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(共12张PPT)
第5课时　二次根式的除法（二）
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.若 是最简二次根式，则a的值可能是（　　）
A.1.3 B.12 C.11 D.
2.化简的结果是　　　　.
C
3.化简：（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　.
-3
2
4.计算：
（1）；

（2）.
解：原式==2.
解：原式=×2=2.
5.（人教八下新教材P10）一个长方体的体积V=4，高h=3，求它的底面积S.
解：S=.　
能力提升
6.【跨学科】据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）近似满足公式t=（g取10 m/s2）.若一物体从100 m高空自由落下，则关于物体下落的时间t的说法正确的是（　　）
A.3sB
7.（人教八下新教材P12改编）如图1，从一个大正方形纸片中裁去面积为45 cm2和30 cm2的两个小正方形，则剩下的长方形的边长a与b之比为　　　　.
图1
8.（人教八下新教材P11）已知≈1.414，求的近似值.
解：=2.
将≈1.414代入，得=0.707，
=2≈2×1.414=2.828.
∴与的近似值分别为0.707，2.828.
思维拓展
9.【中考新考法·新定义】我们规定用（a，b）表示有序数对.给出如下定义：记m=，n=，其中a>0，b>0，将（m，n）与（n，m）称为有序数对（a，b）的“对称数对”.例如：有序数对（4，1）的“对称数对”为.
（1）有序数对（9，2）的“对称数对”是　　 　　；
（2）若有序数对（5，y）的两个“对称数对”相同，则y的值为　　　　；
（3）若有序数对（x，2）的其中一个“对称数对”是（，2），则x的值为　　　　.
和(共17张PPT)
基础过关
能力提升
第十九章　章末复习
思维拓展
基础过关
1.（2025兰州）计算：=（　　）
A.6 B. C. D.1
2.（2025汕头一模）计算的结果是（　　）
A.2 B.3 C.6 D.9
3.（2025广州期末）下列运算结果正确的是（　　）
A. B.=4
C.=-2 D.（）2=2
B
B
D
4.（2025北京期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
5.若要使代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　.
6.若a>1，则=　　　　.
D
x>-
a-1
7.已知y=-3，则=　　　　.
8.（2025中山模拟）化简：=　　　　.
1
9.计算：
（1）；


（2）（2025东莞期末）；




解：原式=3÷3 =1.
解： 原式=+1=3+1=2+1.
（3）（2025北京期末）3；




解： 原式=3=6=5.
（4）（2025北京期末）（+3）（-3）+（1-）2.




解： 原式=5-9+（1-2+2）=-4+1-2+2 =-1-2.
能力提升
10.（2025广州期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简的结果为（　　）


A.0 B.c-b-a C.c+b-a D.a+b+c
图1
D
11.（2025广州期中）已知x=+3，y=-3.
（1）求x2-6x+5的值；
（2）求的值.
解：当x=+3时，原式=（x-3）2-4=（+3-3）2-4=7-4=3.
解：原式=.
当x=+3，y=-3时，原式==-.
12.【中考新考法·辨析解题过程】（2025惠州期中）先化简，再求值：a+，其中a=2 025.
小亮和小芳的解答过程如下：
小亮：
解：原式=a+
=a+1-a
=1.
　
小芳：
解：原式=a+
=a+a-1
=2a-1.
当a=2 025时，
原式=2×2 025-1=2 049.
（1）　　　　 的解答过程是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　　　 　　　；
（2）先化简，再求值：a+2，其中a=-2.

解：原式=a+2
=a+2（-a+3）
=-a+6.
当a=-2时，原式=-（-2）+6=8.
小亮
　=a（a≥0）
13.小明按如图2①所示的方法把边长分别为4 cm和2 cm的两个正方形切割成5块后，恰好拼成如图2②所示的一个大正方形，则该大正方形的边长是　　　　cm.
图2
2　
思维拓展
14.【中考新考法·新定义】（2025苏州期末）定义：我们将称为一对“对偶式”.
因为（）=（）2-（）2=a-b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决.
例如：已知=2，求的值.
可以这样解答：
∵（）×（）=（）2-（）2=12-x-8+x=4，
∴=2.
根据以上内容，解答下列问题：
（1）已知=6，则=　　　　；
（2）化简：=　　　　， =　　　　；
2
解：原式=×（+1）
=
×（+1）
= × （2 025-1）
=1 012.
（3）计算：×（+1）.(共12张PPT)
第7课时　二次根式的混合运算
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.下列运算结果正确的是（　　）
A. B.
C.=3 D.（）2=5
2.计算（2）×的结果，与下列选项相同的是（　　）
A.4 B.6
C.2 D.4
3.（2025天津）计算（+1）（-1）的结果为　　　　.
B
C
60
4.计算：
（1）（2025甘肃）；

（2）；
解：原式=2.　
解：原式=（4）÷=3=3.
（3）；


（4）（）-（2-2）2.
解：原式=3×2-6=12-6=6.
解：原式=17-5-（4-8+8）=12-12+8=8.
能力提升
5.玲玲在做计算题（1+）　（1-）时，发现“　”处的符号模糊不清，同桌洋洋告诉她，答案为有理数，则“　”处的符号为（　　）
A.+或× B.+或÷ C.-或× D.-或÷
6.若x=3-，则代数式x2-6x+8的值为　　　　.
A
2 025
7.已知a=3+2，b=3-2，则代数式a2b-ab2的值为　　　　.
8.【中考新考法·新定义】对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a b=a2-b，如2 3=22-3.计算（2-1）
的结果为　　　　.
4
21-6
思维拓展
9.【中考新考法·解题过程类阅读理解】（2025北京期中）在解决问题“已知a=，求2a2-4a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a=+1，
∴a-1=.∴（a-1）2=2，
即a2-2a+1=2.
∴a2-2a=1.
∴2a2-4a+1=2（a2-2a）+1=2×1+1=3.
请根据小明的过程，解答下列问题：
（1）化简：=　　　　.
（2）若a=，求下列代数式的值：
①a2+2a；②a2-6a+1；③a3-2a2-3a.
3-
解：（2）由（1）可知，a=3-.
①∵a+=3，∴（a+）2=9，即a2+2a+7=9.
∴a2+2a=9-7=2.
②∵a-3=-，∴（a-3）2=7，
即a2-6a+9=7.∴a2-6a=-2.
∴a2-6a+1=-2+1=-1.
③a3-2a2-3a=a（a+1）（a-3）
=（3-）×（3-+1）×（3--3）
=（3-）×（4-）×（-）
=49-19.(共11张PPT)
第1课时　二次根式的概念
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.下列各式是二次根式的是 （　　）
A. B. C.D.
2.（2025福建）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是
（　　）
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （　　）
A.x≥3 B.x>3 C.x≠-4 D.x>-4
B
D
A
4.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示为（　　）
5.已知圆的面积S为6π cm2，则该圆的半径r为　　　　cm.
B
6.要使下列式子在实数范围内有意义，求x的取值范围.
（1）； （2）； （3）.
解：（1）由6-4x≥0，得x≤.
当x≤时，在实数范围内有意义.
（2）由得x≥-2且x≠3.
当x≥-2且x≠3时，在实数范围内有意义.
（3）由得0当0能力提升
7.【易错】如果a为任意实数，那么下列各式一定有意义（　　）
A. B.
C. D.
8.若实数a满足=6，则的值为　　　　 .
B
8
9.【跨学科】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间的关系为Q=I2Rt.已知导线的电阻为6 Ω，通电时间为1 s时，导线产生了30 J的热量，求电流I.（结果保留根号）



解：根据题意，得30=I2×6×1.
∴I2=5.
∵I>0，∴I=A.
答：电流I为 A.
10.（人教八下新教材P5改编）已知是整数，求自然数a的最小值.
解：∵是整数，
∴11-a≥0，且11-a是完全平方数.又a为自然数，
∴11-a=0或1或4或9.
∴a=11或10或7或2.
∴自然数a的最小值为2.
思维拓展
11.（1）已知n=-m+6，则m2+n2=　　　.
（2）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=+4，则该等腰三角形的周长为　　　　.
16
10或11(共13张PPT)
第6课时　二次根式的加减
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.下列二次根式中，与相加减时不能进行合并的是（　　）
A. B. C. D.
2.（人教八下新教材P14改编）下列计算正确的是（　　）
A. B.2+
C.3=3 D.2
C
D
3.计算：
（1）3=　　　　；
（2）（2025自贡）=　　　　.
4.（2025东莞期中）若两个最简二次根式是同类二次根式，则a=　　　　.
2
0
4
5.计算：
（1）2；
解：原式=2×4+3-5×2
=8+3-10
=.
（2）-（）；




解：原式=+3-2
.
（3）.
解：原式=a-6a·
=a-2a
=-a.
能力提升
6.如图1，点A，B，C在数轴上，AB=AC，A，B两点对应的实数分别是和-1，则点C对应的实数是（　　）


A.1+ B.2+ C.2-1 D.2+1
图1
D
7.若a，b为有理数，且，则a+b的值为　　　　.
8.已知一个等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则这个等腰三角形的腰长为　　　　.
5
9.（人教八下新教材P16改编）先化简，再求近似值：6.（参考数据：≈2.449）
解：原式=-2+3=2.
将≈2.449代入，得原式≈2×2.449=4.898.
思维拓展
10.【中考新考法·新定义】规定：对于任意的正数m，n，定义运算“※”如下：m※n=按上述定义，计算（3※2）-（8※12）的结果为　　　　.
-5(共12张PPT)
第2课时　二次根式的性质
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.（2025东莞期中）计算（-）2的结果是（　　）　　　　 　　　　　　　 　
A. B.121 C.11 D.-11
2.下列各式中，计算正确的是（　　）
A.=-3 B.-=-3
C.=±3 D.=±3
C
B
3.（2025广州期中）若a>1，则=　　　　.
4.若+（y+2）2=0，则=　　　　.
5.（2025珠海期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简+|b-1|的结果是　　　　.
图1
a-1
-2
b-a-2
6.化简：
（1）-； （2）；
解：原式=-=-3.
解：原式=.
（3）（2025中山期中）；
（4）.
解：原式=|-3|=3-.
解：原式=（-5）2×=25×=20.
7.计算：+（）2-2-1.


解：原式=4-3+2-.　
能力提升
8.（2025汕尾一模）若+5=a，则a的取值范围是　　　　.
9.当x=　　　　时，代数式+2取最小值，最小值是　　　.
10.【易错】若=3，则x=　　　　.
11.在实数范围内分解因式2x2-6的结果是　　　　　　　　　　　.
a≥5
3
2
0或6
2（x+）（x-）
12.【解法不唯一】已知x=-2，用简便方法求代数式x2+4x+5的值.
解：原式=（x+2）2+1.
当x=-2时，
原式=（-2+2）2+1
=（）2+1
=10+1
=11.
思维拓展
13.（2025南京期末）已知一个三角形的两边的长分别为3和5，第三边的长为c，化简：.
解：∵3，5，c是一个三角形的三边长，∴5-3原式=
=|c-2|+
=c-2+
=c-2-c+4=c+2.(共12张PPT)
第4课时　二次根式的除法（一）
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.计算的结果为（　　）
A.9 B.3 C.3 D.2
2.（2025广州期中）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.二次根式化简后的结果为（　　）
A. B. C. D.
B
A
D
4.计算：
（1）=　　　　；
（2）=　　　　；
（3）=　　　　；
（4）=　　　　；
（5）=　　　　.
2
2
20
2x
5.计算：
（1）； （2）.
解：（1）原式==2.
（2）原式=.　
能力提升
6.估计的运算结果在（　　）
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间 D.4到5之间
7.若三角形的面积为2，其中一边长为2，则这条边上的高为　　　　.
B
8.如果ab>0，a+b<0，那么下面各式：①，②=1，③=-b，其中正确的是　　　　.（填序号）
①②③
9.【跨学科】在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功（单位：J），I表示电流（单位：A），R表示电阻（单位：Ω），t表示时间（单位：s）.若W=2 400 J，R=100 Ω，t=15 s，试求电流I.



解：根据题意，得2 400=I2×100×15，I>0.
∴I=（A）.
答：电流I为 A.
思维拓展
10.【规律探究】观察下列等式：
①-1；
②；
③；
……
解决下列问题：
（1）化简：=　 　　　（n为正整数）；
（2）计算：.
.
解：（2）原式=-1++2-+…+
-1=45-1=44.(共13张PPT)
第3课时　二次根式的乘法
基础过关
能力提升
第十九章　二次根式
思维拓展
基础过关
1.计算 的结果为（　　）
A. B. C.7 D.10
2.（2025湖南）化简=　　　　.
3.计算的结果是　　　　.
B
2
6a
4.已知某直角三角形的面积为S，它的两条直角边长分别为a，b.若a=，b=，则S=　　　　.
2
5.计算3=　　　　.
3
6.计算：（1）；
解：（1）原式= =
4×3×=12.
（2）；
解：原式==2y.
解：原式=2=2=2×=8.
（3）.
能力提升
7.（2025珠海期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ 　）
A.0 B.1 C.2 D.8
8.已知a=，b=，用含a，b的式子表示，下列表示正确的是
（　　）
A.ab B.2ab C.3ab D.4ab
9.计算：（3）（3）=　 　　.
C
B
15
10.（北师八上P51改编）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d=20 m， f=1.2，肇事汽车的车速是　　　　km/h.（结果保留根号）
32
思维拓展
11.【中考新考法·辨析解题过程】（2025中山期中）先阅读材料，然后回答问题.
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简.
经过思考，小张的解题过程如下：
解：∵5=2+3=（）2+（）2，，
∴可得
①
= ②
= ③
=. ④
（1）在上述化简过程中，第　　　　（填序号）步出现了错误，正确的化简结果应该为　　　　；
④
　
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①；②.
解：①.
②.

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