专题1　方程思想在勾股定理中的运用
第二十章　勾股定理
1.如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若BC=，AE∶EC=3∶2，则AB的长为（　　）
A.
B.
C.
D.3
图1
B
2.如图2，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700 m高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，高度可至80 m.将其抽象成数学图形如图3所示，其中OA=OB，BD⊥OA，BD=
100 m，AD=80 m，秋千的绳索始终保持拉直且无弹性，则绳索OA的长为（　　）
A.80 m
B.100 m
C.102.5 m
D.100.5 m
图2
图3
C
3.《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？其大意是：墙AB高1丈（1丈=10尺），一根木棒AC靠于墙壁，木棒上端与墙头齐平.当木棒下端沿地面从点C向右滑动1尺到点D时，木棒上端恰好沿墙壁从点A下滑到点B（如图4）.问木棒的长为多少尺？
图3
解：设木棒的长为x尺，
则AC=BD=x尺，BC=（x-1）尺.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AB2+BC2=AC2，
即102+（x-1）2=x2.解得x=50.5.
答：木棒的长为50.5尺.
4.如图5，E为边AB上一点，将长方形ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处.若AB=3，BC=5，求EF的长.
图5
解：由题意，得∠A=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=5.
由折叠的性质可知，FC=BC=5，EF=BE.
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得
DF==4.
∴AF=AD-DF=1.
设EF=x，则BE=x，AE=3-x.
在Rt△AEF中，根据勾股定理，得EF2=AE2+AF2，
即x2=（3-x）2+1.解得x=.
∴EF的长为.
5.如图6，等腰三角形ABC的底边BC长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P以1 cm/s的速度在底边上从点B向点C运动.
（1）求△ABC的面积.
图6
解：如答图1，过点A作AD⊥BC于点D.
由题知，AB=AC=5，BC=8.∴BD=BC=4.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，
得AD==3.
∴S△ABC=BC·AD=×8×3=12（cm2）.
答图1
②如答图2，设当点P运动t s后有PA⊥AB.
与（2）①同理可得PD=2.25.
∴BP=4+2.25=6.25.∴t=6.25.
综上所述，当点P运动1.75 s或6.25 s 时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直.
答图1
答图2
解：由题意知，BP=t.分以下两种情况：
①如答图1，设当点P运动t s后有PA⊥AC.
∵AP2=PD2+AD2=PC2-AC2，∴PD2+AD2=PC2-AC2.
∴PD2+32=（PD+4）2-52.解得PD=2.25.
∴BP=4-2.25=1.75.∴t=1.75.
（2）当点P运动几秒时，点P与顶点A的连线PA与△ABC的腰垂直？(共12张PPT)
第4课时　勾股定理的逆定理
基础过关
能力提升
第二十章　勾股定理
思维拓展
基础过关
1.下列四组数中，属于勾股数的是（　　）
A.2，3，4 B.5，12，13
C.1， D.4，6，8
2.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A.a∶b∶c=1∶1∶ B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.∠A+∠B=∠C D.a=5，b=12，c=13
B
B
3.如果一个三角形的三边长分别为8，15，17，那么这个三角形的面积为　　　　.
4.已知a，b，c是某个三角形的三边长，若满足a2-12a+36++
|c-10|=0，则该三角形是　　　　三角形.
60
直角
5.试判断以a+1，a-1，2（a>1）为三边长的三角形是否一定是直角三角形，并说明理由.




解：一定是直角三角形.理由如下：
∵（a-1）2+（2）2=a2-2a+1+4a=a2+2a+1，（a+1）2=a2+2a+1，
∴（a-1）2+（2）2=（a+1）2.
根据勾股定理的逆定理，以a+1，a-1，2（a>1）为三边长的三角形一定是直角三角形.
能力提升
6.如图1，AB=3，BC=4，AC=5，P是线段AC上一点，连接PB，则PB的长不可能是（　　）
A.3.5 B.2.5 C.2 D.3
图1
C
7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c=2a，c-b=a，则△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
A
8.如图2，在△ABC中，AB=AC=13，D是边AB上一点，且CD=12，BD=8.
（1）求∠ADC的度数；
图2
解：∵AB=13，BD=8，
∴AD=AB-BD=5.
∵AD2+CD2=52+122=169，AC2=132=169，
∴AD2+CD2=AC2.
根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，∠ADC=90°.
解：由（1），得∠ADC=90°.
∴∠BDC=180°-90°=90°.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得
BC==4.
∴BC的长为4.
图2
（2）求BC的长.
思维拓展
9.如图3，D为△ABC内一点，∠ADB=90°，AD=3，BD=4，AC=5，
BC=5，则图中阴影部分的面积为　　　　.
图3

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