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(共14张PPT)
微专题1　中位线与中线
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CF是边AB上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF=6，则DE的长（　　）　 　　　　　 　　　　 　
A.3
B.4
C.6
D.9
图1
C
2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点.若AC=8，BC=12，则DF的长为（　　）
A.2
B.4
C.3
D.2.5
图2
D
3.如图3，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC=5，CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF的长为　　　　.
图3
3
4.如图4，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，E是BD的中点.若∠EAC=25°，则∠ADC=　　　　.
（提示：设∠BDC=x，∠BDA=y.）
图4
65°
能力提升
5.（2025汕头期末）如图5，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，G为CD的中点，以CG为边作菱形CEFG，其中点E在BC的延长线上，连接AF，M为AF的中点，连接CM，则线段CM的长为　　　　.
图5
6.如图6，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，求证：AF=CF.
图6
证明：如答图1，取BF的中点G，连接DG.
∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点.
又G是BF的中点，
∴DG是△BFC的中位线.
∴DG=CF，DG∥CF.∴∠EAF=∠EDG.
∵E是AD的中点，∴AE=DE.
∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA）.
∴AF=DG.∴AF=CF.
答图1
思维拓展
7.（2025汕头三模）如图7，在正方形ABCD中，AB=8，E，F分别是BC，CD的中点，M，N分别是AF，DE的中点，连接MN.求MN的长.
图7
解：如答图2，连接DM并延长，交AB于点G，连接EG.
答图2
∵四边形ABCD是正方形，AB=8，
∴AB=CD=BC=8，AB∥CD，∠B=90°.
∴∠DFM=∠GAM，∠FDM=∠AGM.
∵M为AF的中点，∴MF=MA.
∴△DFM≌△GAM（AAS）.
∴DM=GM，DF=GA.
又F为CD的中点，∴DF=GA=CD=4.
答图2
∴BG=AB-GA=4.
∵E为BC的中点，∴BE=BC=4.
在Rt△BEF中，EG==4.
∵N为DE的中点，DM=GM，∴MN=EG=2.(共12张PPT)
第1课时　四边形及其内角和
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.下列图形中，是凸四边形的是（　　）　　 　　　　　　 　　　　 　
C
2.（2025揭阳期末）图1①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图（酒精灯竖直放在水平桌面上），图1②是其简化示意图.若∠1=45°，则∠2=（　　）
　　



A.140° B.135° C.130° D.145°
　①　　　　　　　 ②
图1
B
3.在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性来制作一些工具.下列实物图中，利用了四边形的不稳定性的是　　　　，利用了三角形的稳定性的是　　　　.（填序号）
①②④
③
4.求出下列图形中x的值.
　 　 x=　　　　 　　　 x=　　　　
100
95
能力提升
5.（人教八下新教材P53改编）图2是一个六边形的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固的木条数量为（　　）
A.2根
B.3根
C.4根
D.5根
图2
B
6.“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图3是一个窗棂及其局部示意图，若∠1+∠2+∠3=320°，则∠D的度数为　　　　.
图3
140°
7.如图4，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，则AE与CF有什么位置关系？请说明理由.
图4
解：AE∥CF.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，∠DAB+∠B+∠DCB+∠D=360°，
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∵AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，
∴∠DAE=∠DAB，∠DCF=∠DCB.
∴∠DAE+∠DCF=（∠DAB+∠DCB）=90°.
又∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠DFC=∠DAE.∴AE∥CF.
思维拓展
8.【模型思想】如图5，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
　　　　.
图5
360°(共17张PPT)
第7课时　平行四边形的判定（二）
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025厦门月考）依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（　　）　　　　　 　　　　 　
C
2.（2025江门期末）如图1，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，连接AE，CF.要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　　　　　.（只需写出一个）
图1
AF=CE（答案不唯一）
3.（2025东莞期中）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在BD上，AE∥CF，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
图2
证明：∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB.
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（AAS）.∴AD=CB.
又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
4.如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE=BC，AB=EF，∠ABD=∠F，求证：四边形ABCD为平行四边形.
图3
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBF.
在△ABD和△EFB中，
∴△ABD≌△EFB（AAS）.∴AD=BE.
又BE=BC，∴AD=BC.
又AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.
能力提升
5.（2025廊坊一模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点.下列两个方案中，能得到以点A，B，C，F为顶点的四边形为平行四边形的是（　　）
A.只有方案一 B.只有方案二 C.两个方案都不行 D.两个方案都行
方案一 F为DA和CE的延长线的交点 方案二
CE与BD相交于点G，F为DC和AG的延长线的交点
D
6.（2025中山期中）如图4，在四边形ABCD中，E，F均是直线AC上的点，且AE=CF，BE∥DF.
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形ABCD为平行四边形，你添加的条件是　　　　　　　　　　　；
图4
BE=DF（答案不唯一）
（2）请根据（1）中添加的条件，证明四边形ABCD为平行四边形.
图4
证明：∵BE∥DF，∴∠E=∠F.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF.
∴180°-∠BAE=180°-∠DCF，
即∠BAC=∠DCA.∴AB∥CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
7.（2025广州期中）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使CD=BC，连接EF，CE，DF.
（1）猜想四边形CDFE是什么图形？并说明理由.
图5
解：四边形CDFE是平行四边形.理由如下：
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC.∴CD∥EF.
∵CD=BC，∴CD=EF.
∴四边形CDFE是平行四边形.
（2）连接DE，交AC于点O，若AB=BD=6，求DE的长.
图5
∵CD=BC，BD=BC+CD=6，
∴CD=BD=2，BC=BD=4.
在Rt△ABC中，由勾股定理，
得AC==2.
∵F为AC的中点，∴CF=AC=.
在 DCEF中，OC=OF=CF=，DE=2OD.
∵∠ACB=90°，∴∠OCD=90°.
在Rt△OCD中，由勾股定理，
得OD=.
∴DE=2OD=.
图5
思维拓展
8.如图6，在等边三角形ABC中，BC=6 cm，射线AG∥BC，动点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，动点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.点E，F同时出发，设运动时间为t（单位：s）.当t为何值时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
图6
解：①当点F在点C的左侧时，0≤t<3.
根据题意，得AE=t，BF=2t，CF=BC-BF=6-2t.
∵AG∥BC，即AE∥FC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形.
∴t=6-2t.解得t=2.
图6
图6
②当点F在点C的右侧时，t≥3.
根据题意，得AE=t，BF=2t，CF=BF-BC=2t-6.
∵AG∥BC，即AE∥CF，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形.
∴t=2t-6.解得t=6.
综上所述，当t的值为2或6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
点拨　能否确定题目中“以点A，C，E，F为顶点的平行四边形”顶点的对应位置呢？　(共14张PPT)
第4课时　平行四边形的性质（一）——边、角
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1，在 ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） 　　　　　 　　　　 　
A.AD=CD
B.AB=AD
C.AB=CD
D.CD=BC
图1
C
2.如图2，在 ABCD中，∠B=80°，∠CAD=40°，则∠ACD的度数是（　　）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
图2
B
3.如图3，在 ABCD中，AB=6 cm，若AB∶BC=2∶1，则 ABCD的周长为（　　）
A.9 cm
B.18 cm
C.27 cm
D.36 cm
图3
B
4.（2025广州二模）如图4，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F.求证：OE=OF.
图4
证明：∵O为AC的中点，∴OA=OC.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC.
∴△OAE≌△OCF（AAS）.∴OE=OF.
能力提升
5.如图5，已知四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为　　　　　　.
图5
（-3，-2）
6.（人教八下新教材P57改编）如图6，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，在转动其中一张纸条的过程中，下列关于四边形ABCD的说法不一定成立的是（　　）
A.∠DAB+∠ABC=180°
B.AD=CD
C.∠ADC=∠ABC
D.AD=BC
图6
B
7.如图7，在 ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1）若∠B=60°，求∠EAF的度数；
图7
解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°.
∴在四边形AECF中，∠EAF+∠ECF=180°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠B+∠BCD=180°.∴∠EAF=∠B=60°.
（2）若 ABCD的周长为32，AE=3，AF=5，求BC的长.
图7
∵ ABCD的周长为32，∴BC+CD=16.
在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S ABCD=BC·AE=CD·AF.
∵AE=3，AF=5，∴3BC=5CD，即CD=BC.
∴BC+BC=16.解得BC=10.
思维拓展
8.（北师八下新教材P177改编）如图8，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，BF与CE相交于点O.
（1）求证：AE=DF；
图8
证明：∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF=∠FBC，∠DCE=∠ECB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC.
∴∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB.
∴∠ABF=∠AFB，∠DCE=∠DEC.
∴AB=AF，CD=DE.∴AF=DE.
∴AF-EF=DE-EF，即AE=DF.
（2）若∠A=120°，BF=8，EF=3，则BC的长为　　　　.

图8
13(共13张PPT)
第5课时　平行四边形的性质（二）——对角线
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法一定正确的是（　　）　　　　 　　　　 　
A.AC=BD
B.∠ABD=∠CBD
C.AC⊥BD
D.OB=OD
图1
D
2.如图2，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC+BD=10，△BOC的周长为8，则BC的长为（　　）
A.2
B.3
C.4
D.5
图2
B
3.如图3，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC=10，BD=6，则CD的长的取值范围是　　　　图3
2
8
4.如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在直线AC上，且∠E=∠F.
（1）求证：△OBE≌△ODF；
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
又∠BOE=∠DOF，∠E=∠F，
∴△OBE≌△ODF（AAS）.
（2）若AE=2，求CF的长.
图4
解：由（1）可知，△OBE≌△ODF.∴OE=OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.
∴OE-OA=OF-OC，即AE=CF.
又AE=2，∴CF=2.
能力提升
5.如图5，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，且分别与边AB，CD交于点E，F，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCFE的周长为　　　　.
图5
9.6
6.如图6，在 AOBC中，对角线OC，AB相交于点D，顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（2，3），（4，1），则点C的坐标为　　　　.
图6
（6，4）
7.如图7， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC于点E，AB=，AC=2，BD=4，求AE的长.
图7
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=2，BD=4，
∴AO=AC=1，BO=BD=2.
又AB=，∴AB2+AO2=4=BO2.
∴△ABO是直角三角形，∠BAO=90°.
在Rt△BAC中，由勾股定理，得
BC=.
∵S ABCD=AB·AC=BC·AE，∴×2=AE.
∴AE=.
思维拓展
8.如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=4，E是边AB上异于点A的一点，以AE，CE为邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值为　　　　.
图8
2(共13张PPT)
微专题2　四边形中的折叠问题
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1，将 ABCD折叠，使点C，D分别落在点E，F处（点E，F都在直线AB上），折痕为MN，若∠A=70°，则∠AMF=　　　　°.
图1
40
2.如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是边BC上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，得到△AB'E，延长AB'，交CD于点F.若F为
CD的中点，则B'F的长为　　　　.
图2
3.如图3，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E在边BC上，将菱形ABCD沿DE折叠，点C的对应点为点C'，且DC'是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为　　　　.
图3
75°
4.如图4，E是矩形纸片ABCD的边AD上一点，将纸片沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处.若∠DBC=30°，CD=，则A'E的长为　　　　.
图4
1
5.如图5，在 ABCD中，将△ABC沿AC折叠，得到△AB'C，B'C交AD于点E，连接B'D.若∠B=60°，∠ACB=45°，AC=，则B'D的长为　　　　.
图5
能力提升
6.如图6，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，2），把矩形
OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为　　　　.
图6
7.如图7，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，将△ADF和△CBE分别沿直线AF，CE折叠，使点D，B分别落在对角线AC上的点H，G处.
（1）求证：△ADF≌△CBE；
图7
证明：在矩形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD=CB，AD∥CB，∴∠DAC=∠ACB.
由折叠的性质可知，∠DAF=∠CAF=∠DAC，∠BCE=∠ACE=∠ACB.
∴∠DAF=∠BCE.∴△ADF≌△CBE（ASA）.
（2）若AD=3，CD=4，求△ACF的面积.
图7
解：在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，∠D=90°，
∴AC==5.
由折叠的性质可知，AH=AD=3，FH=FD，∠FHA=∠D=90°.
∴CH=AC-AH=2，FH=FD=CD-CF=4-CF，∠FHC=90°.
在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2=FH2+CH2，
即CF2=（4-CF）2+22.解得CF=.
∴S△ACF=CF·AD=×3=.
思维拓展
8.如图8，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=45°；③BG=CG；④S△AGE=18；⑤AG∥CF，其中正确的是　　　　　.（填序号）
图8
①②③⑤(共16张PPT)
第12课时　菱形的判定
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025淄博期末）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　）
C
2.如图1，在 ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB沿BC方向向右平移a个单位长度得到线段EF.若四边形ECDF为菱形，则a的值为（　　） 　　　　　 　　　　 　
A.1
B.2
C.3
D.4
图1
B
3.（2025湖南）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A.6
B.9
C.12
D.18
图2
C
4.（人教八下新教材P79改编）如图3，小明将一张矩形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的平面图形是　　　　，判定依据是　　　　　　　　　　　　　.
图3
菱形
四条边相等的四边形是菱形
5.如图4，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F均在BD上，且BE=DF.求证：四边形AFCE是菱形.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥BD，即AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
6.如图5，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB的中点，连接CE.求证：四边形AECD为菱形.
图5
证明：∵E为AB中点，∴AB=2AE.
∵AB=2CD，∴CD=AE.
又AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC.
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠EAC.∴∠DCA=∠DAC.
∴AD=CD.∴四边形AECD是菱形.
7.如图6，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O是BD的中点，AD∥BC.
（1）从以下条件：①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=BO中选择一个，可以使得四边形ABCD为菱形的是　　　　　（填序号）.
图6
①或②或③
（2）根据（1）所选条件，求证：四边形ABCD是菱形.
图6
证明：选择条件①.证明如下：
∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO.
∵O是BD的中点，∴OD=OB.
又∠AOD=∠COB，∴△DAO≌△BCO（ASA）.
∴OA=OC.
∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
又AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.
能力提升
8.（人教八下新教材P82改编）如图7，以∠MAN的顶点A为圆心，a的长为半径画弧，两弧分别交AM，AN于点B，C，再分别以点B，C为圆心，a的长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，BC，AD.若BC=2，AD=4，则四边形ABDC的周长是　 　　.
图7
4　
9.在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.当∠A=30°时，求证：四边形BCEF是菱形.
图8
证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC.
又BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形.
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC.
∵E为斜边AB的中点，∴AB=2CE.
∴BC=CE.∴四边形BCEF是菱形.
10.（人教八下新教材P88）如图9，过 ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE.试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.
图9
解：四边形EFGH是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO.∴∠EAO=∠GCO.
在△EAO和△GCO中，
∴△EAO≌△GCO（ASA）.∴OE=OG.
同理可证OH=OF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又HF⊥EG，∴四边形EFGH是菱形.
思维拓展
11.【动点探究】如图10，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40 cm，∠A=60°，点D从点C出发，以4 cm/s 的速度沿CA向点A 匀速运动，同时点E从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.过点D作DF⊥BC于点F，连接EF.设
点D，E的运动时间是t s（0图10(共20张PPT)
第13课时　正方形的性质
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.下列说法不正确的是（　　） 　　　　　 　　　　 　
A.矩形的对角线相等且互相平分
B.菱形的对角线互相垂直平分
C.正方形的对角线相等且互相垂直平分
D.平行四边形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
2.若一个正方形的一条对角线长为2，则该正方形的面积为（　　）
A.2 B.4 C.4 D.8
D
B
3.（北师九上P26改编）如图1，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE=AC，连接AE交CD于点F，则∠AFC的度数为　　　　.
图1
112.5°
4.如图2，在正方形ABCD中，AB=1，以点B为圆心，BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则CE的长为　　　　.
图2
-1
5.（2025北京模拟）图3是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时提出的线图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.若AB=13，BF=5，则FH=　　　　.
图3
7
6.如图4，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AED的度数是　　　　.
图4
150°
7.如图5，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，∠1=∠2，试判断△DEF的形状，并说明理由.
图5
解：△DEF是等腰直角三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°.
∴∠DCF=90°.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.∴DE=DF.
又∠EDF=∠2+∠CDE=∠1+∠CDE=∠ADC=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
能力提升
8.如图6，在正方形ABCD中，AB=4，F是BC延长线上一点，连接DF，E是DC的中点，连接BE并延长交DF于点M，若BM⊥DF，则DF的长为　　　　.
图6
2
9.（2025清远三模）如图7，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于点M，N.若BM=2，则AC的长为　　　　.
图7
4+4
10.【数形结合】如图8，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A的坐标为（1，），则点C的坐标为　　　　　.
图8
（-，1）
11.如图9，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF=90°，连接EF交OC于点G.下列结论：①△FOC≌△EOB；②OE=OF；③DF2+BE2=2OE2；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍.其中正确的有　　　　　.（填序号）
图9
①②③④
12.（北师九上P25改编）如图10，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
图10
证明：如答图1，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OD=OB.
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
又AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.
（2）若AB=3，BE=，求四边形AECF的面积.
图10
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AC=BD=6.
∵BE=DF=，∴EF=BD-BE-DF=3.
∴S菱形AECF= AC·EF=×6×3=9.
思维拓展
13.【问题情境】
（1）如图11①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，求证：PD=PB；
图11①
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AD=AB.
又AP=AP，∴△APD≌△APB（SAS）.∴PD=PB.　
【深入探究】
（2）如图11②，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，猜想EF与PD的数量关系，并证明你的猜想；
图11②
解：EF=PD.证明如下：
如答图2，连接PB.
答图2
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°.
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=90°.
∴四边形PEBF是矩形.∴EF=PB.
由（1）可知，PB=PD.∴EF=PD.
【拓展应用】
（3）如图11③，在正方形ABCD中，AB=4，P是对角线AC上一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为　　　　.
图11③
2(共11张PPT)
第2课时　多边形及其内角和
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025云南）一个六边形的内角和等于（　　）　 　　　　 　　　　 　　
A.360° B.540° C.720° D.900°
2.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　）
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
C
A
3.（2025清远期末）从八边形的一个顶点出发可以作m条对角线，它们将这个多边形分成了n个三角形，则m+n的值是（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
4.（2025揭阳期末）如果一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　　　　边形.
D
五
5.如图1，已知AB∥CD，求x的值.
图1
解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.
根据题意，得x°+x°+30°+180°+140°=（5-2）×180°.
解得x=95.∴ x的值为95.
能力提升
6.（2025珠海开学考）如图2①，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC的度数为（　　）
A.30°
B.36°
C.45°
D.60°
①　　　　 　　 ②
图2
B
7.（2025深圳期末）图3①是一枚青铜镜，古称“鉴”或“照子”.图3②是从八角形铜镜（图3①）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为　　　　.
图3
①　　　　 　　 ②
67.5°
8.（人教八下新教材P53）如图4，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值.
图4
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠E=∠CDE=∠C==108°.
又∠1=∠2，∴∠1=∠2=（180°-∠E）=36°.
同理可得∠3=∠4=36°.
又∠CDE=∠1+x°+∠3=108°，
即36°+x°+36°=108°，解得x=36.
思维拓展
9.（2025绍兴期中）小明同学用六个图5①的全等纸片拼接出图5②，图5②的外轮廓是正六边形.如果用若干个图5①的纸片按照图5③所示的方法拼接，外轮廓是正n边形，那么n的值为（　　）
A.7
B.8
C.9
D.10
图5
C(共10张PPT)
第3课时　多边形的外角和
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.十边形的外角和为（　　）　　　　 　　　　 　　
A.60° B.120° C.360° D.720°
2.正八边形的每个外角等于（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.如果一个正多边形的每个外角都是40°，那么这个正多边形的边数是（　　）
A.9 B.10 C.11 D.12
C
B
A
4.若一个正多边形的内角和为720°，则它的每个外角的度数是（　　）
A.36° B.45° C.60° D.72°
5.如果一个多边形的边数增加1，那么关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（　　）
A.内角和与外角和均增加180°
B.内角和不变，外角和增加180°
C.外角和不变，内角和增加180°
D.内角和与外角和均不变
C
C
6.（2025湛江期中）一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，求这个多边形的形状.
解：设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为（n-2）× 180°，外角和为360°.
∵内角和比外角和的2倍多180°，
∴（n-2）×180°=2×360°+180°.
解得n=7.
∴这个多边形是七边形.
能力提升
7.在一个正多边形中，一个外角的度数等于一个内角度数的 ，则这个正多边形的每一个内角的度数是　　　　.
8.小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：如图1，假如从点A出发，沿直线走5 m后向左转θ，接着沿直线前进5 m后，再向左转θ，……如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了60 m，则θ的度数为（　　）
A.28° B.30°
C.33° D.36°
图1
140°
B
9.如图2，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3是外角.若∠1+∠3=82°，求∠2的度数.
图2
解：如答图1，延长AB，DC.
∵AB∥CD，∴∠4+∠5=180°.
由多边形的外角和，得 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.
又∠1+∠3=82°，
∴∠2=180°-82°=98°.
思维拓展
10.如图3，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若∠1，∠2，∠3，∠4的度数和为220°，则∠BOD的度数为　　　　.
图3
40°(共20张PPT)
第11课时　菱形的性质
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1，AC，BD是菱形ABCD的对角线，下列结论不一定正确的是（　　）　　　　　 　　　　 　
A.AB=AD
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.∠DAC=∠BAC
图1
C
2.在菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD的长为6，则边CD的长为　　　　.
3.如图2，在菱形ABCD中，∠ABD=70°，则∠C=　　　　.
图2
6
40°
4.（2025广州期中）如图3，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点.若菱形ABCD的周长为16，则OE的长为　　　　.
图3
2
5.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小陶家的一个菱形中国结装饰如图4①所示，其示意图如图4②所示，测得AC=10 cm，BD=15 cm，则该菱形的面积为　　　　 cm2.
图4
75
6.（2025泸州）如图5，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE.
图5
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.
又AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE（SAS）.∴AF=CE.
7.（北师九上P9改编）如图6，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE=BF.
求证：（1）△ADE≌△CDF；
图6
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C.
∵BE=BF，∴AE=CF.
∴△ADE≌△CDF（SAS）.
（2）∠DEF=∠DFE.
图6
由（1）可得△ADE≌△CDF.
∴DE=DF.∴∠DEF=∠DFE.
能力提升
8.（2025广州二模）如图7，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（0，2），（-1，0），顶点D的坐标为　　　　　.
图7
（，2）
9.（2025汕头期末）如图8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=12，S菱形ABCD=240，则OH的长为　　　　.
图8
10
10.（2025珠海期中）如图9，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F.若AC=8，
BD=6，则PE+PF的值为　　　　.
图9
11.（2025广州期末）如图10，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若∠D=45°，GH的最小值为，则AD=　　　　.
图10
4
12.如图11，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
图11
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD.
又BE=AB，∴BE=CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
（2）若∠E=60°，AC=，求菱形ABCD的面积.
图11
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.∴∠AOB=90°.
由（1）可知，四边形BECD是平行四边形.
∴BD=CE，BD∥CE.∴∠ACE=∠AOB=90°.
又∠E=60°，∴∠EAC=30°.∴AE=2CE.
设CE=x，则AE=2x.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得
CE2+AC2=AE2，即x2+（）2=（2x）2.
解得x=1（负值舍去）.∴CE=1.
∴BD=CE=1.
∴菱形ABCD的面积为AC·BD=×1=.
思维拓展
13.如图12，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点E，F分别在线段AB，BC上，且BE=CF，连接DE，DF，EF.
（1）判断△DEF的形状，并证明；
图12
解：△DEF是等边三角形.证明如下：
如答图1，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠A=∠C=60°，AD∥BC.
∴△ABD，△BCD都是等边三角形.
∴BD=CD，∠DBE=∠CDB=60°.
∴∠DBE=∠C.
又BE=CF，∴△BDE≌△CDF（SAS）.
∴DE=DF，∠BDE=∠CDF.
∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF，
即∠EDF=∠CDB=60°.∴△DEF是等边三角形.
答图1
（2）求EF的最小值.
如答图1，过点D作DG⊥AB于点G.
由（1）知，△DEF是等边三角形.
∴EF=DE.∴当DE最小时，EF最小.
∴当DE⊥AB，即点E与点G重合时，DE最小，
即EF最小，最小值为DG的长.
∵DG⊥AB，∠A=60°，∴∠ADG=30°.∴AG=AD=2.
在Rt△ADG中，由勾股定理，得
DG==2.
∴EF的最小值为2.
答图1(共9张PPT)
微专题3　与正方形有关的模型
第二十一章　四边形
1.如图1，在正方形ABCD中，AB=3，点M，N分别在边AD，BC上，将正方形ABCD沿MN翻折，点A的对应点为A'，点B落在边CD上的点E处，连接BE.若CE=CD，线段MN的长为　　　　.
图1
2.如图2，在正方形ABCD中，AB=6，动点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，连接EF.若BE=3，求线段DF的长.
图2
解：如答图1，延长CB至点H，使BH=DF，连接AH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠BAD=90°，AD=AB.
∴∠ABH=90°=∠ADF.
∴△ADF≌△ABH（SAS）.
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH.
∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF，
即∠FAH=∠BAD=90°.
∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠FAH-∠EAF=45°.
∴∠EAF=∠EAH.
∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE（SAS）.
∴EF=HE=BE+BH.∴EF=BE+DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，BC=CD=AB=6.
∵BE=3，∴CE=BC-BE=3.
设DF=a，则CF=6-a，EF=BE+DF=3+a.
在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，
即32+（6-a）2=（3+a）2.解得a=2.
∴DF=2.
3.（2025广州期末）如图3，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于点M，N.若正
方形ABCD的边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为　　　　.
图3
4.如图4，G是正方形ABCD对角线CA延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.
（1）求证：△EAB≌△GAD；
图4
证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠GAE=∠BAD=90°.
∴∠GAE+∠EAD=∠BAD+∠EAD，即∠GAD=∠EAB.
在△EAB和△GAD中，
∴△EAB≌△GAD（SAS）.
（2）若AB=3，AG=3，求DG的长.
图4
解：如答图2，过点E作EH⊥BA，
交BA的延长线于点H.
由题意知AG=AE=3.
∵∠GAH=∠CAB=45°，
∴∠EAH=∠GAE-∠GAH=90°-45°=45°.
又EH⊥BA，∴△AEH是等腰直角三角形.
∴AH=EH.
由勾股定理，得AE=AH.
∴AH=EH=AE=.
∴HB=AH+AB=+3.
在Rt△BEH中，由勾股定理，得
BE==3.
∵△EAB≌△GAD，∴DG=BE=3.(共16张PPT)
第10课时　矩形的判定
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025珠海期中）如图1，四边形ABCD的对角线互相平分，以下添加的条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）　　 　　　　　 　　　　 　
A.AO=BO
B.∠ABC=∠BCD
C.AC⊥BD
D.AC=BD
图1
C
2.在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所给信息，下列四边形不一定为矩形的是（　　）
D
3.工人师傅在做门窗时，为确保门框是矩形，会进行两个关键的测量步骤.步骤一：测量两组对边的长度是否分别相等，以确保图形是　　　　　　，此步骤的依据是________________________________
_________；步骤二：测量两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，此步骤的依据是　　　　　　　　　　　　　　　.
4.在平面直角坐标系中，已知A（-2，-1），B（2，3），C（2，-1），在平面内找一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则点D的坐标为　　　　.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
（-2，3）
5.如图2，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，CE=DF.求证：四边形DCFE是矩形.
图2
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，EF∥AC.∴四边形DCFE是平行四边形.
又CE=DF，∴四边形DCFE是矩形.
6.（2025广州期末）如图3，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=CD，连接BE.求证：四边形AEBD是矩形.
图3
证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.
又AE=CD，∴AE=BD.
又AE∥BC，∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.∴四边形AEBD是矩形.
7.（北师九上P28改编）如图4，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线.求证：四边形EFGH是矩形.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=（∠DAB+∠ABC）=90°.
∴∠HEF=∠AEB=180°-（∠EAB+∠EBA）=90°.
同理可得∠F=90°，∠H=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
能力提升
8.如图5，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为　　　　.
图5
12
9.如图6，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，AE=CF，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
图6
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF.
又AE=CF，∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.∴四边形BFDE是矩形.
（2）若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积.
图6
解：∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB.
∵AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB.
∴∠DAF=∠DFA.∴AD=DF=5.
∵CF=3，∴AE=CF=3.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE==4.
∴四边形BFDE的面积为DF·DE=5×4=20.
思维拓展
10.【动点·易错】如图7，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=10 cm，AC=16 cm，若E，F是AC上两动点，分别从点A，C出发以0.5 cm/s的速度向点C，A运动.
（1）当点E在AO上，点F在CO上，且点E与点F不重合时，求证：四边形DEBF是平行四边形.
图7
解：由题意，得AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）设点E，F的运动时间为t（单位：s），在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点D，E，B，F为顶点的四边形为矩形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
图7
存在.
分为两种情况：
①当点E在AO上，点F在CO上时，
由题意，得AE=CF=0.5t.
∴EF=AC-AE-CF=16-t.
由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形.
∴当EF=BD=10时，四边形DEBF是矩形.
∴16-t=10.解得t=6.
②当点E在CO上，点F在AO上时，
由题意，得AE=CF=0.5t.
∴EF=AE+CF-AC=t-16.
由（1）可知，OA=OC，OB=OD.
∴AE-OA=CF-OC，即OE=OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
∴当EF=BD=10时，四边形DEBF是矩形.
∴t-16=10.解得t=26.
综上所述，当t的值为6或26时，以点D，E，B，F为顶点的四边形是矩形.
图7(共11张PPT)
第6课时　平行四边形的判定（一）
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025石家庄一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）　　 　　　　　 　　　　 　
D
2.一个四边形的三个相邻内角度数依次是75°，105°，75°，那么这个四边形　　　　平行四边形.（填“是”或“不是”）
是
3.如图1，A是直线l外一点，在直线l上取两点B，C，以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是平行四边形，其依据是_______________________
________________.
图1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4.（人教八下新教材P60）如图2，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
图2
解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：
∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC.
∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.（人教八下新教材P60改编）如图3，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE，连接AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形.
图3
证明：如答图1，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵BF=DE，∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE.
∴四边形AECF是平行四边形.
能力提升
6.如图4，在 ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
图4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠BCD.
∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=AE=AD，BF=CF=BC，∠DAE=∠BCF=60°.
∴DE=BF=AE=CF.
∵∠BAE=∠DAB-∠DAE，∠DCF=∠BCD-∠BCF，
∴∠BAE=∠DCF.
∴△BAE≌△DCF（SAS）.∴BE=DF.
又DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形.
思维拓展
7.如图5，在 ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，其中正确的方案有　　　　　　.
图5
甲、乙、丙(共20张PPT)
第9课时　矩形的性质
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　）　 　　　　　 　　　　 　
A.∠BAD=90°
B.AB∥CD
C.AC=BD
D.AC⊥BD
图1
D
2.（2025汕头期中）如图2，小逸同学利用刻度直尺（单位： cm）测量三角形纸片的尺寸.已知∠BAC=90°，D为BC的中点，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，则AD的长为（　　）
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
图2
D
3.（2025广州期中）如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=32°，则∠AOB的度数为（　　）
A.65°
B.64°
C.60°
D.58°
图3
B
4.（2025广州期中）如图4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，OC=4，P，Q分别是AO，AD的中点，则PQ的长度为（　　）
A.1.5
B.2
C.3
D.4
图4
B
5.（2025绥化）（人教八下新教材P70改编）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（　　）
A.25
B.25
C.25
D.50
B
6.（2025浙江改编）如图5，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=2，则∠DCE的度数为　　　　.
图5
40°
7.（2025湛江期中）如图6，在矩形OCDE中，点D的坐标是（1，3），则点C，E之间的距离为　　　　.
图6
8.（北师九上P19改编）（2025佛山二模）如图7，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，若∠ADE=4∠CDE，则∠ODE的度数为　　　　.
图7
54°
9.如图8，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，且CE=EF.求证：AE=AB.
图8
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD.∴∠CED+∠DCE=90°.
∵EF⊥CE，∴∠CEF=90°.
∴∠CED+∠AEF=90°.∴∠AEF=∠DCE.
在△AEF和△DCE中，，
∴△AEF≌△DCE（AAS）.∴AE=DC.∴AE=AB.
能力提升
10.（2025广州期中）如图9，有一架梯子斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，在墙角点O处有一只猫，在梯子AB正中间点P处有一只老鼠.若梯子A端沿墙下滑，同时梯子B端沿地面向右滑行，在此滑动过程中，猫与老鼠之间的距离将　　　　.（填“变大”“变小”或“不变”）
图9
不变
11.（2025徐州期中）如图10，将长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，点D，C的对应点分别为点D'，C'，线段D'C'交线段BC于点G.若∠DEF=65°，则∠FGC'的度数是　　　　.
图10
40°
12.如图11，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠OAE=15°，则∠AEB=　 　　，∠AOB=　 　　，∠BOE=　 　　.
图11
45°
60°
75°
13.如图12，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE，则AE的长为　　　　.
图12
3.4
14.如图13，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，DE，DE平分∠AEC.
（1）求证：AE=AD；
图13
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.∴∠ADE=∠CED.
∵DE平分∠AEC，∴∠AED=∠CED.
∴∠AED=∠ADE.∴AE=AD.
（2）过点D作DF⊥AE于点F，若AB=4，EF=1，求BC的长.
图13
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠C=90°.
由（1）可知，AE=AD.∴AE=BC.
∵DF⊥AE，∴∠DFE=90°=∠C.
在△DFE和△DCE中，
∴△DFE≌△DCE（AAS）.
∴EF=EC=1.∴BE=BC-EC=BC-1.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2，
即42+（BC-1）2=BC2.∴BC=.
思维拓展
15.【定值问题】【转化思想】（北师九上P19改编）如图14，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是线段AD上一点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB=5，BC=12，则
PE+PF=　　　　.（提示：连接OP）
图14(共13张PPT)
第14课时　正方形的判定
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可使该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）　 　　　　　 　　　　 　
A.BC=CD
B.AB=CD
C.∠D=90°
D.AD=BC
A
2.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件，使得平行四边形ABCD是正方形，下列四种选法不可行的是（　　）
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
B
3.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=4.当AB=　 　　时，矩形ABCD是正方形.
图1
2
4.（人教八下新教材P87）如图2，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形EFGH是正方形.
图2
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD.
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴OE=OF=OG=OH，EG⊥FH.
∴EG=FH.∴四边形EFGH是矩形.
又EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形.
能力提升
5.如图3，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°.求证：矩形ABCD是正方形.
图3
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°.
∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°.
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°.
∴△AEB≌△AFD（AAS）.∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.
6.如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC，∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形DECF为正方形.
图4
证明：如答图1，过点D作DN⊥AB于点N.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形.
∵∠ABC，∠BAC的平分线相交于点D，
DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，
∴DE=DN，DF=DN.∴DE=DF.
∴四边形DECF为正方形.
（2）若BC=8，AC=6，则正方形DECF的面积为　　　　.
图4
4
思维拓展
7.（2025宿迁期中）如图5，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=25 cm，BC=30 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度向点D匀速运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度向点B匀速运动，规定当一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，设运动时间为t s.
（1）当运动t s时，线段PD=　　　　cm，CQ=　　　　 cm（用含t的代数式表示）；
图5
（25-2t）
　3t
（2）当t=　　　　时，四边形PQCD是平行四边形；
（3）当t=　　　　时，四边形ABQP是矩形；
（4）在（3）的条件下，当AB=　　　　cm时，四边形ABQP是正方形.
图5
5
6
12(共22张PPT)
第二十一章　章末复习
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）　 　　　　　 　　　　 　
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线平分对角
B
2.（2025东莞期中）如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
图1
D
3.如图2，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为边CD的中点.若正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）
A.4
B.3
C.2
D.1
图2
D
4.（2025广州期中）如图3，在菱形ABCD中，∠BCD=100°，点E在BD上，且BA=BE，则∠EAD的度数为（　　）
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
图3
A
5.（2025六安期末）生活中，我们可以用肘、拃、步长等来估计距离.某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12拃，宽是5拃（如图4，1拃≈20 cm），则该屏幕的对角线长大约是（　　）
A.100 cm
B.240 cm
C.260 cm
D.340 cm
图4
C
6.【方程思想】（2025广州二模）如图5，在 ABCD中，AC=BC，DE⊥AC于点E.若CE=2，DE=4，则AE=　　　　.
图5
3
7.（2025揭阳一模）如图6，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE=　　　　.
图6
30°
8.（2025茂名模拟）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是　　　　.
9.如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC=10，则四边形OCED的周长是　　　　.
图7
7
20
10.（2025中山期末）如图8，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），D（1，0），点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，根据作图痕迹，则点H的坐标为　　　　　　.
图8
（，3）
能力提升
11.（2025东莞期中）如图9，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N.若△AOM的面积为3，△BON的面积为8，则△COD的面积为（　　）　 　　　　　 　　　　 　
A.9
B.10
C.11
D.12
图9
C
12.在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（　　）
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
A
13.【分类讨论】如图10，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是边BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，连接
B'C.当△CEB'为直角三角形时，BE的长为　　　　.
图10
或3
14.如图11，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
图11
证明：由题意，得D，E分别为AC，AB的中点，
∴ED∥BC，ED=BC.
∵F，G分别是OB，OC的中点，
∴FG∥BC，FG=BC.∴ED∥FG，ED=FG.
∴四边形DEFG是平行四边形.
（2）若四边形DEFG是矩形，求证：△ABC是等腰三角形；
图11
∵四边形DEFG是矩形，
∴EO=DO=OG=OF.
∵F，G分别是OB，OC的中点，
∴OF=OB，OG=OC.∴OB=OC.　
又∠BOE=∠COD，
∴△BOE≌△COD（SAS）.∴BE=CD.
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴BE=AB，CD=AC.
∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
（3）连接OA，当OA=BC时，求证：四边形DEFG是菱形.
图11
如答图1，连接AO.
∵D，G分别是AC，OC的中点，
∴DG=AO.
由（1），得FG=BC.
∵OA=BC，∴DG=FG.
由（1），得四边形DEFG是平行四边形.
∴四边形DEFG是菱形.
思维拓展
15.如图12，AD是△ABC的中线，AE∥BC，F为AD的中点，连接BF并延长，交AE于点E，连接CE.
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形.
图12
证明：∵F为AD的中点，∴AF=DF.
∵AE∥BC，∴∠AEF=∠DBF.
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB（AAS）.∴AE=BD.
∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.∴AE=CD.
又AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形.
（2）当AB与AC满足什么关系时，四边形ADCE是矩形？并说明理由.
图12
解：当AB=AC时，四边形ADCE是矩形.
理由：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形.
∴四边形ADCE是矩形.
（3）当AB与AC满足什么关系时，四边形ADCE是菱形？并说明理由.
（4）当AB与AC满足　　　　　　　　　时，四边形ADCE是正方形.
图12
（3）解：当AB⊥AC时，四边形ADCE是菱形.理由：∵AB⊥AC，AD是△ABC的中线，
∴AD=BC，BD=CD=BC.∴AD=CD.
由（1）可知，四边形ADCE是平行四边形.
∴四边形ADCE是菱形.
AB⊥AC且AB=AC(共12张PPT)
第8课时　三角形的中位线
基础过关
能力提升
第二十一章　四边形
思维拓展
基础过关
1.（2025珠海期末）如图1，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E，F分别为AB，AC的中点）.若EF=30 cm，则点B距离地面的高度BC为（　　）　　 　　　　　 　　　　 　
A.80 cm
B.70 cm
C.60 cm
D.50 cm
图1
C
2.如图2，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED=∠BEC，DE=2，则BE的长为　　　　.
图2
4
3.如图3，D是△ABC内一点，AD=7，BC=6.若E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是　　　　.
图3
13
4.（2025广州月考）如图4，在△ABC中，∠ABC=80°，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN，则∠AMN的度数为　　　　.
图4
130°
5.如图5，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
图5
证明：如答图1，连接BD.
∵E，H分别是AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD.
同理，得FG∥BD，FG=BD.
∴EH∥FG，EH=FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
能力提升
6.（2025广州期末）如图6，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AG⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为D，F.若BF=3，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为　　　　.（提示：先判断△ABG和△ACF的形状）
图6
32
7.（北师八下新教材P169改编）如图7，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由.
图7
解：四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF∥AB，EF=AB.
同理，得GH∥AB，GH=AB.
∴EF∥GH，EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形.
思维拓展
8.（2025汕头期中）如图8，在 ABCD中，∠C=120°，AB=2，H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG.若E，F分别为AH，
GH的中点，连接EF，则EF的最小值为　　　　.
图8

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